Riassunto Scienza delle Costruzioni

Vincoli

• Semplici (V_e=1)
  1. Cerniera
  2. Pendolo
  3. Doppio biendolo
• Doppi (V_e=2)
  1. Cerniera fissa
  2. Cerniera ideale
  3. Cerniera imperfetta
  4. Pattino
  5. Wanigotto
• Tripli (V_e=3)
  1. Incastro
  2. Assembl. vincol. s.

Interni (V_i)

• Due corpi:
  1. Cerniera interna
  2. Carrello interno
  3. Pattino interno
• Tre o più corpi:
  1. Cerniera reattiva multipla V_i=2(N-1)
  2. Cerniera multipla a turno V_e=2N
  3. Carrello a vincolo multiplo V_e=2N-1
• Anelli chiusi V_i=3

Strutture

• Classificazione cinematica:
  1. Struttura cinematicamente impossibile: iperstatica ℓ=0, i>0
  2. Struttura cinematicamente determinata: isostatica ℓ=0, i=0
  3. Struttura cinematicamente indeterminata: labile ℓ>0
• Strutture isostatiche elementari:
  1. Arco a 3 cerniere non allineate ℓ=1, i≥0
  2. Trave appoggiata ℓ=1, i≥0
  3. Mensola ℓ=1, i=0
  4. Anello chiuso con 3 vincoli semplici

• Metodo della sottostrutture: Supporre la struttura dividendola in strutture

Problema Cinematico:

1. Scelta dei parametri Lagrangiani;
2. Scrivere le equazioni di vincolo;
3. Risolvere il sistema;
4. Scrivere la matrice cinetica;

Problema Statico:

1. Classificare la struttura;
2. Sostituire i vincoli in le relazioni vincolari equivalenti;
3. Scrivere le equazioni di equilibrio;
4. Risolvere il sistema;
5. Risolvere le reazioni vincolari con versi e nodi;
6. Risolvere la matrice statica:

• L > rg (A) ⟶ Isostatica
• L = rg (A) ⟶ Ipostatica

Carichi Applicati:

• Distribuiti
• Classificare la struttura;
• Sostituire i vincoli con alle anzioni equivalenti vincolari;

Equazioni di Equilibrio Globale:

1. Classificare la struttura;
2. Disegnare le reazioni esterne e i carichi sopratti;
3. Scrivere le equazioni di equilibrio;

● DIREZIONI PRINCIPALI di INERZIA:

lungo le quali si hanno max e min della funzione I_x(α)

● I_max,min=^I_x+I_y/₂ ±√((^I_x–I_y/₂)² + I²_xy)

CINEMATICA dei CORPI DEFORMABILI

• SPOSTAMENTI CONGRUENTI:

• 1 s(P) deve essere una funzione
• 2 s(P) deve essere iniettiva
• 3 s(P) deve essere continua
• 4 s(P) deve essere derivabile
• 5 s(P) deve rispettare il vincolo esterno al vincolo.

● quei s(P) che verificano 1—5 sono CONGRUENTI

● caso 1: 6 CONGRUENZA INTERNA

● caso 5: CONGRUENZA ESTERNA

• ANALISI LOCALE di DEFORMAZIONE: s(P) = s(O) + ↻s(P–O) + ...

[ s(P) = s(O) + W(P–O) + ⎦(P–O)² + ... ]

^RIGIDITÀ BILANCIATA INFINITESIMALE L di DEFORMAZIONE

posto Ds = W + E dove

E = ¹/₂(∇s + ∇s^T) =

TENSORE della DEFORMAZIONE INFINITESIMALE SIMMETRICA

1/2 ⎡ 2u/2x 1/2 (2u/2y) 2v/2x + 1/2 (2w/2t + 2w/2x) ⎤

1/2 ⎣ 1/2 (2v/2x + 2w/2t) 2u/2x ⎦

W = 1/2 (Ds–Ds^T) =

ANTISIMMETRICA

1/2 ⎡ 0 1/2 2u/2y) - 2v/2x 2w/2t - 2w/2y ⎤

1/2 ⎣ 1/2 (2u/2x - 2u/2y) 0 ⎦

LEGAME COSTITUTIVO

equazioni ottenute sperimentalmente che tengono conto del comportamento di un materiale.

• LA PROVA MONOASSIALE: sottoponendo una provetta a trazione si ottiene un diagramma delle forze in funzione dell’allungamento:

PUNTO O A: elasticità lineare → legge di Hooke; σ = E(ε - ε₀)

Se E è piccolo:

• materiale deformabile
• materiale poco deformabile (→ rigido)

• PUNTO A: limite di proporzionalità → fine della fase elastico lineare;
• TRATTO AB: elasticità non lineare;
• PUNTO B: limite di elasticità; NOTA: fase PLASTICA
• Se un materiale ha una fase plastica è più DUTTILE
• Se un materiale non ha fase plastica è più FRAGILE

PUNTO C: snervamento → inizio della forte instabilità

PUNTO D: limite di resistenza → tensione massima sopportata;

PUNTO E: limite di rottura.

NOTA: sottoponendo lo stesso materiale a prova di trazione:

• se si comporta allo stesso modo → materiale SIMMETRICO
• se non si comporta allo stesso modo → NON SIMMETRICO

• frequente nei materiali fragili
• frequente nei materiali duttili

• A basse TEMPERATURE i materiali diventano più FRAGILI; ad alte temperature il materiale è più duttile e non riduce la soglia di plasticizzazione;
• Sottoposto a carichi impulsivi i materiali diventano più resistenti;
• Per carichi ciclici il materiale può deteriorarsi anche per tensioni molto basse. (= FATICA.)

FORZA NORMALE:

N agisce nelle basi delle travi

• Tensione: non ci sono tensioni tangenziali

N si può ripartire uniformemente sulle travi se σ_t τ_xy = 0

Deformazioni:

ε_x= N/EA

le travi si deformano solo nella direzione dell'asse x poiché

dunque una variazione di lunghezza data da ΔL = NL/EA

Energia:

U_e = 1/2 EA/L (ΔL)², anche U_e = ∫ L/EA N²

Spostamenti:

• u = -v N/EA x ; v = -p N/EA y ; w = -z N/EA z

Estensione del DSV:

• Da soluzione sopra non vale nei seguenti casi:
1. Trave non omogenea e sezione variabile

Dunque il problema elastico consiste di:

3 INCOGNITE:

• w(L) spostamento assiale
• ε_m(L) deformazione assiale
• N(x) forza normale

Si può procedere in due modi:

• Metodo degli spostamenti:

Equazione differenziale del sistema elastica generale di ordine superiore

Nota: se EA = cost allora w'' = -q/EA