Scienza delle costruzioni prof. Vincenzo Minutolo

Deformazione nei mezzi continui

Facciamo l'ipotesi di continuità dell'oggetto finito per cui non ci sono punti isolati, qualunque porzione considerata si può sempre riempire la materia con una certa densità. Consideriamo la descrizione cinematica del campo di spostamento, supponiamo un campo che al tempo t₀ occupa la configurazione C₀ e in questo caso consideriamo un punto P individuato dal vettore posizione x₀ nella configurazione iniziale. Al tempo t' > t₀ la deformazione è avvenuta, il campo cambia configurazione e il punto P sarà diretto a un punto P' individuato dal vettore posizione x. Lo spostamento sarà: u = X' - x.

Nell'intorno di P consideriamo un punto Q, che è individuato a partire da P con il vettore posizione x, con la deformazione avvenuta il punto P non sarà trasportato nell'intorno da P' diretto a Q' e individuato da d². Per dare una densità di tutti i punti nel modo in cui si portano e quindi dare una descrizione delle deformazioni nell'intorno di P, la funzione X(×) deve essere una funzione continua, ossia: “presa una successione di punti convergenti a P nel campo C, la trasformazione di C e C’ è continua se a ogni punto della successione interna e finisce convergenza a P”.

Descrizione cinematica del campo

Facciamo l'ipotesi di continuità dell'oggetto finito per cui non ci sono punti isolati; qualunque porzione considerata si può sempre descrivere la motoria con una certa densità. Consideriamo la descrizione cinematica del campo di spostamento, supponiamo in campo che al tempo t₀ occupi la configurazione C₀ e in questo campo, contando in punto P, individuato dal vettore polare x₀, nelle configurazioni iniziali. Al tempo t > t₀ a deformazione avvenuta, il campo cambia configurazione e il punto P sarà diretto a un punto P' individuato dal vettore polare x. Lo spostamento sarà: u = x' - x. Nell'intorno di P, considero un punto Q che è individuato a partire da P, con il vettore polare dx, a deformazione avvenuta il punto P si sarà trasferito nell'intorno da P' detto Q' e individuato da dx'.

Per dare una denominazione di tutti i punti in come si portano e quindi dare una descrizione delle deformazione nell'intorno di P₀, le funzioni X'(x) devono essere una funzione continua ossia: "presa una numerazione di punti convergenti a P nel campo C₀, la trasformazione da C₀ a C₁ è continua se a ogni punto della numerazione intorno a E convergenza a P, X' è associato. Un punto di conoscenza in C^. che coincide a P^..

Operatori lineari e gradienti

Lo spostamento può essere scritto d = d(X^- - X^.) essendo un operatore lineare: du = dx^- - dx^. -> dx^- = du + dx, ma ricordando che il differenziale è il gradiente dello spostamento applicato allo spostamento dX^- = (I + ∇u) dx dX^. = (I + ∇u) dx. La quantità fra parentesi è detta gradiente delle trasformazioni F = I + ∇u affinché la deformazione sia continua, richiediamo che il determinante del gradiente delle trasformazioni sia non nullo ossia l'invertibilità locale di X^-(X).

Tensore della deformazione

In particolare, per stato l'o cambierò vi è stato studiato le deformazioni e cambiamenti che l'undeformata e vi ha che: dχ = dχ₁/dχ₁ dχ₁/dχ₂ dχ₁/dχ₃ dχ₂/dχ₁ dχ₂/dχ₂ dχ₂/dχ₃ dχ₃/dχ₁ dχ₃/dχ₂ dχ₃/dχ₃ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Si nota che: det(∇χ^-) = 1 > 0. Nel corso del tempo, le configurazioni continue e il determinante c'è sempre non nullo e ciò esprime la continuità della continuità di F. Il determinante rappresenta il volume dell'elemento tangente della deformazione, che presto essere è partito in ogni punto.

Una volta elencati i requisiti che deve soddisfare la tensione, per quantificare la deformazione occorre definire una quantità scalare. Abbiamo 2 possibilità studiate: Misura finita di Green per valutare l'ammontare di deformazione si sceglie la variazione di lunghezza del vettore dx che il cui prodotto scalare è: |dx'|² = |₁dx · dx. La misura di deformazione secondo Green è:

^{|dx'|2 - |dx|2} / _|dx|² = ^{dx' · dx' - dx · dx} / _{dx · dx}

Ricordiamo che: dx' = F dx = ( + ∇_u)dx e che: dx' · dx' = |dx'|².