Scienza delle Costruzioni - Teoria

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Scriviamo alcune definizioni e proprietà degli spazi vettoriali.

Def. 1

• 0 → V
• v / F = V

Le operazioni di somma presentano le seguenti proprietà:

• v + w = w + v commutativa
• (v + w) + z = (v + z) + w associativa
• v + 0 = v unico elemento neutro
• ∀ v,w ∈ F ∈ V

• λ ( β v ) = ( λ β ) v associativa
• λ v = v unico elemento neutro
• λ ( v + w ) = λ v + λ w distributiva rispetto a +
• ( λ + ρ ) v = λ v + ρ v distributiva rispetto a +
• ∀ v ∈ V ∀ c ∈ F

Def. 2

Def. 3

Def. 4

Def. 5

Def. 1:

Si consideri una base e₁,..., e_n e ∈ V e si prenda un elemento v ∈ V, allora:

v = vⁱ e_i

In questa espressione vⁱ è un vettore poiché appartanente ad uno spazio vettoriale mentre con vⁱ si indica la rappresentazione del vettore v nella base di riferimento e_i.

Nel caso venga cambiata base anche v cambia, adattandosi alla nuova base mentre il vettore v non cambia poiché indipendente dalla base.

Def. 2:

Si consideri uno spazio di punti E dotato dell'operazione di somma. E' possibile costruirsi sopra lo spazio lineare V prendendo la differenza dei punti Y - X con y, x ∈ E considerando V l'insieme di tutte le possibili differenze tra coppie di punti in E_e, y - x ∈ V.

Si definisce quindi V spazio delle traslazioni. Fissato un punto o ∈ E è possibile tutte le differenze dei punti rispetto ad o scrivendo:

y - x = y + (-1)x = (y - o) + (-1)(x - o)

Assegnando una base in V costituito da elementi espressi in riferimento ad o il quale diventa origine del sistema di coordinate si identifica V con ℝⁿ.

Def. 3:

Il prodotto scalare su V è una funzione per cui <.,.>: V × V → ℝ, valgono le seguenti proprietà:

• <v,w> = <w,v> commutativo
• <v + z,w> = <v,w> + <z,w> distributivo rispetto a +
• <xv,w> = x<v,w> = <v,xw> associativo rispetto a ∙
• <v,v> ≥ 0 ∀ v ∈ V ed = 0 ⇔ se e solo se v = 0

Su V dotato di prodotto scalare si definisce spazio euclideo.

Def. 4:

Una base e₁,..., e_n si dice ortogonale se il prodotto scalare tra qualsiasi coppia dei suoi elementi è uguale alle delta di Kronecker δ_ij, quindi:

ortonormale se <e_i,e_j> = δ_ij

δ_ij = { 1 se i = j 0 se i ≠ j

Def. Tensore

Si considera un vettore v ∈ V su IR e l'applicazione lineare h: V → V. Detto v ∈ V e {eᵢ} una base di V della linearità segue h(k⋅v) = k·h(v) + pᵢh(v). È più noto come h(v) = h(v) = vᵢh(eᵢ), in cui si è fatto uso della convenzione sulle sommatorie.

Denominato A la matrice che ha come colonna i vettori h(eᵢ), si scrive che:

• h(v) = Av

La matrice A è un operatore lineare da V_n, denominato A ∈ Hom(V,V).

Prendiamo eᵢ elemento e della base dei vettori in V allora Aeᵢ è un altro vettore in V con k-esima componente nelle base assegnate di Aeᵢ. A questo modo si definisce la k-esima componente di A di A come il numero tale che definito:

• Aeᵢ = (Acⱼ, Acᵢ, ⋯ Acⱼ = Aeⱼ

A^c_i = C

TENSORE e' ORDINE.

Cambiamento di coordinate

Data le coordinate {x¹,x²,x³} rispetto cui si è calcolato Aᵢ, e prendiamo il cambiamento di coordinate {x¹,x²,x³} → {y¹,y²,y³}, supponiamo di sapere come passare da una base all'altra e che sia differenziabile. Si vuole passare dalla coordinata A⁵ alle coordinate Ãʸ_x, prendiamo cioè due componenti omeologhe dello stesso operatore:

• Ãʸ_x = ∂y^x/∂x^s A^s + ∂x^y/∂y^m Aⁿ

Le componente controvariante vanno con le derivate ∂y/x, mentre le componente covariante vanno con le derivate ∂x/y

Teorema:

Se ho uno spazio vettoriale in cui ho stabilito una base qualsiasi voglio costruire un operatore lineare ... la base di del prodotto tensoriale ... vettori della base dello spazio vettoriale ...

Per A ∈ Hom (V,V) ... un isomorfismo da V ... così che Hom (V,V)...

Per A ∈ Hom (V*,V*) ...

Per A ∈ Hom (V*,V) ...

Per A ∈ Hom (V,V*) ...

A: A^a_beb

A: A^a_b

A: A^a_beb

A: A^a_beb

Formalmente il thm si scrive se siamo U,W spazi vettoriali reali dim finita ... ... esiste uno spazio vettoriale ... u... ... bilineare ... esiste una

mappa ... lineare q: Ω ... U tale che ... p ...

{e_i} ma base per V ;{eⁱ} ma base per W ; allora gli elementi e_i,e^j formano una base per ...

Nozioni di Analisi Tensoriale

Consideriamo uno spazio vettoriale reale V uno spazio tensore T, si prende Ω ⊗ ... Arco bisogno di mappe ... che mandano da Ω in V.

Ṽ ⊗ Ṽ → V

Ṽ ⊗ Ω → T ⊗ T

i ... e ... Ṽ²

Voglio ... le derivate di una mappa ... valori vettoriali e il gradiente... di una mappa ... valori vettoriali ...

Prendiamo una ... differenziabile

^Ω → ... _R ... Rⁿ ... ... coordinate x = (x, ..., x_n)

voglio calcolare il differenziale di g ...

f(x) = ...

... x'ⁿ ...

... _j ... x

(...) ... d^x_j ...

d

È grazie a queste formazioni che è possibile trovare

gli stessi concetti considerando l'operatore lineare `F` cioè il gradiente di

definizione,

Dato `a e\in T_{A} B` `vettore`in `R^3` `c` `b` `e \in T_{y} B` `corretto` che sta nel dubbio dello

spazio tangente e hai `Ba` cioè `B \in R^3` e prendo `Fa` lo esprimo da su

un vettore `Fa` che sta nello spazio tangente `b` in `Ba`, quindi `Fa` è

in componenti `< Fa, a^i > ≤(vettore com.) d\def.` Prendo `vi` e su questo vettore `b`

è definito `F` con struttura di forma che è unico

`b_{1} \times F_{a} = F_{b} a`

`b_{i} F_{a}^{i} a^{T} = (F_{b} a) a^{T}`

`\forall a, b`

Prendo un vettore `a e\in T_{A} B` un vettore `fa, b` un vettore

se posso considerare `Fa` un vettore

che sta nelle coordinate quindi posso scrivere il prodotto scalare `he Fa e à`

in `R^3`: ``

`F_{a}`

Proposizione:

`F^{T} = g^{-1} F^{*} g`

Per dimostrare la proposizione si ricorda che il prodotto scalare fra due vettori `Fa` e

`c \left( a e T_{A} B \ a c e T_{y} B \right)` puoi essere scritto cambiando in vettore e nel suo

corrispondenti covettore tramite la matricie.

`< F_{a}, c > _{nR^{3}} = F_{a} g^{-1} g \, c` = `< F_{a}, c^{b}`

Inutile posso scrivere di definizone prodotto scalare `(g F_{x}`

`b = b a:`

e di definizioni di trasposta che `_{nR^{3}}` = ``

` ` = `F_{a} g^{-1} g \, c= \in R^{ 1}`

Per le definizioni di `a` e `c` è difficile ugualmente le due uguaglianze se hai che:

`F^{-1}= g^(-1) F^{*} g`

c.v.v