Scienza delle Costruzioni: Teoria

Sistemi Reticolari Isostatici

I sistemi reticolari sono particolari sistemi di travi. Essi sono costituiti da aste reticolari collegate fra loro alle estremità mediante cerniere. I carichi sono applicati esclusivamente sulle cerniere o nodi. In caso contrario si hanno effetti secondari sulle aste caricate. Anche i vincoli esterni sono applicati ai nodi!

Più in avanti si parlerà di strutture reticolari deformabili. Esse lo sono, anche se sono costituite da elementi o singoli corpi che possono avere deformazioni. Segue una mola elastica, deformazione è direttamente proporzionale alla forza normale agente su essi. Tale legge è detta legame costitutivo.

N k Δ

• K = rigidità asta caratteristica geometrica
• Δ = accorciamento

Inoltre la deformabilità dei corpi non influenza i singoli problemi statico e cinematico (che si possono risolvere separatamente) ma grazie al legame costitutivo influenza il problema statico che presenta anche l'aspetto cinematico.

Struttura Isostatica

12 GDL - 12 Vincoli

Si può procedere anche in modo alternativo:

Cerniere: corpi puntiformi che, per loro natura, hanno 2 GDL

Aste: vincolo interno semplice che regola la distanza tra le cerniere

Da cui: 2 x 4 = 8    8 = 8

La configurazione variata della struttura può essere descritta mediante le componenti degli spostamenti dei nodi 1, 2

W = [W₁ V₁ W₂ V₂]^T

La Deformazione

Δ = [Δ₁ Δ₂ Δ₃ Δ₄]^T

La Sollecitazione

N = [N₁ N₂ N₃ N₄]^T

Dalla soluzione delle eq. in equilibrio (assunto K_i = k) ho:

N^T = {N₁, N₂, N₃, N₄, N₅} = {1 0 0 √2}^P/k

Dalla soluzione delle eq. nel legame costitutivo ho

Δ^T = {Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄} = {1 0 0 √2}^P/k

Dalle eq. di congruenza ricavo lo spostamento dei vincoli non liberi

M^T = {v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} = {-1 -3 0 -3}^P/k

y(x) = -^P/_2H x² + ^Pℓx/_{2Hℓ - ℓ²}

È UNA PARABOLA

Voglio cercare la freccia f in ℓ/2

y(ℓ/2) = ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ = ¹/₈ ^Pℓ/_8H - ^ℓ/₁₁

Se il filo ha un peso proprio, tale carico non è distribuito uniformemente lungo x, ma lungo l'ascissa curvilinea.

Il filo si dispone secondo una curva detta CATENARIA.

- Se ℓ << ¹/_ℓ, ho minima differenza con parabola

- Se sono presenti solo forze la formula y'' = ^P(x)/_H mi fornisce y''=0 e il filo è lineare a tratti con andamento poligonale.

CARTICHI CONCENTRATI

Essendo assegnato H ma incognita y₀, si calcolano i momenti M_i, rispetto ai punti C_i, di tutte le forze che precedono questi punti, alla sx, escludendo sia H che y₀, fino a B.

- Poiché il taglio T(z) è la derivata rispetto a z del momento M(z), si può scrivere che:

_T(z) = - V ⁽⁾ (z) = EI⁽⁾

che esprime T(z) in funzione di v(z)

- Per ottenere la seconda equazione di equilibrio in funzione di V(z) si deriva 1° e 2° membro dell’equazione statica rispetto a z e si ha:

M⁽⁾(z) - T⁽⁾(z) = 0

- Poiché per la prima eq. di equilibrio risulta

T(z) + q(z) = 0 → T(z) = - q(z)

_{M⁽⁾(z) + q(z) = 0} → [EI v⁽⁾(z)]⁽⁾ + q(z) = 0

Se EI è costante allora si può scrivere

[EI v⁽⁾(z)] = q(z) → equazione della trave inflessa

Le 4 costanti che escono da questa integrazione si devono definire con le condizioni al contorno.

Se la trave non si deforma assialmente (w(z) = 0) il grafico della funzione v(z) descrive come si deforma la linea d'asse della trave, tale curva è detta linea elastica della trave o deformata.

Teorema dei Lavori Virtuali

Assegnato un sistema discretizzato e linearmente mente

un sistema discretizz.. il lavoro virtuale esterno e

uguale al lavoro virtuale interno

Equazione o 'Identita' dei Lavori Virtuali

Dimostrazione

L_ve = [N_σv_σ + T_vq_v - M_σψ_σ]^L₀ = ∫₀^L[pψ(w_o) - qφ_(a)] dz

Sfrutto il Th. di Torricelli Barrow

L_ve = f₀ d/dz (N_v + T_v + M_[v]) ∫₀^L(pw + qv) dz

Sviluppo la derivata e sommo

L_ve = ∫₀^L(N_v + N_w + T_v+ T_w + M_v M_σ pw - qv) dz

Sapendo che φ - w - φ' - v" abbiamo

L_ve = ∫₀^L( N_[v+q]) + (i + q)(v') - (M - iT) φ_[z] dz . ∫₀^L(N_wM_[w']) dz

Per l'ipotesi abbiamo che N_[iφ_[σ] iφ_[0] M_[T] = 0

Sapendo che Ѕ = E ν = ε ν' = X

Abbiamo:

L_ve = 0 + ∫₀^L (N_E + MX) dz = L_vi

Faccio lo sviluppo in serie di Taylor degli infinitesimi

attorno al punto P ma escludo le derivate seconde

e mi fermo alle derivate prime accontentandomi delle

deformazioni infinitesime.

w_A = w +

• ^∂w/_∂x dx + ^∂w/_∂y dy + ^∂w/_∂z dz

v_A = v +

• ^∂v/_∂x dx + ^∂v/_∂y dy + ^∂v/_∂z dz

u_A = u +

• ^∂u/_∂x dx + ^∂u/_∂y dy + ^∂u/_∂z dz

In forma matriciale:

• ^∂w/_∂x ^∂w/_∂y ^∂w/_∂z

  ^∂v/_∂x ^∂v/_∂y ^∂v/_∂z

  ^∂u/_∂x ^∂u/_∂y ^∂u/_∂z

Matrice T*

= Matrice della Tensione

(Jacopiana delle derivate prime dello spostamento)

Matrice Gradiente di Spostamento

Ne segue che:

ε_x, ε_y, ε_z sono variazioni o estensioni unitarie di segmenti paralleli agli assi x, y, z.

Questi valori sono i termini della diagonale principale della matrice della deformazione pura e

E =

• ε_x   1/2 γyx   1/2 γzx
• 1/2 γxy   ε_y   1/2 γzy
• 1/2 γxz   1/2 γyz   ε_z

Piano yz

Piano xy

Piano xz

Le componenti del vettore deformazione

I componenti _mn, _nx sono:

_mx = _mα + 1/2 _xβ + 1/2 _2xγ

_my = α_y - _xγ + _yβ + 1/2 _2yγ

_mz = 1/2 _2xγ + 1/2 _xβ + ₂γ

Il vettore della deformazione _n può decomporsi

• nella parte di dilatazione _mⁿ
• nella parte di scorrimento γ_n

_n = _mⁿ + γ_n/2

Domanda:

Esistono delle fibre che a deformazione avvenuta mantengono inalterata la direzione iniziale _n? Cioè tali che lo scorrimento risultante sia nullo → γ_n = 0?

Se faccio:

_m − _mⁿ + γ_n/2

scompongo _n in:

(E − _nI)_n = 0

I = Tensore unitario

In forma esplicita si scrivono