Esercizi Linea Elastica Risolti da Temi d'esame di Scienza delle costruzioni

Calcolare gli spostamenti μ_A, ϕ_A, μ_B

Disegnare la deformata qualitativa

Soluzione

• Reazioni vincolari
• Momento flettente
• Spostamenti
• Deformata qualitativa

Analisi Cinematica

_gde = 3

_gdr = 3

Isostatica

• Reazioni Vincolari

• 1) Σ_x = 0   _HB = -2pb
• 2) Σ_y = 0   V_A + V_B = 0
• 3) Σ_R = 0   -V_A - 2b = 0   V_A = 0

Verifica

Σ_x = 0   ✓

Σ_y = 0   ✓

Σ_R = 0   ✓

• Momento Flettente

ψ_MF = -p_x²/2

NOME

MATRICOLA

Si consideri il telaio rappresentato in figura. Le aste AB e BC hanno tutte la stessa rigidità flessionale (EI = costante, con E = modulo di elasticità del materiale, I = momento d’inerzia della sezione); viene inoltre trascurata la loro deformabilità elastica assiale (le aste sono quindi considerate assialmente intensibili).

Il telaio è caricato come illustrato in figura, cioè da un momento qL² agente in B e da un carico distribuito di intensità q agente sull'asta BC.

Si chiede di risolvere la struttura con il metodo della “Linea Elastica”, di disegnare il diagramma dei momenti e la deformata della struttura: in particolare si richiede di determinare lo spostamento verticale del punto C e la rotazione in B.

2L

SOLUZIONE

REAZIONI VINCOLARI

MOMENTO FLETTENTE

SPOSTAMENTI

DEFORMATA QUALITATIVA

2-9-2013

DE=3

DU=4

1 vett. iperst.

DECLASSO

• REAZIONI VINCOLARI

pb

H

1. Ex=0

R+Hb=0

Hb=-R

2. Ey=0

Vb+Vp=0

Vb=-2R-2P

3. MD=0

pb+Va=0

2Rb Va=0

Va=2R+2P

MOMENTO FLETTENTE

M1=-Rx

M2=(2R+2P)x pb

M2=2Bx+2Px pb-Rb

Mb=-Rx

CONVENZIONE LINEA ELASTICA

• CONVENZIONE LINEA ELASTICA

yⁱ + H / EI₁

• LINEA ELASTICA

1. y₁ = + H₁
2. EI y″ = -pb₂ x + C₄
3. EI y″″′ = -pb_x ³/6

CONDIZIONI AL CONTORNO

1. x₁ = b y₁ = 0
2. x₂ = 0 y₂ = 0
3. x₃ = 0 y₃ = 0
4. x₄ = 0 y₄ = 0

C₄ = 0

C₆ = 0

• x₂ = b /2 y₂ = y₃

-pb³ / 2 + C₁ + H / 24 + C₂ = 0

-pb₃ / 2 + 35 pb₇ / 24 + 23 / 24 = 0

• SPOSTAMENTO IN A

m₂ = m_B per le caratteristiche dell’otto 2

m_B = y₁ per x = b → E m_B = − ^{7 pb3 + pb3 − 21 + 8 pb3 − 13 pb3} ⁄ _{48 E I}

m_A = ^{− 13 pb3} ⁄ _{48 EI}

Verso sx, perché il risultato è negativo e la condiderazione di come è stato calcolato è rivolto a dx

• ROTAZIONE φ_A

φ_A = y₂ per x = 0 → E φ_A = ^{− 8 p a}⁄₁₆ − ^p_b2⁄₁₆

φ_A = ^{− p b5}⁄_{16 EI}

Antioraria perché negativa, quindi discorde con la considerazione del coefficiente

• LINEA ELASTICA

• 1. y'' + W₁/EJ

     EJy'₁ = WRb

     EJy'₁ = Wx + Rbx²/2 - C₁

     EJy₁ = Wx²/2 + Rbx³/6 - C₁x + C₂

  2. y'' + W₂/EJ

     EJy'₂ = Rx

     EJy'₂ = Rx²/2 + C₃

     EJy₂ = Rx³/6 + C₃x + C₄

CONDIZIONI AL CONTORNO

1. y₁ = 0
2. y₂ = 0
3. INDERTERMINABILITA' DELL’ANGOLO
4. INESTENSIBILITA’ DELL'ASTA A TERRA
5. CONDIZIONI ASSOLUTE (A TERRA)

1. x₁ = 0 Δy₁ = 0
2. x₁ = b Δy₁ = 0
3. x = b y'₁ + y'₂ = 0
4. x₂ = b y₂ = 0
5. x = 0 y₂ = 0
6. C₁ = 0

Wb²/2 + Rb³/6 - C₂ = 0

Wb₂/2 + Rb²/2 - C₂ = 0

C₂ = -Wb²/8

RB = -3W/4/b

C₃ = Rb²/6

C₄ = 0

• CALCOLO SPOSTAMENTO VERTICALE IN A VA
  • EJx₁ = y₁, per x₀ = EJ ∙ 0 A = C₂

0 A = -Wb²/8EJ

(4) C = -³/₂(- ^w/₂) - ^a/_ub = ^a/₂wb - ^wb/₈ = ³/₂^a/_ub ³/_-4^wb/₈ ⇒ C = -^wb/₈

(2) B = -^R/₂ ⇒ B = -^w/₄ ^b²/₂ B = -^w/₈ ^b²

(6) INSERISCO LE INCOGNITE NELLE EQZ DELLA LINEA ELASTICA

EĪY = -^(w)/₄^x2 + ^{0.x wb²}/₈

EĪY = -^w/₄^x³/₆ + ^ᶥVx³

EĪY = -^(w)x^²/₈

EĪY = -^w/₄^x³/₆ + ^wb/⁸

EĪY = ^(w)x^²

EĪY = ^-wx³

(7) CALCOLO U̅__A

X__A = 0 EĪY = ^{w:0 wb²}/₈ ⁸

X__A = ^-wb²/_8EĪ Y_A = ^-wb ²/_8EĪ ⇒ X_A = ^-wb ²/_8EĪ

CASO 2

(1) STRUT. DEFLASSION

(2) REAZIONI VINCOLATI

H_A R R_C V R_A

(1) R_X = 0 H_A + H_C = 0

(3) V_C = - R

(3) V_C = - R + H_AB = 0

H_B = - R/_b

H_A = R/_b

R/_b

MOMENTO FLETTENTE

A

B

(2) M_AB = - R

C M_CB = R/_b x

• EQUAZIONI DEFINITIVE

1) E³Y = -px + pb²

E³Y = -pX + pb²X

2) E³Y = pbx - 2/3 pb²

E³Y = -pb²/2 + 2/3 pbx³

3) E³Y = -pbX + 2/3 pbx² - 2/3 pb³

• CALCOLO y_A

y_A - y_B = y₀(c) per inserimento dell’asta

per X=0 E³Y₂ = 7pb³/6

Y₂ = 7/6 E³ ⇒ y_B = 7/6 pb³ verso l’alto

• CALCOLO φ₀

φ₀ - Y₃(b)

per x₃ = b E³Y₃ = -p² + pb²/2 - b² - 5/3 pb²

= -6 + 7 - 10 = -13 pb²/6

Y₃ = -13/6 pb²

φ(b) = 13/6 pb²

• DEFORMATA

y_B = 7pb³/E³