Modulazione segnali

Concetti Base

Segnali digitali in banda base

• Segnali binario

x_BB(t) = ∑ b_n p(t - nT_b) b_n ∈ [0,1] valore di bit

p(t) pulse shape

• Segnali M-ario

è conveniente utilizzare segnali digitali multivello

(si riduce la banda richiesta)

Modulazione Digitale

Modulazioni analogica

• AM
• PM
• FM

Modulazione digitale

• ASK Amplitude shift keying
• PSK phase
• FSK frequency

La qualità della modulazione digitale è espressa in termini di "bit error rate" (BER),

BER = M. medio bit errati ricevuti (nell'unità di tempo) / M. totale di bit ricevuti

che rappresenta una probabilità di errore in presenza di rumore e interferenze.

poiché

E [n(t)n(u)] = _N0/2 δ(t-u)

cov(M_j,M_k) = ∫∫ _N0/2 δ(t-u) φ_j(t) φ*_k(t) dt du = ∫ _N0/2 φ_j(t) φ*_k(t) dt =

= {

• _N0/2 j=k
• 0 j≠k

Da ciò si deduce che le componenti η_j sono variabili indipendenti

(incorrelate e gaussiane).

Si ha:

max_i ∏_j (I subηj = ηj-S_jj = max_i ∏_j P(M_j = η_j-S_ij)

= max_i ∏_j=1^J P(M_j = η_j-S_ij) ≈ ∏ I (M_j = η_j)

(poiché S_ij = 0, j>J)

Il termine ∏_j>J P(M_j = η_j) non dipende dal segnale trovato

Teorema dell'irrelevanza

Sono le componenti di rumore corrispondenti a quelle del

segnale influenzano la rivelazione del segnale

Il ricevitore seleziona il segnale che ha la

massima correlazione con r(t) -

Si ha nell'intervallo [0, NT]

∫₀^NT r(t)·s_i(t) dt = ∫₀ r(t)·s_i(NT - t + τ) dt

= ∫₀ r(t)·s_i(t - (NT - τ)) dt = ∫₀ r(t)_h(t - τ) dt , t = NT

= ∫₀^∞ r(ζ)_h(t - ζ) dζ

= r × h(t) = r_Hh(NT)

_h(t) = s_i(NT - τ)

l'integrale è zero per τ < 0 , τ > t .

Lo _h(ζ), che può essere interpretato come la risposta impulsiva

di un filtro, è la funzione si(τ) con il tempo cambiato

di segno e shiftato di NT -

La correlazione tra r(T) e si(t) si può ottenere semplicemente

filtrando r(t) e campionando l'uscita a t = NT -

_h(t) = matched filter

In assenza di rumore all'uscita dell'integratore e t=Tb si ha:

V_int = ¹/₂ A_C² cos²ω_Ct dt

= ¹/₂ A_C^{2 T_b}∫₀ (1 + cos2ω_ct) dt

= ±A_C²T_b,

se ω_c >> ^2π/_Tb

rappresenta il segnale binario in banda-base

Si ha:

E_d = ^T_b∫₀ (2 A_C cos ω_ct)² dt = √E_d

≈ 2 A_C²T_b

P_C = Q (√^{A_C2 T_b}/_Mo) = Q (√^2E_b/_Mo)

dove E_b = ^{A_C2 T_b}/₂ è l'energia per bit

E_b = ^T_b∫₀ P_i²(t) dt

P_e ↓ ⇒ A_E ↑ oppure T_b ↑

Distanza tra due segnali

S₁(t) = A₁(t) cos (ω₀t + ϕ₁(t)) S₂(t) = A₂(t) cos (ω₀t + ϕ₂(t))

||S₁ - S₂||² = ∫[S₁(t) - S₂(t)]²dt = ∫[A₁²(t) (1 + cos (2ω₀t + 2ϕ₁(t))]dt + ∫[A₂²(t) (1 + cos (2ω₀t + 2ϕ₂(t))]dt + ∫A₁(t) A₂(t) (cos (ω₀t + ϕ₁(t) + ϕ₂(t)) + cos (ϕ₁(t) - ϕ₂(t)) ) dt - ∫A₁(t) A₂(t) [ cos (2ω₀t + ϕ₁(t) + ϕ₂(t)) ] dt

Si usa la condizione di limite:

∫f(t)cos(ω₀t + θ(t)) dt → 0 con ω₀ → ∞ rappresentando che f(t), θ(t) variano lentamente rispetto a cos ω₀t

Allora si ha:

||S₁ - S₂||² = ∫[¹/₂ A₁²(t) + ¹/₂ A₂²(t) - A₁(t) A₂(t) cos (ϕ₁(t) - ϕ₂(t)) ] dt con ω₀ → ∞

con lo stesso procedimento della rappresentazione

S₁(t) = √^2E_S/_T [I₁(t) cos ω₀t - Q₁(t) sin ω₀t ] S₂(t) = √^2E_S/_T [I₂(t) cos ω₀t - Q₂(t) sin ω₀t ]

si ottiene:

||S₁ - S₂||² = E_S/_T ∫[I₁(t) - I₂(t)]² + [Q₁(t) - Q₂(t)]² dt | ω₀ → ∞

α₂

Signal constellation for quadrature modulation.

Si individuano 2 categorie di modulazione in quadratura:

• QPSK
• MSK (GMSK)

Modulazione QPSK

In questo caso il segnale in banda-base è un impulso rettangolare -

Il segnale si può scrivere

X_QPSK(t) = √2 Ac cos(ω_ct + kπ/4), k = 1,3,5,7

Coherent QPSK detection.

Minimum Shift Keying (MSK)

- La modulazione MSK è un caso particolare della modulazione CPFSK (continuous - phase - frequency shift keying)

La CPFSK viene realizzata scegliendo la differenza di frequenza di due segnali come multipla di metà della frequenza di bit

Per la continuità delle enee: (in Tb devono entrare un numero intero di mezze sinusoidi)

f_s = k_{1 fb}/₂ con k₁ > k₂ interi

f_h = k_{2 fb}/₂

f_s - f_h = (k₁ - k₂) _fb/₂ = m_fb/₂

minima differenza m = 1 → f_s - f_h = 0.5 f_b

T_b = k_{1 TS}/₂ = k_{2 TM}/₂

f_s - f_h/_fb = 0.5 è equivalente ad una FM con indice di modulazione 0.5

Spettro

Il segnale modulato può essere interpretato come

x_BPSK(t) = x_BB(t) A_c cos ω_ct

con x_BB(t) = {+1-1} in maniera random

lo spettro di x_BPSK è lo stesso di x_BB traslato di ±ω_c

Digital Modulation

The maximum-likelihood receiver: Signal pace - signal space under

white Gaussian noise - Matched-Filter Receiver -

Error probability in Max-Likelihood Receivers: Two-signal error probability -

Multiplicative Probability of error -

Basic Phase-Shift and Quadrature-Amplitude modulations

• Baseband and RF signals for quadrature modulations -
• Pure Phase-Shift-Keyed Schemes (PSK) -
• Quadrature-Amplitude Modulation Schemes -
• Frequency-Shift-Keyed Schemes -

Quadrature Modulators and Demodulator Circuits

• Modulator/Demodulator circuits + the Linear Receiver -
• Receivers for QAM - Modulation Spectra -

Pulse-shaped Modulations

• Hybrid-Pulse Modulations - Other Hybrid pulses -
• Receive-Eye diagrams - Linear Receivers for Hybrid-Pulse Modulations -

Synchronization

• Some basic ideas - Synchronization circuits -

Some advanced topics

• Differential PSK - Offset PSK Schemes - Partial-response Modulations -