Scienza delle costruzioni - riassunto

Indice

• Geometria delle aree
• Leggi costitutive
  • Momenti statici
  • Dualità statico-cinematica
  • Momenti e tensori d’inerzia
  • Principio dei lavori virtuali
  • Legge costitutiva elastica
  • Caso elastico lineare
  • Solido isotropo
• Strutture isostatiche
  • Vincoli
  • Cinematismi e catene cinematiche
  • Reazioni vincolari
• Sollecitazioni
  • Caratteristiche della sollecitazione
  • Equazioni indefinite di equilibrio
  • Sforzo normale centrato
• Analisi della deformazione
  • Momento flettente
  • Sforzo normale eccentrico
  • Analisi della deformazione
  • Momento torcente per sez. circolari
  • Momento torcente sez. generiche
  • Torsione sezioni sottili aperte
• Analisi della tensione
  • Torsione sezioni sottili chiuse
  • Taglio retto
  • Tensore degli sforzi
  • Taglio deviato
  • Circoli di Mohr

Geometria delle aree

Momenti statici

Il momento statico rappresenta la distribuzione della massa, o della forma dell'area, presa in considerazione in relazione ad un certo asse. Data un’area di forma qualunque e una retta posta ad una distanza, si ha che il momento statico di rispetto ad è pari: ∫ = = ∫ .

Esiste uno stretto legame tra il momento statico e il baricentro infatti, conoscendo il momento statico e l’area del corpo in questione, si possono trovare le coordinate del baricentro e viceversa: = → = ; = .

Rispetto al baricentro il momento statico risulta nullo. La legge di trasformazione del vettore dei momenti statici per rototraslazione del sistema di riferimento risulta essere: ∗ = − 0∗.

Dove è il momento statico nel nuovo sistema di riferimento, è la matrice di rotazione che vale: cos sin [] = [ ] − sin .

Se è possibile scomporre l’area in esame in diverse aree elementari semplici, per la proprietà distributiva dei momenti statici è possibile scrivere: = ∑ ()=1. Il momento statico lo si può calcolare anche semplicemente moltiplicando l’area per la distanza con segno del baricentro.

Momenti e tensori di inerzia

Il momento d'inerzia è una grandezza che indica la resistenza di una figura piana a ruotare rispetto a un asse di riferimento: maggiore è il momento d'inerzia, minore è l'attitudine a ruotare che mostrerà la sezione. Si definisce tensore di inerzia relativo all’area e calcolato nel sistema il tensore: ∫ ∫ [] {}{}= ]= = ∫ [ ∫ ∫ [].

Dato un sistema di riferimento baricentrico, il tensore di inerzia assume una forma diagonale. I momenti di inerzia in un sistema traslato rispetto a quello baricentrico valgono: 0′ = + 0′ = + ′ = + 0 0.

Dato un sistema di riferimento generico, al fine di trovare un riferimento principale rispetto al quale il tensore di inerzia sia diagonale è necessario utilizzare la relazione matriciale: ∗ [ ] [][][]=.

Sviluppando tale relazione è possibile identificare dei valori di per i quali i momenti centrifughi si annullano. Questi valori sono uguali per ciascun riferimento e valgono: 2 = arctan ( ) − −.

Ruotando il sistema dato di tale angolo si ottiene un sistema di riferimento principale secondo il quale: + 1 2 2√( = ± − + 4 (+ se > )) 2 2 + 1 2 2√( = ± − + 4 (+ se > )) 2 2.

Se l’origine del sistema di riferimento coincide col baricentro, il sistema ruotato coincide col sistema centrale. Se è possibile scomporre l’area in esame in diverse aree elementari semplici, per la proprietà distributiva dei momenti di inerzia è possibile scrivere: = ∑ ()=1.

Il momento di inerzia lo si può calcolare anche semplicemente moltiplicando l’area per la distanza al quadrato del baricentro.

Ellisse e nocciolo centrale di inerzia

Il nocciolo e l’ellisse centrale di inerzia sono due elementi costitutivi della geometria delle masse che permettono di identificare sezioni di area di particolare interesse ingegneristico. L’ellisse centrale di inerzia, dato un sistema di riferimento baricentrico (centrale), è determinato dai raggi di inerzia: √ = √ = .

Noto l'ellisse centrale d'inerzia sarà facile tracciare il contorno del nocciolo che è il luogo degli antipoli delle rette radenti la sezione piana (resa convessa), cioè quelle rette che tangono la sezione senza tagliarla.

Una retta che rispetto al riferimento baricentrico ha equazione: + + = 0 Oppure: = + → =− =−. L’antipolo ha coordinate: + () = = ∙ + () = = ∙.

Sezioni sottili

Una sezione si dice sottile quando una delle sue dimensioni è nettamente inferiore alle altre. In questo caso la sezione viene rappresentata e calcolata come se tutta la sua area fosse concentrata sulla sua linea media. I momenti di inerzia rispetto a tali assi possono essere trascurati in quanto infinitesimi di ordine superiore agli altri.

Strutture isostatiche

Vincoli

Un corpo rigido nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 alla traslazione e 3 alla rotazione). Nel problema piano, il corpo rigido ha 3 gradi di libertà (due alla traslazione e una alla rotazione). La cinematica di un sistema composto da c corpi rigidi è definita dalla cinematica di ogni corpo del sistema. Il suo grado di libertà è la somma quindi dei gradi di libertà delle sue parti.

Il grado di libertà di un sistema eguaglia il numero di equazioni scalari necessarie ad imporre l'equilibrio. Un vincolo è ogni impedimento alla libera mobilità dei corpi. I vincoli si dicono esterni se limitano gli spostamenti assoluti, interni se limitano gli spostamenti relativi tra le parti di un sistema.

In meccanica, i vincoli sono equivalenti a delle forze, in quanto modificano il moto di un sistema ogniqualvolta questo cerchi di violarli. Dicesi reazione vincolare la forza esplicata da un vincolo.

Per problemi piani, i vincoli più comunemente utilizzati in statica delle strutture sono:

• Carrello o biella: è un vincolo semplice ed impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo l'asse ortogonale al piano di scorrimento del carrello. Lascia al corpo due libertà di movimento: la traslazione lungo il piano di scorrimento del carrello e la rotazione attorno al punto vincolato;
• Cerniera: è un vincolo doppio che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo una qualsiasi direzione del piano del problema. Lascia il corpo libero di ruotare intorno al punto stesso;
• Incastro: vincolo triplo che impedisce al corpo sia le due componenti di traslazione che la rotazione. Reagisce attraverso due componenti di forza su due diverse direzioni e una coppia;
• Doppio pendolo o bipendolo: vincolo doppio che impedisce la traslazione lungo l'asse dei pendoli e la rotazione del corpo. Permette al corpo di traslare lungo la direzione ortogonale all'asse dei pendoli: in tal senso il vincolo viene detto anche pattino o glifo.
• Doppio doppio pendolo o quadripendolo: vincolo semplice che impedisce le rotazioni del corpo. Lascia libero il corpo di traslare. Reagisce tramite una coppia.

Questi vincoli se posti internamente alla struttura, anziché vincolare gli spostamenti assoluti vincolano gli spostamenti relativi.

Cinematica - catene cinematiche

Nello studio della scienza delle costruzioni si identificano tre diversi tipi di strutture:

• Strutture labili: strutture con un grado di libertà maggiore del grado di vincoli;
• Strutture isostatiche: strutture con numero di gradi di libertà pari al numero di gradi di vincolo;
• Strutture iperstatiche: strutture con un grado di vincolo maggiore dei gradi di libertà.

Non sempre, posti i vincoli, la struttura può risultare isostatica. Esistono infatti delle maldisposizioni vincolari per cui, se nominalmente il numero di gradi di libertà della struttura è pari a quelli di vincolo essa è comunque labile (alcuni vincoli limitano lo stesso grado di libertà).

Esistono alcuni teoremi che permettono di determinare se una struttura è labile senza ricorrere ad uno studio analitico:

• I teorema delle catene cinematiche (almeno 2 corpi): condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema meccanico sia una volta labile è che, per ciascuna coppia di corpi e i centri assoluti di rotazione e e quello relativo siano allineati.
• II teorema delle catene cinematiche (almeno 3 corpi): condizione necessaria e sufficiente perché il sistema meccanico sia una volta labile è che, per ciascuna terna di corpi i tre centri relativi , , siano allineati.

Per le cerniere è noto che i centri assoluti e quelli relativi coincidono col vincolo stesso, per le bielle e i carrelli i centri assoluti e relativi sono posti nell’asse dei vincoli ma non sono determinati a priori. Per il doppio pendolo i centri sono posti sull’asse ad una distanza infinita.

Reazioni vincolari

Ogni vincolo genera delle reazioni vincolari in corrispondenza degli spostamenti non permessi. Tali reazioni agiscono al pari delle forze attive e si dividono in:

• Reazioni vincolari a terra: date dai vincoli a terra;
• Reazioni vincolari interne: date dai vincoli interni.

Per la determinazione delle reazioni vincolari, al fine di determinare le sollecitazioni nelle strutture è necessario procedere alla scrittura delle equazioni cardinali della statica ovvero gli equilibri alla traslazione e alla rotazione (rispetto ad un qualche polo arbitrario). Ogni trave può essere considerata come una composizione infinita di incastri interni; è quindi possibile spezzare ed isolare parti della struttura supponendo reazioni vincolari interne in prossimità del taglio.

Sollecitazioni

Caratteristiche della sollecitazione

Una sollecitazione interna può essere definita come la reazione vincolare interna relativa agli incastri interni della struttura. Queste reazioni vincolari si dividono in:

• Normali: tangenti all’asse della trave;
• Tangenziali: ortogonali all’asse della trave;
• Momenti: momenti delle forze che si trasmettono le due porzioni di trave rispetto alla sezione considerata.

A livello tridimensionale si avrà una sollecitazione normale, due sollecitazioni di taglio e tre di momento: due di momento flettente e una di momento torcente.

Equazioni indefinite di equilibrio

Considerando una generica trave sollecitata puntualmente e in equilibrio nel piano e isolando un concio di tale trave, volendo scrivere le equazioni di equilibrio si ha:

• Equilibrio orizzontale: ( (− cos + sin + + ) cos + + ) sin =0 2 2 2 2
• Equilibrio verticale: ( ( cos + sin + − + ) sin − + ) cos =0 2 2 2 2
• Equilibrio alla rotazione: ( (− tan + − (/ cos ) − + + ) − + ) tan =0 2 2 2

Essendo il tronco di trave di lunghezza infinitesima, è possibile assumere le approssimazioni: sin ≈ ; cos ≈ 1 ; tan ≈ 2 2 2 2 2. Le equazioni diventano perciò: + + + =0 2 − − + =0 2 − + + − = 0{ 28 = , Essendo è possibile scrivere il sistema di equazioni differenziali dette equazioni indefinite di equilibrio: ++ =0 +− =0 + − = 0{ → ∞.

Nel caso limite in cui si hanno le equazioni indefinite di equilibrio per una trave rettilinea: + =0 + =0 + − = 0{.

Analisi della deformazione

Analisi della deformazione

Nella meccanica del continuo, l’analisi della deformazione consiste nel descrivere le componenti di deformazione e studiare l’andamento di questa nell’intorno di un punto, stabilendo quali relazioni devono sussistere tra le stesse deformazioni e il campo degli spostamenti affinché essi siano congruenti, ovvero tali che il processo deformativo avvenga senza lacerazioni né compenetrazioni di materia. Lo scopo ultimo è quello di generalizzare i risultati a fibre arbitrariamente orientate e classificare gli stati tensionali di queste dovuti ai processi deformativi.

Si supponga di considerare un continuo tridimensionale riferito ad un sistema cartesiano (x, y, z). È possibile imporre ad ogni punto materiale del corpo un campo di spostamenti che, a partire dalla configurazione iniziale, lo conduca alla configurazione finale.

Scegliendo arbitrariamente all’interno del volume un punto di coordinate generiche (x, y, z) e isolandone il suo intorno un cubetto infinitesimo avente gli spigoli paralleli agli assi coordinati, per effetto di tale cambiamento di configurazione il punto si porterà in.

Per ogni punto del corpo, quindi, può essere definito un vettore spostamento il cui valore sarà funzione delle coordinate del punto. In altri termini, ogni punto del continuo sarà soggetto a degli spostamenti definiti dal campo vettoriale (u, v, w): (u, v, w) = {u}(x, y, z), {v}(x, y, z), {w}(x, y, z).

Considerando i punti in un intorno di x nell’ipotesi che la funzione di deformazione sia sufficientemente regolare, è possibile sviluppare i termini in serie di Taylor ottenendo che, i punti nell’intorno di subiscono spostamenti descrivibili come:

• u = u + u + u + ...
• v = v + v + v + ...
• w = w + w + w + ...

È possibile riscrivere il campo di spostamenti nell’intorno del punto {u} [v] {w} = u + {u} {v} {w}, ovvero lo spostamento di un punto vicino a x sarà dato da una componente traslatoria dello stesso punto più una di deformazione e rotazione dell’intorno di x rappresentata dalla matrice Jacobiana del campo di spostamenti calcolata in x.

Nell’ipotesi di atto di moto rigido (senza deformazioni), è possibile riscrivere il tutto a partire dall’espressione di atto di moto rigido considerando spostamenti infinitesimi. Si ha perciò:

• ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ∧ ( − )⏟ 0 ∙↓⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ + ⃗ ∧ ( − ) 010 ⃗ = ( , , )

È possibile riscrivere formalmente il prodotto vettoriale tra il vettore e il punto attraverso il prodotto di una matrice antisimmetrica definita matrice di rotazione e le coordinate del punto: 0 − []([ ])⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ + − ) → = [ ].