Scienze delle costruzioni - appunti ben fatti, 2 parte

∫_A dy_z JA = jy_z = 0 (x = c) ok

∫_A dy = 0 per lo stesso discorso fatto sopra

∫_A dz JA = j_z = 0 (x = c) ok

Equazioni per i momenti

∫_A x y dA - H_xL = 0 x

∫_A x JA - Hy_x = 0 ok

∫_A z x JA - Hy_x = 0 ok

Equilibrio

∫_AΩ - (2x²y + d_xz) JA = Hx² + Hy²

= 0g ∫_AΩ ( ( ^{1dtxz - xgx ) + ( x_gx - x_gx )) x JA}

- G_BZ ( ^∫AQ x^2xy - lu y + luy x ) x JA

= 0G ∫_A ( x^g2 - lu y + luy x ) JA - M_z

- sarebbe una x = J il

- Mi definisco 6 → Θ - H₂

- ∫0 t so il cilindro non subira rotazioni per

- il cilindro e torsione

G

⩤(ω)

d-dz = _Hz ^⩤

w = _Hz (x-y) = ^Hz ω(x, y)

GΘ

• -dx-z = ^Hz___( ^Ju-y )
• | Jt__________Jx
• -dy-z = ^Hz___( ^Ju-x )
• | Jt__________Jy

Θ = _Hz

-GJt

Con le condizioni

1. ∇²ω = 0 le place
2. ^{Ju = ymx = xmy} su JA Newmar
3. ∫_A ω(x ,y) . JA = 0

Equazioni di Laplace e le condizioni al contorno.

Nelle 2 e 3

∫A xy JA Ixy = 0

∫A y² dA = Ix

∫A x² dA = Iy

Questa formulazione delle tensioni è

una formulazione in termini di SPOSTAMENTI. dovuta a De Saint Venant.

Questa formulazione però consente di risolvere

solo in casi molto semplici, per esempio la sezione

circolare perché ω = 0.

è comune formulare in termini di tensioni.

FORMULAZIONE IN TERMINI DI TENSIONE (PRANDTL)

Si suppone che dϰϰ e ϰy siano le uniche non nulla nel problema

della torsione; nuovo:

ϰϰ = -∂u(x,y) / ∂y

ϰy = ∂u(x,y) / ∂x

dove la funzione u(x,y) è detta FUNZIONE DELLE TENSIONI DI PRANDTL

Questa è un'ipotesi che dobbiamo verificare.

Si suppone comunque che ϰx = ϰy = ϰxy = ϰxz = 0 come

nel problema degli spostamenti.

Per verificare che e queste le soluzioni dobbiamo verificare

tutte le equazioni in gioco

Poi, sottraigo membro a membro otteniamo in unica equazione:

^d2u/_dy² + 2qΘ

→ Equazione di compatibilità

→ poiché α è una funzione regol.

In termini differenziali:

^d2u/_dy² = 2qΘ in A

→ A per il u è funzione di x e y

Non si uniscono eq. di laplace perché ∇² non è 0,

ma le quali è una casata e in circuiti.

^d2u/_dy² = Const → EQ. di POISSON

∇²u = 0 → EQ. di LAPACE

In definitiva il problema della funzione delle tensioni

è:

^d2u/_dy² = 2qΘ in A

→ PROBLEMA DI DIRICHLET

u = 0

EQ ALLA TRASLAZIONE VERTICALE

PJxy Jy + SJyx Jyx + SJxy J( ⎯ Jx ) - Sjx Jyx + Sjx j ( ⎯ Jx Jx )

* in pezzo ( y-z )

nodi nulla

Verticale

Il tutto quelle e O erano:

SJyx Jyx ¹ / Jx² + SJxy Jyx ¹ / Jy² = PJxx Jy

Rettuto in riducia S e raccupiluodo Jxy avró la somma delle derivate pariziel di v rispetto a x Sy che è: ⎷∇w (x,y)

^{∇_x w (x,y)} = _P / _S = 2Q9 ⚹

W = O su JA

Questo per come ho formulato il problema finita

sty Verticali = ⎷∫y = ⎷∫x Jyx / Jx

Anche se sarebbe Σ⎷xy (∫w J⊥)

Ma = ∫m & = ∫d

- Jvx < O (⊥x

• Affirmir possiamo dire che la deformazione della membrana puc essere infuttuto pe il calcolo delle tensioni faccicuo in unaipio con il problema di Dirichlet Quindi:

-P =-2G ⟹ P = 2G • S se importance tale membrane

(29)

Abbiamo Θ che: in seguito per ricavarlo consideriamo l'equilibrio tra il momento esterno (Hz) e le funzioni della membrana nello stesso.

Hz = 2A∫₀^l μ(u)JA

Per calcolare il volume di u' (uguale alle deformazioni della membrana) basta calcolare l'area della parabola seg. Moltiplicare per JS e integrare lungo la linea media, cioè sommare i velimetti elementari per tutta l'area della membrana per JS lungo tutto S.

Hz = 2A∫₀^l μ(u)JA = 2∫₀^l JS (3/2)A(M₀)^b/2 =

Se precisa la parabola:

L'area del rettangolo sarebbe il valore max 2Θb²/3 per la corda b(S) quindi anzi:

= 2∫₀^l 2/3 bΘ = b²/4 = = (u_max)

Hz = 1/3 QΘ ∫₀^l b³(s) JS = = QΘJS

Quindi il fattore di irregolarità torsionale non può che essere 1/3 per l'integrale.

Per calcolare il lavoro unitario di torsione possiamo utilizzare il Th. di Clapeyron, al cilindro soggetto a torsione:

Il Th. di Clapeyron dice che: il lavoro di deformazione delle forze esterne è pari alla metà del lavoro che le forze complessive ne generano dell'interno con il fluido finale.

• Nel cilindro soggetto a torsione:

L_d = ¹/₂ M_z ΘL

Se supponiamo che base ¹✖ bloccata le forze (base 2)

ext. terminale soggetto a una momento ruota

ma se Θ e l'angolo unitario di torsione la sezione terminale ruota di Θ · L dove Θ la torsione della base ¹

per il th. di Clapeyron:

Le = ¹/₂ M_z Θ = L_t = ¹/₂∫_V C_ij E_ij dv

volume

Possiamo scrivere

¹/₂ C_ijE_ij = ^ψ/_2G = ^&Ellipse;/_2G

psi generico compiuto

(Se mi metto nell'interfaccia S mi arricchì x y avrò

¹/₂ (t^x y² + t^z m y² M)

Le normali si dirigono in quel modo perché su C esiste una linea (s) contenuta nel percorso.

Tale che se un percorso oltre-orario deve fare un percorso orario (ma fa un interno).

Le due essere sempre tangenti anche ai contorni. Infatti, per equilibrio, perché essi ci sono anche forze superficiali applicati all’interno.

Sia su JA ma anche su C, quindi vuol dire che μ = cost

Queste espressioni possono essere differenti fra di loro, quindi noi possiamo supporre che:

• μ = 0 su JA
• μ = K su C

A ricordare come erano fatte le tensioni dxz, dyz.In termini di spostamento con le funzioni di isoparametro(u).

• σ_xz = GΘ (∂u_x/∂x) → ∂u_x ∂u_y + y
• σ_yz = GΘ (∂u_y/∂y) → ∂u_y( ∂u_x ) − x

Problema Sez. Sottile Pluriconnesse Soggette a Torsione

R_mech

b₃ linea media

quello volte

commenna

b_(S) È una ver sottile

percorre

linea

pluriannone

M=3 (equi)

C=M+1=3+1=4

gradi di convenzioni

la sez. energia sottile

ni adzerua lungo la linea media

• Maglie sono cicli chiusi nella linea media (3 maglie)
• Ogni maglia è composta da uno o più tratti
• Tratti sono le percorse della linea media compren tra i nodi (6 tratti)
• Nodi: punti di discessione zone della linea media (4 nodi)

Togliamo la sezione con un piano (X-Z)

Nei tratti interni la deformace della membranica assume dei valori costanti: (k_i) che sono coerenti con il fatto che u=const su C_i (contorni interni)