Scienza delle costruzioni - Teoria

Scienza delle Costruzioni

• Travi
• Linea d'asse
• Sezione retta
• Baricentro
• Vincoli delle travi
• Al Sdr
• Tra le diverse travi
• Vincoli al Sdr
• Incastro - Abolisce 3 Gdl
• Cerniera e guida prismatica - Aboliscono 2 Gdl
• Appoggio (carrello) e doppia guida prismatica - Aboliscono 1 Gdl
• Vincoli tra travi
• Aboliscono 1 Gdl
• Aboliscono 2 Gdl
• Vincoli complessi:
• 2 (m - 1) condizioni di vincolo
• 2 m condizioni di vincolo
• 2 m - 1 condizioni di vincolo
• Cinematica dei vincoli:
• Confronto tra coordinate libere e gradi di vincolo
• GdL > GrdV → Ipostaticità, cinematico (struttura labile)
• GdL = GrdV → Isostaticità (sistema statico definito)
• GdL < GrdV → Iperstaticità (sistema statico indeterminato)
• GdL: 6, GrdV: 6
• Cinematica generale
• Ogni vincolo possiede un centro di istantanea rotazione...
• N.B.: Se ho una cerniera attaccata a un'asta ben vincolata...
  • Se ho una biella, questa ha 2 cerniere e posso considerarla...
• Forze e reazioni vincolari
• Equazioni cardinali della statica (corpo rigido):
  • ΣF_x = 0
  • ΣF_y = 0
  • ΣM_z = 0
• Nel caso piano, R_x = 0
• R_y = 0
• M_z = 0

AZIONI INTERNE

Se una struttura (CR) è in equilibrio → ogni sua parte è in equilibrio

Spessore 1/N

Si libera una forza A dell'incastro che per la parte 2 deve formare un triangolo chiuso con P e S e verificare l'equilibrio

Stato di sforzo nell'intorno di un punto:

All'interno del punto Q si conoscono i tre sforzi P₁, P₂, P₃ e le loro componenti cartesiane. Queste sono contenute nella matrice degli sforzi:

P = | P₁₁ P₁₂ P₁₃ |   | P₂₁ P₂₂ P₂₃ |   | P₃₁ P₃₂ P₃₃ |

P_n P_t e P_m agiscono perpendicolarmente alle superfici = componenti normali (trazione/compressione)

Le comp. P_t, P_m, P_n agiscono parallelamente alla superficie = componenti tangenziali

Equilibrio del continuo:

All'interno del volume V considero un generico volume dV delimitato dalla superficie chiusa S e forze agenti su V:

• Attraverso il volume: f_i = forze di volume• Attraverso la superficie: pressione, trazione, compressione

Controllo pericolo, radio del volume V:

R_i = ∫∫∫_V f_i dV + ∫∫_S PF_i dα = 0

Calcolo le componenti della R_i (asse i):

∫∫∫_V [f_i dV] + ∫∫ [p∏_im dα]_s = 0

Formula di Green:

∫∫∫_V [M_k ∂(x_k , x₁, x₂, x₃) / ∂x_k dV = ∫∫_S M_kκ_kdα ]

Vale anche per K = 1, 2, 3:

P_ik = [f_i + P_im + ∫∫ P_im dV]_α = 0

Equazioni indefinite di equilibrio del continuo

∂P_ik / ∂x_k + f_i = 0 con i = 1, 2, 3

Calcolo delle componenti del momento:

∫∫∫_V (R_ο Õ)_κ⫢ dx

Componente secondo l'asse X_o:

C = cm∏_m ∫∫∫_V [X_οⁱ(xeroreal) - x

- ∫∫∫ P₁₃ m₂ P₂₃ m^1/2 P₃₃ ∂VVF

∫∫ (x₃ - x_ο x₃)² dV ^⫢ α_S x_ο (x_ο - x)

•[L]

Simmetria degli sforzi tangenziali:

∂P_ik = P_ik con i≠K, i = 1, 2, 3

Nella derivata prendono due componenti degli sforzi con componenti dell'errore di volume

Condizioni di equilibrio al contorno Ω

⇒ Equazioni indefinite di equilibrio

- COSA C'È NEL TRIANGOLO DELLA MATRICE S₂?

R^P

DATO CHE (d_xi, e_xi)

(Q' - P')·(R' - P')

(R' - P')

-|Q' - P'|·|R' - P'| = |R' - P'|

(R' - P') = (Q' - P')·(R' - P')

[1]

(Q' - P')

{3w/2 - 3w/2 = 0}

- L'ANGOLO Θ È VARIATO DI (1/2)

d_x3x_3S(SCOMPARENTI)ANGOLE' Σ_me m

N.B.: IL PUNTO DI VISTA

- STATI PIANI DI DEFORMAZIONE

ε_mz = (3/2)

Σm

e =

E_m ε_m

MATRICE DELLA TRASFORMAZIONE RIGIDA

(E_mt - E_M) n_m n_t cos α

ε_t = E_Mt m² n_m n_t)

^O

A MATRICE DI DILATAZIONE

O INDATE LUNGO DI ASSE

cos² α - n² m n_m

= EQ. PARAMETRICA DI UNA CIRCONFERENZA

- QUESTO RISULTATO SI OTTIENE ANCHE

ε_m = Σⁱ n_mi k

N.B.: GLI ESTENSIMETRI SONO STRUMENTI CHE MISURANO LA DEFORMAZIONE IN UNA DATA DIREZIONE, IL PRINCIPIO SI BASA SULLA COR

RISPONDENZA FRA LA VARIAZIONE DI RESISTENZA ELETTRICA DEL FILAMENTO E LA VARIAZIONE DI LUNGHEZZA DELLO STESSO

QUINDI DEFINISCO QUESTE 2 COSTANTI COME:

• MODULO DI YOUNG (E) - CONTROLLA IL COMPORTAMENTO DELLA DIAGONALE PRINCIPALE
• COEFF. DI POISSON (m) - CONTROLLA IL COMPORTAMENTO NEL TRIANGOLO

PASSO A SCRIVERE IL SISTEMA COME:

N.B. COEFF. DI POISSON: m =

RAPPORTO TRA DEFORMAZIONE IN DIREZIONE PRINCIPALE E TRASVERSALE.

TUTTE LE VOLTE CHE SONO IN UN VARIO NON PRINCIPALE, PER PASSARE DA SFORZO A DEFORMAZIONE, DEVO CALCOLARE LO SFORZO NEL SDRP, OTTENUTO DA DEFORMAZIONE.

LA GENERALIZZAZIONE DI CAUCHY:

QUESTA FORNISCE LA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI SFORZI, VALIDA PERCHÉ I FENOMENI DEL MONDO TENSILE SONO LINEARI.

ADESSO QUINDI FACCIO LA DOPPIA DIAGONALIZZAZIONE PER GIUNGERE A UNA FORMA PIÙ SEMPLICE, QUINDI STUDIO IL CASO DOVE P1=P2=K.

CALCOLO TENSIONI E DEFORMAZIONI PRINCIPALI DEL C. DI CAUCHY:

PER INVERSA SOL. NON BANALE hA>0

PASSO AGLI AUTOVETTORI:

HO RAPPRESENTATO SDir E SdrP, IN QUEST'ULTIMO Q2 E' STATO PRESO IN MODO DA AVERE UNA TERNA DESTRA

ORA ABBIAMO IL LEGAME NEL SDRP, COME TORNO AL SDIR LINEARE?

UTILIZZO LA FORMULA:

VISTI DAL SDRP, I VERSORI DEL SDIR LINEARE SONO:

LA MATRICE GEOMETRICA DEGLI OI

Pessione (retta)

• Il momento flettente applicato è diretto come uno degli assi principali d’inerzia.

Hp Generali: Assi x₁ e x₃ hanno origine in sezione retta - numeri variabili e variabili delle basi del prisma.

Hp Specifiche: p₂₃ = p₃₂ = 0 ⇒ no componenti Tg.

N.B.: l'asse x₁ è in situazione neutra ⇒ no trazione/compressione = asse neutro.

Sì verifica immediatamente che le Hp specifiche soddisfano le eq. di equilibrio indeterminate.

Verifico equilibrio della superficie interagente:

• P_m1 m_m + P_m2 m_m + P_m3 m_m = 0
• P₁₂ m₁ + P₂₁ m₂ + .... = verificato per Hp
• P₁₁ + P₂₂ + P₃₃ = 0

Calcolo degli sforzi:

• S₁ = 1/E (P_{m1 - P31}/m) = k/e * x₂
• S₃ = 1/E (P_{m;1 - P13}/m) = k_m x_e f_e
• S₁₂ = S₂₃ = S₃₁ = 0

Le eq. di congruenza: (verificate) governano il problema elastico dei punti interni del cilindro, rimangono da trattare le condizioni esterne sula base (centrata) con sollecitazione (laterale) (e.g., soluzione unitaria).

Equilibrio sulle basi:

M₁ = 1/r₃ x_d A₁ = - k/r₁ ⇒ il momento di inversa centrifugo.

Assi e momenti principali di inerzia per una figura piana: (no x₃)

• I_n2 = 1/A_n x_d
• I_n1 = 1/A_n x_d − /x_d da

Distribuzione degli sforzi e delle deformazioni:

I componenti di unione sono separati. M₁₂ = Sforzi trasversali.

Curvatura: raggio di R.

R = EI/L