Scienza delle costruzioni - Travi isostatiche e iperstatiche

Capitolo 20

Equazioni tecniche delle travi

Equazioni congruenza

• H e_z + K_e ^dϕ/_ds
• e_x x (C-G) - ^du/_ds - φ x e_x / γ

H = ^dsφ/_ds e_x

K_e = ^dϕ/_ds ( ^dϕ/_ds e_x )

e_x = ^du/_ds e_z

γ_c = ^du/_ds ( ^du/_ds e_z ) e_z - φ x e_z + ( ^dϕ/_ds e_x e_x x (C-G)

Equazioni di equilibrio

• ^d/_ds (N e_z + T) + ε = 0
• ^d/_ds (H_c e₃ + (C-G) x T + M(ε) + u - e_x x T = 0

H_c e₂

Equilibrio al contorno

• N e₃ + I _|s=0 = -σ_y0
• H_c e₃ + (C-G) x I + H_{f |s=0} = -H₀
• N e₃ + I _|s=l = σ_y
• H_c e₃ + (C-G) x I + H_{f |s=l} = H_e

Equazioni di discontinuità

• (ΔN_e + ΔT) × ρ_e = 0
• [ΔhC_e + (C_-G_i) × ΔT + ΔM_p]_e + Mr_e = 0

Capitolo 4

FLESSIONE RETTA

Siamo a flessione retta se unica sollecitazione è momento flettente con M_x asse principale inerzia z (asse neutro).

M_x è principale portante del sistema Gx₄.

k_x e_x = M_x e_xJ_xξ M_xJ₄

SEZIONI OMOGENEE

Se la sezione è omogenea J_x = M_x 4 / J_x.

Andamento delle tensioni normali elementari:

• Se M_x > 0 e le tensioni > 0 se 4 > 0.
• < 0 se 4 < 0.

Risulta + portanti da assi -> massime tensioni

σ_' = |M_x| h' / J_x= |M_x| / w'_xσ_'' = |M_x| h'' / J_x= |M_x| / w''_xcon w'_x = J_x / h' w''_x = J_x / h''

MODULI DI RESISTENZA

SEZIONI COMPOSTE di PIÙ MATERIALI

Se la sezione è composta da più materiali

con J_x = ∑ E_{Ri Dxi}

J_xi = ∫_Ar 4^ἰ dA

σ_z = ξ Kx₄ / J_x

asse rispetto al sistema principale di inerzia G.F. q

Jx = Jx_F cos² α_u + J_y sin² α_u

con           m_u = Jx                                  Jx cos²α_u - J_y sin²α_u sin(α_x - α_u) sin(α_x - α_u)

le coordinate y = M_u cosα_u - F sinα_u

si ha

1/J_m = cosα_x + sin²α_xy/S_F

SEZIONI OMOGENEE

se la sezione è omogenea la FORMULA BINARIA

J_z - H_x q - H_y x s_x        s_y

la FORMULA MONOMIA

J_z = M_T/s J_m

DISEGNO DEI DIAGRAMMI

si prende come fondamentale quella sull'asse a di

sollecitazione s e rendendo ci il nostro

le rette radenti e ovvero ci trovano le tensioni normali

min e max

SEZIONE A DOPPIO T

J_{z max} = H_x            + H_y

w_x                                    w_y

J_{z min} = - H_x            + H_y

w_x                                    w_y

SEZIONE RETTANGOLARE SOTTILE

• Si trascurano le condizioni al contorno delle estremità
• Sia Gxy sistema principale di inerzia

Le equazioni dei f.ari lunghi sono.

x - b/2 x + b/2

Condizione al contorno F=0 e soddisfatta se

F = c(x - b/2)(x + b/2) = c(x² - b²/4) dove c = cost da determinare

L’equazione di Poisson

ΔF = - g Mt dt impone

dc = - g Mt dt

->c = - Mt dt

-> F = - Mt/dt (x² - b²/4) -> soddisfa le condizioni ai contorni (tranne estremi)

FATTORE di RIGIDEZZA TORSIONALE

Jt = 1/3 bh³

-> Funzione delle Tensioni Tangenziali

τ = - 3Mt/b³h(x² - b²/4) con δ²ψ = 2Mt/Jt x = 6Mt b³h x

δ²x = 0

Sezione Rettangolare

Per la sezione rettangolare

Momento statico di y_x

• S_x = bh² (h/2 - y₄)
• con y₄ = bh/12
• S₂₄ = (6/14) (bh³)((h²/4) - y₄)²

y₌₀ (Asse in corrispondenza della corda baricentrica)

Sezione Circolare

Preso una sezione circolare di raggio R e una corda generica

• L'angolo tra asse y e R congiugente in estremo della corda
• y = Rcosθ
• con J_x = π/4 R⁴ e b = 2Rsinθ
• S_xy = (2/3) R⁴ sin³θ
• S₂₄ = (4/3) (T_y/(πR²)) sin²θ

4) un corpo è fisso e l'altro è in moto:

V= quello del secondo = con Fc centro relativo

O₂₁ nel fisso -> O₁₂ O₁₂

VINCOLI E CENTRI DI ROTAZIONE

• Vincoli esterni e centri assoluti

coincide con primo vincolato

o punto unico vincolato

e ⊥ al piano due

sosténere

prolunga

• Vincoli interni e centri relativi

non esiste

coincide con primo vincolato

asse pendolo

prolunga

CASI POSSIBILI

Mensola soggetta a una coppia

u(z) = - Mz² / 2EJ

φ(z) = Mz / EJ

Trave appoggiata soggetta a carico concentrato

φ(A) = - Fl² / 16EJ

φ(B) = Fl² / 16EJ

u(l/2) = Fl³ / 48EJ

Calcolo degli spostamenti con il principio dei lavori virtuali

1. Stabilire un riferimento di forze e caratteristiche equilibrato ottenuto applicando una forza virtuale nella stessa direzione della componente spostamento.
2. Dato che eq è soddisfatto Lve = Lvi.
3. =>D Lve = spostamento = Lvi.