Teoria Scienza delle costruzioni

Cinematica dei corpi deformabili:

• Spostamento rigido

u(x) = u₀ + × x

u(x) = u₀ + ×

x' = x + u

• Spostamento dovuto alla deformazione

u₁(x) = x₀ +

per percepire una deformazione div. stabilite una metrica

AB = n

A'B' = Sn

• Elongazione

= ^{AB' - AB} _AB

nei confronti arco A'B' econ intensità fisicocos è n

• POSSO DEFINIRE una deformazione INFINITESIMA DIS. quanto a inf¿initesimo

= lim_B'Δn ^{Si + ∆Sh}↔ ^Sn

• SCORRIMENTO ANGOLARE (altro parametro che definisce la deformazione)

Ωnt = if, per convention 2/3

Ωnt = lim_B'→A ^2/7 =7/29 'nt

quando B e C > A non vedi pi√π Ωnt tra la seconda ne tra le

θ∂ della curva imm.G

f puntuale

DEFORMAZIONI (medie e puntuali)

il infinitesimi: piccoli ma definiti

allungazioni del puntuale

scorrimento del medio

angolare

_{εn = ε̅n (x, n)}

Δs̅_n - Δs̅_n s_n

t̅_nt ≈ t̅_nt (x, n, t)

t₁ ̅t ^1/2 θ̅_nt

el deformazioni elementari: medie ( con limite ^{b→0 c→a}) no le puntuali

Δt, Δx Δx Δy Δz

θ_xy = ^1/2 ∂θ_xy ∂θ_yz = ^1/2 ∂θ_yz Δ_ex = ^1/2 ∂θ_ex

COMPONENTI DELLA DEFORMAZIONE

Applicazione

* Ẽ_n = Δs_n - Δs_n s_n

* Ẽ_x = AẼ Ẽ_y = AC

* t̅_xy ≈ ^3,60 _268,2

Ẽ_x 300 - 300 300

Ẽ_y AC|AC - AC AC 250

AP = -7,69x10^-5

Determina il livello al precisione

Ẽ_x = 268,2 ² ≈ 268,02

∀_ij(x) dx + ∀_ij(x) dx + ∂v_l(x) ∂x

∀_ij(x) =

• 3.2
• 8_t, E_x, E_y,...

∀_ij(x) = ∂u_l(x)

PROBLEMA PIANA

• ∀_k dx (x)
• ∀_l dy (x)

CAMBIA LA FORMA

NON CAMBIA FORMA, SOLO LA PRESSIONE

(con λ è vuoto)

6 parametri dello SPOSTAMENTO RIGIDO

(esempi: in rotazione tabella)

Equazioni di compatibilità cinematica

di solubilità del sistema

problema ipocinetico —> NO SOL GENERALE

E₁, E₂, E₃ NOTE

u_A, v_A INCOGNITE

se E₂ =0 l' = l —> se E₂ ≠0 l' ≠ l

se E₃ =0 l' = l —> se E₃ ≠0 l' ≠ l

RAGIONAMENTO —> supponiamo che E₂ fosse vincolo in A₁, i corpi 1 e 3 si disporrebbero in A₁ con componenti di spostamento u_A, v_A

il parametro che poiché varia per avere compatibilità l'intersechi A₁

proj_c su ^{'.$\theta$'.'}

corpo sezionato in e, entrambe le parti devono essere in equilibrio

(corpo in equilibrio)

le forze che i esercita su i₁ devono esercitarsi su tutta la superficie di contatto

siano TENSIONI (forze di superficie)

proietto F_r e m_R secondo n e t

tensioni

(x − h)

momento flettente

momento torcente

m_R = M_t + M_f

Presa una tensione in un dato punto la proiettiamo secondo e direzioni n e t ottenendo le 2 TENSIONI ELEMENTARI

G_nn G_nt

non proietta la, proietta le forze,

giacitura di normale proiezione secondo n

vettore componente del vettore

Lemma di Cauchy

_σm

dA_n

dA_n

Fatto il limite per h→0 e divido per dA_n

_σn=-_σm

Dalla geometria sappiamo che

dA_x/dA_n=n_x

dA_y/dA_n=n_y

dA_z/dA_n=n_z

dx∙ds=n_x

avevo SOLO tensioni normali

>0 concorde alle asse

<0 discorde alle asse

=0 (per capitare)

GIACITURE PRINCIPALI

giaciture di

normale ai II

(n₁, n_II)

ROTAZIONE DEL SISTEMA DI COORDINATE

σ̅'(x) = N̅^T σ̅(x) N̅

N̅ = [n_x, n_y, n_z]

Problema Statico

hp: equilibrio globale

soddisfo le eqs di eq nella

configurazione indefornato

Eq indefinita di equilibrio :

∫σ̅(x) + Χ̅(x) = 0_m V

statica e cinema sono duali

3 eq's m

6 incognite

iperstatico di grado 3

(dualita com

cinemetica)

nei eqs, rapidi A e b conos

nottia, objecine response;

oltre le notira somo suduali;

Somo di operator differentiari

PROBLEMA INTERNAMENTE IPERSTATICO G-3

Applicazione

stato di sollecitazione

τ₁ = C - R_τxy = -60k

τ_II = C + R_τxy = +60k

trazione uscente

Ora cerchiamo il legame con α per avere le direzioni principali (τ = 0)

tg2α = ^2τ_xy/_{σx - σy}

sono punti stazionari per la tensione (max o min);

La funzione tg non è sempre invertibile, lo è solo dove è

biettiva (portion di dominio)

Troviamo α ma non è l'unico valore, è

Il sistema principale è x

(gli altri saranno uguali)

Applicazione

O=(0;60)

V=(0;60)

σ_xy = 60 MPa

τ_xy = 60 MPa

α_II = α_I + π/2 = 3π/4

Applicazione

O=(90;60)

IV=(-20,60)

20 MPa

60 MPa

σ_I e σ_II calcolo con centro e raggio

C = (σ_x + σ_y ; 0) → C(35;0)

R = sqrt((σ_x - σ_y)/2² + τ_xy²)

Legami Costitutivi

è un altro modo per leggere la dualità tra

il legame tra cinematica e statica

ε_ij(x) + ε_ij(σ_ke)

σ_ke(x) = σ_ke(ε_ij)

legami espliciti legami di trauto implicamento

leggi governano dal materiale, che può avere comportamento:

• elastico
• plastico
• viscoso

indipendente dal dipendente dal

tempotempo

l'effetto si vedela deformazione

istantaneamenteha degli effetti che variano nel tempo

I materiali possono essere duttili o fragili

Prova a trazione

cerco un modo per isolare gli effetti della trazioneindipendentemente da come la applico

dove applico direttamente la provaunica parte utile, al fine di evitare comportamento di bordo

la prova a trazione si effettua in laboratorio e concettualmente semplice ma difficile da fare