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Equazioni indefinite di equilibrio
Faccia normale x
Passando da una faccia all'altra si ha un incremento infinitesimo di σ e τ
ΣR = 0
Lungo asse x
- σ'x = σx + dσx⁄dx dx
- τ'yx = τyx + ∂τyx⁄∂y dy
- τ'zx = τzx + ∂τzx⁄∂z dz
(∂x - ⨍x) + (∂y - ⨍y)x - ⨍yx) + (∂z - ⨍zx) + ⨍(w) = 0
α (⨍x+∂xdx) - ⨍x dydz +
+ ∫(dx dydz) = 0
Si eliminano tutti i (dxdydz)
∂x + ∂yx + ∂zx + ⨍ = 0
DILATAZIONE CUBICA
ΔV = a3
a* = a + a · ε
ΔV* = a1* · a2* · a3* = a3(1 + ε1)(1 + ε2)(1 + ε3)
ℓ = ΔV* - ΔVΔV
coefficiente di dilatazione cubica
ℓ = a3(1 + ε1 + ε2 + ε3) - a3a3
→ μℓ = ε1 + ε2 + ε3
ℓ = Iλε
Per il solido monodimensionale:
- proporzionalità tra forza e allungamento
Φ = Le = 1/2 * F * w*
φ = 1/2 * σ* * ε*
Matrice Leggi di Hooke:
ɛx ɛy ɛz ɛyz ɛxy ɛxz
- 1⁄E
- -ν/E
- -ν/E
- 0
- 0
- 0
- -ν/E
- 1⁄E
- -ν/E
- 0
- 0
- 0
- -ν/E
- -ν/E
- 1⁄E
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1/G
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1/G
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1/G
σx σy σz τyz τxy τxz
σm = (σx - σy)⁄2 sen 2φ + τxy cos 2φ
σm = 0
((σx - σy) sen φ + τxy cos φ) = 0
sen φ⁄cos φ = -2 τxy⁄σx - σy = tg φ
soddisfatte per:
φ0 = -1⁄2 arctg (2 τxy⁄σx - σy)
φ1 = φ0 + π⁄2
Equazioni del Problema!
Leggi HOOKE Generali Piane:
εx = ∂u/∂x = -ν/E σz
εy = -ν/E σz
εz = 1/E σz
γxy = 0
γyz = Cyz/G
γxz = Cxz/G
Equazioni Indefinite di Equilibrio:
∂σxz/∂z = 0
∂σyz/∂z = 0
∂σzx/∂x + ∂σzy/∂y + ∂σzz/∂z = 0
σz => εz = σz/E => ε = σz/εz
Uz = εx.εz + εx.σz
U3 = εx.σz/E
εx = -ν/E σx
EQ. STATICA Mₓ:
Mₓ = ∫A Ḡz · y dA = ∫A (ax + by + ) dA = a ∫A xy dA + b ∫A y² dA = [ a · Jy₀ + b · Jx₀ ] = b · Jx₀
EQ. STATICA Mᵧ:
Mᵧ = ∫A Ḡz · x dA = ∫A (ax + by + ) dA = a ∫A x² dA + b ∫A xy = = [ a · Jy₀ + b · Jx₀ ] = a · Jy₀
- Risulta :
- Jx₀y₀ = 0 → non. CENTRIPUGO (one baricentro )
- My = 0 → applica solo Mx
{ a = 0 Mx = b · Jx₀ a = 0
b = Mx / Jx₀
SOSTITUISCO I VALORI IN
Qz = ax + by + c Qz = 0 + Mx / Jx₀ · y + 0 Qz = Mx / Jx₀ · y
FORMULA DI NAVIER
σz = M / A · ρn2
σz = 0
M / A · cos γ / ρx · y - M / A · sen γ / ρy · x = 0
(M / ρx) · cos γ · y - (M / ρy) · sen γ · x
y = tg γ · ρx2 / ρy2 · x
ASSE NEUTRO
Equazione di equilibrio:
∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂/∂z + ƒz = 0
G ⋅ Θ (∂2ω/∂x2 + G ⋅ Θ ∂2ω/∂y2 = 0
Equivalenza sotto base istotrope:
ηz = ∫A (τxy⋅x - τzx⋅y) ds = ∫A G ⋅ Θ (∂ω/∂y + x) ⋅ x - G ⋅ Θ (∂ω/∂x + y) y ds = G ⋅ Θ ∫A (∂ω/∂y + x) x - (∂ω/∂x + y) y ds
Jt = Fattore flgibberale portonale
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