Scienze delle costruzioni, appunti ben fatti 1 parte

Programma del corso

• Meccanica classica
  1. Analisi deformazione
  2. Analisi tensioni (cerchi di Mohr)
  3. Relazione generale nel lavoro
• Corpo elastico (lineare)
  1. Legame elastico
  2. Problema equazione elastica
  3. Teorema dell’elasticità
  4. Isotropo
• Problema Saint Venant
  1. Impostazioni generali
  2. Casi fondamentali di sollecitazione
• Resistenza dei materiali
  1. Sperimentazione
  2. Crisi di resistenza
• Meccanica travi elastiche
• Plasticità
• Stabilità equilibrio elastico

Lezione del 01/03/2016

Analisi della deformazione

Consideriamo un corpo continuo (insieme di infiniti punti materiali che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con una regione regolare dello spazio). Queste regioni regolare le chiamiamo B.

• l₁, l₂, l₃ = versoni terna cartesiana

P = punto materiale del corpo localizzato nello spazio euclideo.

Associeremo per comodità al corpo continuo una regione di riferimento (B) chiamata configurazione di riferimento per il corpo. Ciò sarebbe il volume iniziale del corpo prima che subisca una deformazione, quindi cambi posizione. Infatti, questa configurazione viene detta configurazione iniziale di riferimento.

P-O = mi fissa la posizione della particella nel punto P. Non è altro che il vettore posizione della particella che si trova in P nella configurazione iniziale.

xⁱ ha in se stesse x^kk e viceversa futuro e...

Osserviamo xⁱ, x^kk ovvero continua e questo è tutto di averli finché xⁱ nella definizione.

xⁱ se B tende ed A ⇒ B → A...

Escludiamo con i x delki nella definizione xⁱ)

Riguardo le derivate prime delle funzione xⁱ

Secondo questo 3^o ipotesi: le derivate prime parziali delle funzioni xⁱ x₂ x³ rispetto ai loro argomenti x¹, x¹, x³ esistono e devono essere continue.

Introduciamo la notazione poliziale per esprimere tutte le possibili derivate che in questo caso sono 9 delle funzioni x¹x₂x³ rispetto x¹x₄x¹ x₃... sono continui.

Un sistema omogeneo, quindi questo aumento come definito.

Univoca quella matrice, cioè o

det F ≠ 0.

Quindi altrimenti potrà essere segmenti non nulli che non trasformano in segmenti con lunghezza nulla.

Sappiamo quindi che di questo pacchetto F della definizione il suo det ≠ 0.

Noi sappiamo che

X = χ(x)

prima che esistano le forze che fanno deformare il corpo ossia nello spazio osservato invisibile, cioè quando

B → B

succede che ci sia un'identità

x' = x = χ(x)

trasformazione identità

Quindi quando lo svolgiamo delle tese e quelle invisibili succede che

• [F]_ij = _∂Xi/^∂xj

• 1 ≠ j ⇒ 0

• 1 = j ⇒ 1

ij simbolo di Kronecker

definizion del simbolo

M (t) M (t)

M (t) M (t)

= cos (M (1) M (1))

M (t) M (t) = M (t) M (t)

 = cos (M (1) M (1))

) circo M (1) (M (1) M (1)

= > M (t) M (t) M (t) M (t)

| M (t) M (t) | |

Io so che M è il trasformato di m

quindi devo dire che:

| M (t) M (t) | = sqrt F (t) F (t)

 * F (t) M (t) M = epsilon M1+1

= | M (t) M (t) | = epsilon M2+1

Allora abbiamo che posso scrivere l'espressione

esplicita dello scorrimento angolare

F (M (t) M (t) )

= arccos M (t) M

- arccos

= F (t)

F (t) M (t) M

+ (1+epsilon M1)

+ (1+2*epsilon

FORMULA ESPLICITA SCORRIMENTO ANGOLARE

E' funzione tempo del predicatore

Questa formula ci permette di capire quindi se l'angolo

rimale diminuisce e di quanto aumenta e di quanto

Lezione del 09/03/2016

Deformazioni infinitesime

Nello studio delle deformazioni infinitesime abbiamo supposto che <<1, possiamo porre quindi che:

|∇u|² = scalare

|∇u|² = ∑_i=1,2,3 (∂ui/∂xj)² = e << 1

norma del gradiente di u (|∇u|)

Inoltre poniamo il tensore:

A = ∇u = gradiente spostamenti

|∇u| << 1 è misura di e

In questo modo possiamo scrivere:

∇u ||∇u||·A ≈ e · A

Essendo che |∇u| << 1 implica anche che ∂ui/∂xj << 1

Tensore di Green-Lagrange è uno strumento che permette di misurare le deformazioni finite

Abbiamo infatti dimostrato che:

ds² = ds_₀² (F^TF - I) dx · dx

dove dx è il vettore infinitesimo che individua il segmento materiale

Sulla base di questo abbiamo definito il tensore di Green-Lagrange

E = 1/2 (F^TF - I)

E=0 non c'è deformazione

(20)

Quindi:

parte simmetrica (6 informazioni)

parte antisimmetrica (3 informazioni)

Misure geometriche delle deformazioni nello spazio delle deformazioni infinitesime

1. Deformazione lineare

Sappiamo da prima che

Quindi:

Espando in serie di McLaurin

per

Mi ricavo che:

Questa espressione mi dice che l'intorno I(P) subisce una

traslazione rigida (u(x)) + deformazione pura dell'intorno (εdx)

+ rotazione rigida infinitesima dell'intorno (ω∧dx)

Teorema del vettore assiale

V(W) (teorema di invarianza) ∃ un vettore assiale (Θ) tale che

ψ ∧ dx = Θ ∧ dx

prodotto vettoriale

Lezione del 10/03/2016

u(x+dx)=u(x)+εdx+ω∧dx

velocità come per effetto della deformazione pura si deforma

un materiale

u(Q)=εdx

poiché gli spostamenti della deformazione pura per le nostre figure

u^P(P)=0 perché il punto P sta fermo

Se M e direzione principale _Em = _Emp, si tratta di trovare

quell'autovalore _Em a cui ho associato un autovettore

problema autoval.

A_u = λ_u

_Em - _Em M = 0

metto M in evidenza:

[_E - _Em I] M = 0

Affinché il sistema omogeneo non ammetta la soluzione banale

M ≠ 0 quindi:

det [_E - _Em I] = 0

(|_E11 - _{Em E12 E13}|

|_{E12 E22} - _{Em E23}| = 0

|_{E13 E23 E33} - _Em|)

          Δ(_Em)

Il polinomio caratteristico di _E è:

Δ(_Em) = 0

Sviluppando il determinante:

-_En³ + i₁ε _Em² - i₂ε _Em + i₃ε = 0

         invarianti della deformazione

i₁ε = _E11 + _E22 + _E33 = i₁ε

i₂ε = (_E21E13 - _E12E31) + (_{E11 E33} - _E13²) + (_E11E22 - _E12²)

i₃ε = det [_E]