Scienza delle costruzioni - riassunto

VINCOLI

Un corpo rigido nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 alla traslazione e 3 alla rotazione). Nel

problema piano, il corpo rigido ha 3 gradi di libertà (due alla traslazione e una alla rotazione). La cinematica

di un sistema composto da c corpi rigidi è definita dalla cinematica di ogni corpo del sistema. Il suo grado di

libertà è la somma quindi dei gradi di libertà delle sue parti.

Il grado di libertà di un sistema eguaglia il numero di equazioni scalari necessarie ad imporre l'equilibrio.

Un vincolo è ogni impedimento alla libera mobilità dei corpi. I vincoli si dicono esterni se limitano gli

spostamenti assoluti, interni se limitano gli spostamenti relativi tra le parti di un sistema.

In meccanica, i vincoli sono equivalenti a delle forze, in quanto modificano il moto di un sistema ogniqualvolta

questo cerchi di violarli. Dicesi reazione vincolare la forza esplicata da un vincolo.

Per problemi piani, i vincoli più comunemente utilizzati in statica delle strutture sono:

- carrello o biella: è un vincolo semplice ed impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo l'asse

ortogonale al piano di scorrimento del carrello. Lascia al corpo due libertà di movimento: la

traslazione lungo il piano di scorrimento del carrello e la rotazione attorno al punto vincolato;

- cerniera: è un vincolo doppio che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo una qualsiasi

direzione del piano del problema. Lascia il corpo libero di ruotare intorno al punto stesso;

- incastro: vincolo triplo che impedisce al corpo sia le due componenti di traslazione che la rotazione.

Reagisce attraverso due componenti di forza su due diverse direzioni e una coppia;

- doppio pendolo o bipendolo: vincolo doppio che impedisce la traslazione lungo l'asse dei pendoli e

la rotazione del corpo. Permette al corpo di traslare lungo la direzione ortogonale all'asse dei pendoli:

in tal senso il vincolo viene detto anche pattino o glifo.

- doppio doppio pendolo o quadripendolo: vincolo semplice che impedisce le rotazioni del corpo.

Lascia libero il corpo di traslare. Reagisce tramite una coppia.

Questi vincoli se posti internamente alla struttura, anziché vincolare gli spostamenti assoluti vincolano gli

spostamenti relativi. 6

CINEMATICA - CATENE CINEMATICHE

Nello studio della scienza delle costruzioni si identificano tre diversi tipi di strutture:

- Strutture labili: strutture con un grado di libertà maggiore del grado di vincoli;

- Strutture isostatiche: strutture con numero di gradi di libertà pari al numero di gradi di vincolo;

- Strutture iperstatiche: strutture con un grado di vincolo maggiore dei gradi di libertà.

Non sempre, posti i vincoli, la struttura può risultare isostatica. Esistono infatti delle maldisposizioni vincolari

per cui, se nominalmente il numero di gradi di libertà della struttura è pari a quelli di vincolo essa è comunque

labile (alcuni vincoli limitano lo stesso grado di libertà).

Esistono alcuni teoremi che permettono di determinare se una struttura è labile senza ricorrere ad uno studio

analitico:

- I teorema delle catene cinematiche (almeno 2 corpi): condizione necessaria e sufficiente affinché il

,

sistema meccanico sia una volta labile è che, per ciascuna coppia di corpi e i centri assoluti di

rotazione e e quello relativo siano allineati.

- II teorema delle catene cinematiche (almeno 3 corpi): condizione necessaria e sufficiente perché il

, ,

sistema meccanico sia una volta labile è che, per ciascuna terna di corpi i tre centri relativi

, , siano allineati.

Per le cerniere è noto che i centri assoluti e quelli relativi coincidono col vincolo stesso, per le bielle e i carrelli

i centri assoluti e relativi sono posti nell’asse dei vincoli ma non sono determinati a priori. Per il doppio

pendolo i centri sono posti sull’asse ad una distanza infinita.

REAZIONI VINCOLARI

Ogni vincolo genera delle reazioni vincolari in corrispondenza degli spostamenti non permessi. Tali reazioni

agiscono al pari delle forze attive e si dividono in:

- Reazioni vincolari a terra: date dai vincoli a terra;

- Reazioni vincolari interne: date dai vincoli interni.

Per la determinazione delle reazioni vincolari, al fine di determinare le sollecitazioni nelle strutture è

necessario procedere alla scrittura delle equazioni cardinali della statica ovvero gli equilibri alla traslazione e

alla rotazione (rispetto ad un qualche polo arbitrario).

Ogni trave può essere considerata come una composizione infinita di incastri interni; è quindi possibile

spezzare ed isolare parti della struttura supponendo reazioni vincolari interne in prossimità del taglio.

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SOLLECITAZIONI

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

Una sollecitazione interna può essere definita come la

reazione vincolare interna relativa agli incastri interni

della struttura. Queste reazioni vincolari si dividono in:

- Normali: tangenti all’asse della trave;

- Tangenziali: ortogonali all’asse della trave;

- Momenti: momenti delle forze che si

trasmettono le due porzioni di trave rispetto

alla sezione considerata.

A livello tridimensionale si avrà una sollecitazione

normale, due sollecitazioni di taglio e tre di momento:

due di momento flettente e una di momento torcente.

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

Considerando una generica trave sollecitata puntualmente e in

equilibrio nel piano e isolando un concio di tale trave, volendo

scrivere le equazioni di equilibrio si ha:

- Equilibrio orizzontale:

( (

− cos + sin + + + ) cos + + ) sin =0

2 2 2 2

- Equilibrio verticale:

( (

cos + sin + − + ) sin − + ) cos =0

2 2 2 2

- Equilibrio alla rotazione:

( (

− tan + − (/ cos ) − + + ) − + ) tan =0

2 2 2

Essendo il tronco di trave di lunghezza infinitesima, è possibile assumere le approssimazioni:

sin ≈ ; cos ≈ 1 ; tan ≈

2 2 2 2 2

Le equazioni diventano perciò:

+ + + =0

2

− − + =0

2

− + + − = 0

{ 2

8

= ,

Essendo è possibile scrivere il sistema di equazioni differenziali dette equazioni indefinite di

equilibrio:

++ =0

+− =0

+ − = 0

{

→ ∞

Nel caso limite in qui si hanno le equazioni indefinite di equilibrio per una trave rettilinea:

+ =0

+ =0

+ − = 0

{ 9

DEFORMAZIONE

ANALISI DELLA

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

Nella meccanica del continuo, l’analisi della deformazione consiste nel descrivere le componenti di

deformazione e studiare l’andamento di questa nell’intorno di un punto, stabilendo quali relazioni

devono sussistere tra le stesse deformazioni e il campo degli spostamenti affinché essi siano congruenti,

ovvero tali che il processo deformativo avvenga senza lacerazioni né compenetrazioni di materia. Lo

scopo ultimo è quello di generalizzare i risultati a fibre arbitrariamente orientate e classificare gli stati

tensionali di queste dovuti ai processi deformativi. , , ).

Si supponga di considerare un continuo tridimensionale riferito ad un sistema cartesiano (, È

possibile imporre ad ogni punto materiale del corpo un campo di spostamenti che, a partire dalla

∗

,

configurazione iniziale lo conduca alla configurazione finale .

, )

Scegliendo arbitrariamente all’interno del volume un punto di coordinate generiche (, e isolando

nel suo intorno un cubetto infinitesimo avente gli spigoli paralleli agli assi coordinati, per effetto di tale

∗

cambiamento di configurazione il punto si porterà in .

Per ogni punto del corpo, quindi, può essere definito un vettore spostamento il cui valore sarà funzione

.

delle coordinate del punto In altri termini, ogni punto del continuo sarà soggetto a degli spostamenti

{}:

definiti dal campo vettoriale (, , )

{} (, , )

= { }

(, , )

,

Considerando i punti in un intorno di nell’ipotesi che la funzione di deformazione sia sufficientemente

regolare, è possibile sviluppare i termini in serie di Taylor ottenendo che, i punti nell’intorno di

subiscono spostamenti descrivibili come:

= + + +

= + + +

= + + +

:

È possibile riscrivere il campo di spostamenti nell’intorno del punto

{ } [ ]{}

= +

{ }

{ }

ovvero lo spostamento di un punto vicino a sarà dato da una componente traslatoria dello stesso

,

punto più una di deformazione e rotazione dell’intorno di rappresentata dalla matrice Jacobiana del

.

campo di spostamenti calcolata in

Nell’ipotesi di atto di moto rigido (senza deformazioni), è possibile riscrivere il tutto a partire

dall’espressione di atto di moto rigido considerando spostamenti infinitesimi. Si ha perciò:

⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗

+ ∧ ( − )

⏟

0 ∙

↓

⃗⃗⃗⃗ =

⃗⃗⃗ +

⃗ ∧ ( − )

0

10

⃗ = ( , , )

È possibile riscrivere formalmente il prodotto vettoriale tra il vettore e il punto

attraverso il prodotto di una matrice antisimmetrica definita matrice di rotazione e le coordinate del

:

punto 0 −

0

[]( []

⃗⃗⃗⃗ =

⃗⃗⃗ + − ) → = [ ]