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Analisi della deformazione
Obiettivo:
Studiare il processo deformativo. Assegnato un corpo se ne vuole studiare la deformazione. Per deformazione o processo deformativo si intende il passamento di configurazione di un corpo dallo stato iniziale C alla configurazione deformata C'.
Processo deformativo C -> C'
HP:
- Corpi continui
- Spostamenti infinitesimi
- Deformazioni infinitesime
Sappiamo che la funzione spostamento è continua e biunivoca, quindi no lacerazioni e compenetrazioni.
Vettore spostamento µ(x) = [µx(x) µy(x) µz(x)] = [u(x) ν(x) w(x)]
Configurazione C -> Configurazione C'
Come passo da C -> C'?
xB = xA + dx
xB* = xA* + dx*
µB = µA + dµ
µ(x + dx) = µ(x) + dµ(x) =
=[u(x) + [∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z] dx + ν(x) + [∂ν/∂x ∂ν/∂y ∂ν/∂z] dy + w(x) + [∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z] dz]
dµ(x)
Spostamento µ(x + dx) = µ(x) + F dx
(∇ gradiente spostamento)
d(x) = Fdx
Nell'analisi della def ho che
F = E + S
E = 1/2 (F + FT) → Matrice simmetrica della deformaz. pura
S = 1/2 (F - FT) → Matrice antisimmetrica della rotazione rigida
FT = ∂ux/∂x∂uy/∂x∂uz/∂x ∂ux/∂y∂uy/∂y∂uz/∂y ∂ux/∂z∂uy/∂z∂uz/∂z
E = 01/2 (∂ux/∂y - ∂uy/∂x)1/2 (∂ux/∂z - ∂uz/∂x) 1/2 (∂uy/∂x - ∂ux/∂y)01/2 (∂uy/∂z - ∂uz/∂y) 1/2 (∂uz/∂x - ∂ux/∂z)1/2 (∂uz/∂y - ∂uy/∂z)0 → Matrice rotazioni rigide
S = ∂ux/∂x1/2 (∂ux/∂y + ∂uy/∂x)1/2 (∂ux/∂z + ∂uz/∂x) 1/2 (∂uy/∂x + ∂ux/∂y)∂uy/∂y1/2 (∂uy/∂z + ∂uz/∂y) 1/2 (∂uz/∂x + ∂ux/∂z)1/2 (∂uz/∂y + ∂uy/∂z)∂uz/∂z → Matrice deformaz. pura
← Tensore della def.
Introduciamo la matrice E che è una S (deformazione pura)
ε = εxxεxyεxz εyxεyyεyz εzxεzyεzz = εxx00 0εyy0 00εzz + 0εxyεxz εyx0εyz εzxεzy0
→ ε matrice elongazione
→ matrice scorrimento angolare
La souzione quindi sarà:
Ex = ∂u/∂x
Ey = ∂v/∂y
Ez = ∂w/∂z
→ dilatazioni
γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x
γyz = ∂w/∂y + ∂v/∂z
→ scorrimenti
γzx = ∂w/∂z + ∂u/∂x
dove l
dove h
quegli
Le equazioni di congruenza cnematica per il continuo saranno:
I1 = Ex
I2 = Ey
I3 = Ez
I4 = γxy/2
I5 = γyz/2
I6 = γzx/2
STATO I MANTlENE LA FORMA VOLUME
→ spostamento rigido
vettore deformazione
9 grandezze cnematiche
6 deformazioni
3 spostamenti
il continuo tridimensionale risulta in generale IPOCINEH
[O] =
| Ox txy txz | | txy Oy tyz | | txz tyz Oz |
Direzione principale della tensione e tensioni principali
È possibile conoscere le tensioni lungo una generica n?Di tutte le possibili direzioni è possibile determinarne una (n1, n2, n3) tale che txy, tyz, txz = 0, le tensioninormali corrispondenti O1, O2, O3 sono dette tensioni principali
On = On I → [O - On I] n = 0al problema sarà per n ≠ 0. Per il teorema di Rouché - Capelli ho che:det [O - On I] n = 0
| Ox - On txy txz | | txy Oy - On tyz | = 0 | txz tyz Oz - On |
On3 - I1On2 + I2On - I3 = 0
* le tre soluzioni O1, O2, O3 → Tensioni principali alle quali corrispondono n1, n2, n3 → Direzioni principali
O1 + O2 + O3 = 0 → Stato Triassiale (Cubico) O1 = O2 = O2 ≠ O1, O2 → Stato Eundrico O1 = O2 = O3 ≠ 0 → Stato Sferico
Parallelismo tra Cinematica e Statica
Cinematica
ε() → 6 in () ↔ Dilatazione 3x2 ↔ Scorrimento
Il tensore della deformazione
ε() → 6 x 1 → Vettore delle deformazioni
Direzioni e deform. principaliInvarianti I₁, I₂₋₁, I₂₋₂
ε() = Nᴛ E() Ndove N è la matrice dei coseni direttori delle nuove coordinate
Statica
σ() → 6 in () ↔ Normali 3x2 ↔ Tangenziali
Tensore della tensione
σ() → 6 x 1 → Vettore delle tensioni
Direzioni e tensioni principaliInvarianti I₁, I₂₋₁, I₂₋₂
σ() = Nᴛ σ() N
Problema Cinematico
Mu = μ() su Sp
Note:
- Forze esterne f, u = μ() su Su
- Vincolo
Determinare ε()D(u) μ()
Note:
- (u)
Determinare μ = μ()
Incognite → 9 in 6 equaz.
- 6 → ε()
- 3 → μ()
Problema Statico
X = Χv() su V
Note:
- Forze vincolari P(x) su Sp Enunciato
Determinare σ() ↔ ()
Note:
- T
- D () Χ() = 0
Determinare σ() ↔ ()
Incognite → 6 in 3 equaz.
- 6 → σ()
Dalla lavagna ho che:
Essendo
DTO(x) + X(x) = 0
DT(σ(x)σ) = - X(x)
Ottengo che
Le = ∫V xTσTω*ẋ dV | , ẋ(σTσTω*)dV + ∫(σTσTε*) dV
Le = ∫V σTσTε*(x) dV = Li
* La parte in VERDE indica
Mentre la parte in ROSSO sarebbe
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