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Codifica

la codifica nella trasmissione è necessaria a:

• individuare gli errori e sorvegliare la qualità
• la rilevazione degli errori consente di ritrasmettere le informazioni errate qualora si possa tollerare il ritardo
• correggere gli errori - la ridondanza e la memoria usibile nel processo di codifica sono utilizzate per la correzione degli errori, se il sistema richiede il tempo reale

Per la gestione degli errori in trasmissione vi è l'aggiunta di un campo di controllo, da confrontare all'invio del messaggio e alla sua ricezione

• codice regolare
• codice diverso

• falso positivo
• verso ignorare l'errore, o cercare di correggerlo

Appunti sulla codificazione bit di parità

il bit di parità corrisponde all'ultimo bit della sequenza, ed è:

• 0 se il numero di "1" è pari
• 1 se il numero di "1" è dispari

In questo modo, il numero di 1 nella sequenza deve essere sempre pari

• delegittimazione dell'errore

le parole con un numero dispari di "1" non sono legittime

la probabilità d'errore si riconduce al caso in cui si ha un numero pari d'errori - il falso positivo

P_{FP = ^{m-m/2 Σ2k (i) PB (1-PB )m-2l}}

con P_b la probabilità che un bit sia errato.

P_favorevole = 1 - P_FP

Si può estendere il controllo sul messaggio inviato ad un campo di m-K bit, con n dimensione totale del pacchetto e K dimensione della parte informativa del pacchetto denominato CRC (Cyclic Redundant Code), che rende la dimensione minima tra le parole equivalente a m-K.

Il compromesso, dovuto all’aumento della dimensione del messaggio, diminuisce la probabilità d’errore e la probabilità di falso positivo.

Esempio:

m-K = 4

P_FP ≥ ^mC₄ P_b⁴ (1-P_b)^m-4

Uso la distanza minima d tra le parole,

P_FP ≥ ^mC_d P_b^d (1-P_b)^m-d

Un upper bound estremo è il caso di un canale non controllabile (con un elevato numero di falsi positivi). La probabilità che il primo bit sia casualmente corretto è 1/2; la probabilità che il secondo bit sia casualmente corretto è 1/2; etc. in un canale da h bit, la probabilità di falso positivo è:

P_FP = 2^-h

Il caso del falso positivo si presenta quando "sbaglio" almeno d bit

Correzione degli errori

BCH (Bose - Chaudhuri - Hocquenghem)

P_soppervole = 1 - P_corretto

Il caso limite è rappresentato dal caso in cui avvengono un numero arbitrario l = casuale di errori, e non conosca p_b.

P_soppervole = 2^m-K

P_corretto = Σ_K=0^{l m} C ^K P_b^K (1-p_b)^m-K

Per riepilogare:

• in BCH, per correggere t errori: vale m-K ≤ t·h, con m = 2ⁿ-1 (e se n è primo, è valida l'uguaglianza);
• in Reed Solomon, per correggere t errori: vale m-K = 2t, con m = 2^h-1 ed h pari alla dimensione del byte.

BCH → P_bit = d/m P_{errore di parola}

R.S. → P_{byte RS} = d/m P_{errore di parola}

Interleaving

K bit CODE → m INTERLEAVER → CANALE DI ERRORI A BURST → DEINTERLEAVER → DECODIFICATORE

L'interleaver viene utilizzato per i canali con errori a burst (a raffica), ovvero che coinvolgono due o più bit consecutivi dell'unità dati, il cui valore viene traslato da "0" a "1" o viceversa. Esso prende gli m bit di uscita del codificatore e li dispone per righe (una riga per ogni parola). Il numero di righe è detto profondità dell'interleaver, indicato con L.

Elemento diverso

La probabilità di errore di parola è

_{Perrore di parola} = ^eK_EB / _3r

con K distanza energetica nell'uscita (intendendo sempre la distanza energetica come la distanza intera tra due "1" nella parola).

Tuttavia, poiché abbiamo più codificatori, è necessario che vi sia la stessa distanza per ogni codificatore e quindi il primo "1" può entrare a qualsiasi distanza, mentre dal secondo "1" in poi, la distanza deve essere la medesima. Ciò accade con probabilità ¹/ₙ. Dunque

_{Perrore di parola} = ^eK_EB / _N·3r

In decodifica vi sono due decodificatori concatenati serialmente, ognuno dei quali è associato ad uno dei codici costituenti il codificatore.

r₁ → DECODER 1 → →

r₂ → DECODER 2 → →

Questo dispositivo divide il suo "lavoro":

1. il primo decodificatore prende i bit di ridondanza e prende quei bit sì prudenti (70% avere "1" al primo bit, al 65% avere "0" al secondo bit)
2. il secondo decodificatore esegue lo stesso procedimento, con una stima migliorata (75% avere "1" al primo bit, al 65% avere "0" al secondo bit)
3. la decisione viene riportata al primo decodificatore, con una stima ulteriormente migliorata, e così via prosegue la iterazione tra i due decodificatori, fino a che (in media 15-20 iterazioni) non si arriva ad un livello accettabile di probabilità per poi mandare in uscita。

1(t) = 1 ∀ t

Segnale segno

sign(t) =

• -1 t < 0
• 0 t = 0
• 1 t > 0

Segnale rettangolo

rect ( t / T ) =

• 1 |t| < T / 2
• 1/2 |t| = T / 2
• 0 |t| > T / 2

Segnale seno cardinale normalizzato

snc ( t / T ) =

• sin ( πt / T ) / πt / T t ≠ 0
• 1 t = 0

Si noti che il segnale considerato, di tipo continuo, vale 0 per ogni |t| multiplo di T.

L'impulso di Dirac

L'impulso è definito come un funzionale (non sappiamo come è fatto, ma sappiamo come si comporta) che, data una funzione f(t) continua in t=0, sia tale che

∫_a^b δ(t) f(t) dt =

• f(0) se a:b < 0
• 0 se a:b > 0

ed in particolare

e ortogonale, possiamo ricavare i valori dei coefficienti di Fourier _k.

= ∫ x(t) e^-j2πR_kt dt = ∫ [∑_K=-∞ c_k e^j2π_k e^-j2πR_t/T] dt =

= {_R T se h=k} → C_k = 1/T ∫ x(t) e^-j2πR_t/T dt L_k ∈ C

L'insieme dei coefficienti di Fourier in modulo e fase è detto spettro del segnale.

Un segnale è sviluppabile in serie di Fourier se è assolutamente integrabile in un periodo e in ogni intervallo finito presenta un numero finito di discontinuità. Della pratica il numero delle armoniche necessarie per definire un segnale sono limitate a, a meno di un errore trascurabile.

L'energia del segnale ripetitivo al tempo t è

∫ |x(t)|² dt = ∫ [∑_R C_K e^-j2π_t/T][∑_R C_R* e^j2πR_t/T] dt =

= ∫ [∑_K (C_k)² dt] = T ∑_K |C_K|²

insieme ortogonale → i termini sono diversi da 0 solo se h=k

e da cui W_xx = lim_{T → ∞} {1/T T ∑_K |C_K|²} = ∑_K |C_K|²