Scienza delle costruzioni - schemi per risolvere esercizi d'esame e esami risolti

STRUTTURA

1. Fai equilibrio globale e delle singole aste per determinare le reazioni.

   ATTENZIONE! Non tutte le aste inclinate hanno un angolo di inclinazione di 45°.

   Una volta noti gli angoli e

   • 1 = PL cos30° = ^√3/₂ PL
   • 2 = PL₄ cos60° = PL₈

   quindi la risultante sarà

   1. 3 = 1 - 2

   (se prendevo 3 con verso opposto facevo 2 - 1)

2. P L₂ sen30
3. 2 = PL₄ sen60
4. 3 = 2 + 1

ATTENZIONE! I carichi distribuiti triangolari sono ≠ dai rettangolari

1. Diagrammi

• Convenzione dei segni: tutte le forze che tirano l'asta sono +
• se conosco il valore ad un estremo conosco quello di tutta l'asta.

T

- I pendoli scarichi hanno T = 0- Se non ho carichi distribuiti né carichi concentrati su di un'asta mi basta conoscere un estremo perché T è costante lungo l'asta- Se ho una forza concentrata → ho un salto nel diagramma- Se ho un carico distribuito → la distribuzione non è costante.

Esempio:Equilibrio:

• (PL/2) - T(z) - P2 = 0

M

- I pendoli scarichi hanno M = 0- Se T = 0 su un'asta → M costante → mi basta conoscere un estremo- Se non ho forza concentrata o distribuita ma ho ribaltamento al nodo faccio la forza → braccio- Se ho una forza concentrata studio prima e dopo la forza.

Esempio:

• (PL/2) M(z) → M(z) + (PL/2) = 0
• (PL/2) 2 PL = L 2-L

1. 0 ≤ z ≤ L

Esempio:- Se T = cost → M lineare- Se T = 0 → M costante → disegno il grafico sotto e metto +

\[ \bar{v}_D = \bar{v}_S \]

\[ \bar{v}_S = \bar{v}_D \]

\[-EJ\theta ''_D = 0 \quad (M_D = 0)\]

\[-EJ\theta ''_S = 0 \quad (M_S = 0)\]

\[-EJ\theta ''_D = -EJ\theta ''_S \quad (M_D = M_S)\]

\[M^{(2)}_S = 0 \quad (H_S = 0)\]

\[-EJ\overline{\theta}_D = 0 \quad (M_D = 0)\]

\[-EJ\theta ''_S = -EJ\overline{\theta}_S \quad (T_S = T_D)\]

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TIPOLOGIA 4

O_{x′,y′}

• Mx = -60 KNm
• My = -25 KNm
• N = -10 KNm
• Mor.c. = 10 KNm

1. Cerco la posizione del baricentro → fisso il sistema O(x′,y′)

A_tot = (42·8) - (6,5·11) = 24,5 cm² = 2,45·10^-3 m²

Troviamo Sx_i e Sy_i per ogni rettangolino

dove Sx_i = b·R_i·d

d = distanza baricentro rettangolino - x′

Sy_i = h·R_i·D

D = distanza baricentro rettangolino - y′

Sx₁ = 0,5·42·¹²/₂ = 36 cm³

Sx₂ = 6,5·0,5·(^{12 - 0,5}/₂) = 38,19 cm³

Sx₃ = 1·12·¹²/₂ = 72 cm³

Sx₄ = 6,5·0,5·^0,5/₂ = 9,84 cm³

Sx_tot = 144 cm³

Sy₁ = (0,5·12)·^0,5/₂ = 1,5 cm³

Sy₂ = 0,5·6,5·(^{6,5 + 0,5}/₂) = 12,19 cm³

Sy₃ = 1·12·(8 - 0,5) = 90 cm³

Sy₄ = 6,5·0,5·(0,5 ⁺ 0,5) = 42,19 cm³

Sy_tot = 110,8 cm³

_X′c = ^Sy_tot/_Atot = 44,73 cm = 0,047 m _Y′c = ^Sx_tot/_Atot = 6 cm = 0,06 m

5) Torsione

_tC_ss = M_t / 2πiδ

• δ = spessore
• i = area sovrastante

In A: δ = 0,005m

C_ss = 8,4σ / 2π.13,2.0,005

= 606.³ N / m² = 606 MPa

In C: δ = 0,01 m

C_ss = 303.10⁶ N / m² = 303 MPa

6) Tesa

σ_t = √σ₁² + 4τ₂²

In A: σ_t = 69.5 MPa

In B: σ_t = 104,8 MPa → punto più sollecitato

N''(z₁) = 0

P/EI

(^z4₂₄ ^{- 2 z3}₃) = 0

z₁ = 0 m

z₂³ = ^{48 L}₃ → z₂ = 4 m

N''(z₃) = 0

P/EI

(^z₅4₂₄ + z₂²) = 0

z₃ = 0

2 z² - 15 z + 24 = 0

Δ = 33

z_1,2 = ^{15 ± √33}₄ = 2,3 m ok

5,2 m no

N(z₂ = 2,3) = 0,01

P/EI

(1,16 - 5,07 + 5,29) = 0,01

^1,38_0,04 P/E = I → I = 9,86 · 10^-6 m⁴

I_c = π R⁴/4

R⁴₄ = 1,3 · 10^-5 ⇒ R = 0,06 m

D = 0,12 m

M = -EI J''(z₂ = 2,3 )

= -EI

[P/EI (^z3₂ - ⁵₂ · 2,3 + 2)]

= -EI P/EI (-1,105) = 16575 Nm

σx = Mx yIx - My xW = Mbπ R3

4 = 9,7 · 10⁴ N/m² = 97 MPa

97 MPa < σ_adm = 275 MPa

Verifica ok

Tipologia 2

1. Trova reazioni vincolari

   • Ha = 0
   • Va = 4P = 80 kN
   • Ma = 8P = 160 kN

2. Fai grafico T e M

3. Trova Mmax → Ty

   • Mmax = 160 kN

4. Calcola σz

   • Per i Rettangli
   • W = BH² / 6 = 0,03 m³
   • σz = Mmax / W = 6000 kN/m³

5. Calcola τxy

   • Per i Rettangli
   • τxy = 3/2 × Ty / BH = 600 kN/m²

6. Calcola σ10

   • σ10 = √(σz² + 4τxy²)
   • Von Mises
   • σ10 = √(σz² + 3τxy²)

12/6/15

0.6m 30t/m = 30*10³N

0.3m

V_A+V_B-10P = 0 ⇒ V_A=240*10³N

P_B=0

3U_B - 2U_A = 0 ⇒ U_B = ²/₃U_A ⇒ U_B=4P

ATTENZIONE In questo modo 10P è nulla

T

• 20
• 20
• 30

U

• Il grafico
• sopra
• sopra
• p_a/2
• 2P

DF

• T(z) = -^Pz/₂
• z=3
• -Pz

DB

• T(z) = 8P - P_z
• z=3
• -3P
• =8-2P

DC

• T(z) = 10P - P_z
• z=3
• -2P
• =10-0

DA

• M(z) = -^Pz2/₂
• -P_a/2

DB

• M(z) = 6P(z-3) - P_z²
• z=3
• -2
• P
• 90/2
• -2P

DC

• M(z) = 6P(z-3) + 4P(z-8) - ^Pz2/₂
• z=3
• z=10
• -2P
• 0