Scienza delle Costruzioni - Teoria

Scienza delle costruzioni

Scriviamo alcune definizioni e proprietà degli spazi vettoriali:

Def 1

Lo spazio V è definito vettoriale se è dotato delle operazioni di somma e prodotto. Lo spazio vettoriale è anche definito come spazio lineare.

Dato R, spazio dei numeri reali si ha:

+

V x V = V

o

R x V = V

Le operazioni di somma presentano le seguenti proprietà:

• v + w = w + v commutativa
• (v + w) + z = (v + z) + w associativa
• v + o = v unico elemento neutro
• ∀ v, w ∈ V

Le operazioni di moltiplicazione presentano le seguenti proprietà:

• α (βv) = (αβ)v associativa
• 1v = v unico elemento neutro
• α(v + w) = αv + αw distributiva rispetto a +
• (α + β) v = αv + βv distributiva rispetto a ∈ F
• ∀ v ∈ V e α, β ∈ F

Def 2

Si considera un sottinsieme di V cioè {v₁,...,vₙ} ⊂ V. Tali elementi si definiscono linearmente dipendenti se esistono scalari α₁, α₂, non tutti pari a zero tali che ∑ αᵢ vᵢ = o. In caso contrario l’equazione precedente vεa per αᵢ = 0, per ogni i tale gli elementi v₁, ..., vₙ, sono linearmente indipendenti.

Def 3

La notazione di Einstein si utilizza per semplificare l'equazioni infatti viene sottomesso simbolo di sommatoria quando si hanno indici ripetuti.

∑ αᵢ vᵢ = αᵢ vᵢ con la notazione di Einstein

Def 4

Definisco il _span {v₁,...,vₙ} sottinsieme di V contenente v₁,...,vₙ e tutte le loro combinazioni lineari.

Def 5

Una base in V è un sistema di elementi linearmente indipendenti v₁,...,vₙ, tali per cui:

span {v₁,...,vₙ} = V in questo caso n è la dimensione di V.

Scienza delle costruzioni

Scriviamo alcune definizioni e proprietà degli spazi vettoriali.

Def. Uno spazio V è definito vettoriale se è dotato delle operazioni di somma e prodotto. Lo spazio vettoriale è anche definito come spazio lineare. Dato F, spazio dei numeri reali, si ha:

• +
• o

V x V → V V x F → V

Le operazioni di somma presentano le seguenti proprietà:

• v + w = w + v (commutativa)
• (v + w) + z = (v + z) + w (associativa)
• v + o = v (unico elemento neutro)
• ∀ v, w ∈ V

Le operazioni di moltiplicazione presentano le seguenti proprietà:

• - α (βv) = (αβ)v (associativa)
• - 1 v = v (unico elemento neutro)
• - α (v + w) = αv + αw (distributiva rispetto a +)
• - (α + ρ) v = αv + βv (distributiva rispetto a + in F)

∀ v ∈ V e τ ∈ F

Def. 1 Si considera un sottosistema di V cioè {v₁, ..., v_n} ⊂ V. Tali elementi si definiscono linearmente dipendenti se esistono scalari α₁, ... α_n non tutti puri el zero tali che Σ α_i v_i = o. In caso contrario, l’equazione precedente veli per α_i = o, per ogni i, dice gli elementi v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti.

Def. 3 La notazione di Einstein si utilizza per semplificare le equazioni infatti viene sottomesso simbolo di sommatoria quando si hanno indici ripetuti.

- Σ α_i v = α_i v con la notazione di Einstein

Def. Definisco il span {v₁ ,..., v_n} sottosistema di V contenente v₁, ..., v_n, e tutte le loro combinazioni lineari.

Def. Una base in V è insieme di elementi linearmente indipendenti di v₁, ..., v_n tali per cui:

- span {v₁, ..., v_n} = V in questo caso n è la dimensione di V

Def. 1

Si consideri una base e₁, ..., e_n ∈ E V e si prende un elemento v ∈ V. Allora

v = Vⁱe_i.

In questa espressione v_i è un vettore poiché appartiene al mio spazio vettoriale mentre con vⁱ si indica la rappresentazione dei vettori v nella base di riferimento e_i.

Nel caso venga cambiata la base anche vⁱ cambia adattandosi alla nuova base mentre il vettore v non cambia poiché indipendente della base.

Def. 2

Si consideri uno spazio di punti E dotato dell’operazione di somma. È possibile costruirci sopra uno "spazio lineare V procedendo a differenza dei punti x-y con x,y ∈