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Dimostrazione dell'equazione secolare e calcolo delle radici
Si dimostra che l'equazione secolare ha 3 radici che sono sempre reali e questa equazione si risolve anche analiticamente in forma chiusa, cioè si può scrivere un'espressione analitica per calcolare le radici.
L'equazione secolare ammette 3 soluzioni: (se non sono ordinate) (se sono ordinate) 01 CE02,03 0=1 O≥ ≥#. Quindi abbiamo calcolato la componente per la quale va moltiplicato il versore per avere nella giacitura θ.
Abbiamo visto che ce ne sono 3 di giaciture in cui vale questa proprietà. Come si calcola? Per calcolare θ (la direzione della giacitura associata alla componente principale), sostituisco qua01MIdentro (che adesso è un numero noto). 01 -' - ("n | Ho 4 equazioni e 3 incognite) TZXTyxOxx -01 nnx MrzNayMix 0, Txy =TzyOnOyy my 0 v- dipendente linearmente solo 2 sono TyzTxx 02-2--01 NIZ O- -- -Faccio la
stessa cosa per È èMÌ },,sono gli sforzi principali (componenti principali di sforzo)OI OTIICTTI, , sono le direzioni principali di sforzo (la tensione diretta come la normale alla giacitura)ÌLRITIII ,,Perché sono così importanti?Esempio praticoConsidero una trave di cemento debolmente armato, la carico in laboratorio>>> vengono delle fessure chesono circa a 45° più sono lontano dalla trave e diventano più dritte man mano mi avvicino al centro." i" 'Questo vuol dire che nelle fessure a 45° se calcolo in un punto le componenti principali di sforzo, lacomponente massima ( ) sarà questa.01 % >>> il calcestruzzo reagisce male a trazione◦ ☒" 07,OHI OHI{In mezzo alla trave avrò invece F. te^ O#È un problema di stato di sforzo piano. 261111ª proprietàLe componenti principali di sforzo sono quelle massime e minime.DimostrazioneZ^ B• Voglio capire qualè il valore ditxdsx 0- .^ IEigdsyr Èa tra- lungodicomponente, ' ta_'i Tfr'aad il prodotto scalare tra 2 vettori mi da la componentetattao =>• di un vettore proiettato sull’altroY◦ A✓ a✗✓• tzdsz[ Usando il th di Cauchy possiamo scrivere: -'( eria noi- )◦ =LX RÌVogliamo calcolare ora la stazionarietà di al variare di con la condizione entryO 1=dÈ un problema di max e min vincolato perché c’è unvincolo su : in analisi 2 un problema di questo tipo sinirisolve con i moltiplicatori di Lagrange.Si definisce una funzione nairaOltra )(f- )f ✗: 1= + -Cominciamo calcolando il gradiente della funzione: haha¥ derivata )( f rispetto1 aidi0 =>= Éire,)(◦ oaria questo vuol dire faretb )[ da- )fa b-bazbzb a =++ }> .., .,daida ( )ai ai°( cia)'% a-> +→ += . ..daia Eni0ᵗʰ ( )= ora% /] 'È } Èndso [ Int [ ] 2¥È leERI Zenana == == =+se
¥ (-2×12=0 ilcalcolandoperché gradiente2=0 stoMI=DIIn definitiva bisogna calcolare { treEnd 0=-'La na 1=↳ sono le stesse equazioni che abbiamo scrittoper calcolare le componenti principali 1Calcolare le componenti principali di sforzo (quelle dirette come ) o calcolare quando è stazionario,In teproduce le stesse equazioni (è la stessa cosa).>>> le componenti principali di sforzo sono quelle massime e minime (PROPRIETÀ MOLTO IMPORTANTE)2ª proprietàSe sono distinte allora sono ortogonali.OIICTI II LEIII,, , ,DimostrazioneSe e sono soluzioni dell’equazione allora possiamo scrivere questa identità:CE ni (3 equazioni)( /≥E- OE ESe e sono soluzioni dell’equazione allora possiamo scrivere questa identità:OTI NTI (3 equazioni)( /OIIÈE- E- ≥= TEEPosso fare: (vale zero perché se questo vale zero, moltiplicato per un vettore[ e)E)( a- -0E - continua a valere zero)-prodotto scolaretra
vettori'E)( E)( E -0 =D☐↓ [ ]nè E)
Siccome il prodotto scalare tra vettori è commutativo, possiamo anche riscrivere ( -0 E =DE
Analizzando la prima, possiamo utilizzare le proprietà di prodotto tra matrici: 'PÉAT )=/≤It' )( /EIE- III -0☐CIT /'/ )OIEE ITI =D-
Essendo un tensore simmetrico 'IIT (¢-0 0/ 0=0☒È OIÈ :0a #+ =- _ ==-0*1--1=1*-0/IÉ or( MÉMTI)OTIOÌ =D-
È verificata in 2 casi: OI OE≠Se MILMTI1 >. SE2 MIOI OTI MTI= ,.
Il tensore di sforzo nel sistema di riferimento principale, considerando che le sue componenti sono principali sarà fatto così: ( )≤ OI OTIOr O0 0 ≥ ≥ #= O 0OTI OTI0 0
Scomposizione in parte volumetrica e deviatorica del tensore di sforzo
Serve sempre per interpretare il tensore di sforzi (composto da 6 componenti).
Tanti materiali hanno un comportamento di tipo attritivo: se applichiamo una pressione che tende a confinare il materiale,questo diventa più resistente (esempio: sabbia).
Consideriamo l'intorno di un punto:
P- )(v I°≤ °P 3P= 0 0pop◦
Dato uno stato di sforzo qualsiasi posso sempre calcolare invariante:
) OzzOyy¥(11=1-2 + +✗p = =→ 3↓
Posso scomporre lo sforzo in 2 componenti:
- volumetrico> associato al cambio di volume del cubetto a forma costante
- deviatorico> associato al cambio di forma del cubetto a forma costante
volumetricodeviatore.co µ↳ ≤ PE § -9 PE+ >= = -' |(} TxyTZX 044+0 TzxTyx "≤Oxx Oxx≤ p == - _ 3 OZZO'Txlg TzyTxy 23Tizy CtyyOyy ✗ +✗p- - 3 gyyyyz yyz yyz ggzz.ggyyzgzz >p ,,- 3(E)tre ≥ -1-1 =D=Stato piano di sforzoÈ uno stato di sforzo in cui una delle componenti principali è nulla a priori.In questo caso una delle direzioni principali è nota a priori (è ortogonale al piano in cui giacciono le altre).Posso sempre permutare la matrice in modo tale da ridurla a un problema
piano in cui posso scrivere :0O( Tuoi |Oi -0 ≤ Oxx= Ixy OyyÈ importante lo stato piano di sforzo perché nelle strutture (travi, volte ecc) si ha uno stato piano di sforzo.Cioè quando ho che una dimensione è molto più piccola delle altre 2, posso approssimarla a uno stato disforzo piano.Calcoliamo il determinante e lo eguagliamo a zero:( ) (txytyx-ooxxoyy-oxxo-oyyo-02-txyt.gr/=0)-0Oxx -0oyy -)02 ( Txytyx )( OxxoyyO'oxxxoyy -0-+ _- ( 2-) ( ≥Txy )Oxxtoyy± OxxoyyOxxtcyy 4- +044☒ xxoyy-40xxctyy-T.ly✗_CE 0×+2+0442+2012±= =, 2 2Ctyy )G- (0×-1-044)=+4/7×42 ( TyxTay+ hp✗OI conE ±=/ =.z ÷TCome si calcolano le direzioni principali nel piano?colonna )vettori"' emrre◦n o n][ sinocosa= Editori MI( Ind -1Li sostituisco nell’ equazione secolare: -0 haE/ 1=1/( :|TxyOxx -0 ""≥→ Txy cara sind.Queste 2 equazioni sono sicuramente linearmente indipendenti, perché lo
abbiamo imposto quandoabbiamo detto che det=0. Posso scegliere quella che voglio tra le 2.)( T.xys.intOIOxx -0cosa +_ }( ≥)(+0Wh ONY ≥O'O' txy Txysin×✗ ✗✗oxx ✗ =Dcosa- ++ +- 2 2 )( )OYY( O'(0*-04) T.xys.int' ×Txy ✗ cosacos - ++ = - 22-044µL 0×1-2*1( ) '(-12/0*-044 TayiO' 'Txy senza✗✗ Tnxysinxcosa COSI con+=+ 22T.xykcosk-s.int t.fr)-044) ( o =D> × Zsinacosx- 2 IL-Conza tgztnsia# )( -0inTxy -0- 2 ( )Tay27ns 2.tcgzx < ✗ ooectg= =OyyOxx OylyCtxx- -Esercizio Determinare il tipo di sforzo e calcolare le componenti principali e le loro direzioni.:/f '" PaE- ;È Ty1) si tratta di uno stato piano di sforzo 6,85o/[(0*+044) (' E)( -0ms /OH ¥È ȱ ' 41£ }OI MPaTxy ±+9 ± MPa .±# == == +, 2 2 v0.75?^Tilt §2t.gl o.is}2 ^== =Ctxx Oxy ^ }- 7rn Il cubetto è in equilibrio, non5 5 6.,< >231ºtg 22A ✗ ruota e nontrasla.= re> }6,853auf v § < o.is2> ✗ ivIl cerchio di Mohr per stati piani di sf
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