Scienza delle costruzioni prof. Vincenzo Minutolo

Deformazione nei mezzi continui

Facciamo l'ipotesi di continuità dell'oggetto fisico per cui non vi sono punti isolati e qualunque porzione può essere considerata come un solido continuo con una certa densità.

Consideriamo la descrizione cinematica del campo di spostamento. Supponiamo un corpo che al tempo t₀ occupa la configurazione C₀ e in questo caso consideriamo un punto P individuato dal vettore posizione x nella configurazione iniziale e al tempo t > t₀ e deformazione avvenuta, il corpo cambia configurazione e il punto P sarà diventato un punto P' individuato del vettore posizione x'. Lo spostamento sarà:

u = x' - x

Nell'intorno di P consideriamo un punto Q che è individuato a partire da P con il vettore posizione dx e a deformazione avvenuta il punto P si sarà trasferito nell'intorno da P' detto Q' e individuato da dx'.

Per dare una descrizione di tutti i punti su come si portano e quindi dare una descrizione della deformazione nell'intorno di P, la funzione X'(x) deve essere una funzione continua ossia:

"presa una successione di punti convergenti a P nel campo e₀, la trasformazione da C₀ a C₁ è continua se ad ogni punto della successione interna a e₀ l'immagine a P è anch'essa. "

un punto di conoscienza in C: il carico è P.

Lo spostamento può essere scritto:

du = dX'

mediante un operatore lineare:

dx = dX' - dy'

dX' = dU + dX

ma ricordando che il differenziale è il gradiente dello spostamento

dX' = _∂U + _∂X dX

dX' = (I⋅X) + _∂x dX

la quantità ha portato è detta gradiente della trasformazione.

F = I + _∂U

Siccome la deformazione va continuata chiediamo che il

determinante del gradiente della trasformazione sia non nullo

ossia è invertibile l'oggetto X'(X).

In particolare per il tempo

siamo, siccome valutato in un insieme in cui la deformata

è calcolato sarà indefinito e si ha che:

_∂x₁ / _∂y₁

_∂x₁ / _∂y₂

_∂x₁ / _∂y₃

_∂x₂ / _∂y₁

_∂x₂ / _∂y₂

_∂x₂ / _∂y₃

_∂x₃ / _∂y₁

_∂x₃ / _∂y₂

_∂x₃ / _∂y₃

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

si nota che:

det(∇_x) = 1 >

col passare del tempo, le configurazioni cambiano e il determinante

sarà sempre non nullo, e ciò esprime la conservazione della

continuità di F.

Il determinante Jacobiano rappresenta la variazione di volume

dell'elemento trasformato dalla deformazione, che è il preso

il carico in ogni punto.

cosθ' = cosθ + m²ε_m

cos(θ - δ) = cosθcosδ + senθsenδ = cosθ + m²ε_m =

γ = ^m22ε_m/_senθ

quando m=1 ma avendo sono due archi antigual allora senθ:

γ = m₃m_i2ε_i

DILATAZIONE VOLUMETRICA

Le somme delle dilatature lungo i 3 oxi e la varianze di volume: quando la varanazione volumetrica specifico calcolate con la fetaca del tecnore Ȝ

Il volume venule:

• stato infigmuto V₀ = Δx₁. Δx₂. Δx₃
• stato degradato V₀ = Δx₁ (1+ε₁) Δx₂ (1+ε₂) Δx₃ (1+ε₃)

algere:

V₀ = (1+ε₁)(1+ε₂)(1+ε₃)

V₀ = V₆ ( 1 + ε₁ + ε₁ε₂ + ε₃ + ... )

date che raunse in incicle deformature exiudeituna dequei touj ele proditi, iv otaiuc:

V₀ = V₆ (1 + ε₁ + ε₂ + ε₃)

use:

ΔV/_{V0 = V6 - V0/V0 = ε1 + ε1 + ε1 = Tr (Ȝ)}

Si dimostra anche che le direzioni principali sono ortogonali:

Siano λ₁ e λ₂ due autovalori distinti tra loro:

E₁m₁ = λ₁m₁

E₂m₂ = λ₂m₂

moltiplico scalarmante la prima per m₂ e la seconda per m₁:

m₂·E₁m₁ = λ₁m₁·m₂

m₁·E₂m₂ = λ₂m₂·m₁

sottraiamo le due relazioni:

m₂·E₁m₁ - m₁·E₂m₂ = λ₁m₁·m₂ - λ₂m₂·m₁

(λ₁ - λ₂)·m₁·m₂ = ∅

da cui dato che λ₁ ≠ λ₂ ne è:

m₁·m₂ = ∅

Perchè i eigl lines?

Supponiamo di aver calcolato λ₁ relativo a m₁; le autovalue lineare lungo span m₁ non nulla:

E₁ = m₁ E · m₁ ≡ λ₁ m₁ · m₁ = λ₁

λ₁ → M₁

λ₂ → M₂

λ₃ → m₃

γ = 0

ortogonali

null ore agiscono delle forze d'interazione F e delle coppie

d'interazione N. Nel caso di corpi continui si è visto che:

lim ∆A→0 E = t_m ≠ 0

lim ∆A→0 M = 0

(non esistono monogonie)

il vettore t_m è detto tensiune e dipende del punto e della

giacitura del piano

t = t(P, m)

Allora, le tensiuni sono dei sforzi che agiscono su delle

giaciture.

Per le tensiuni vale il teorema di reciprocità:

t_nm = t_mn

t_mn = t(-m) = - t_nm = - t(m)

t(-m) = - t(m)

TENSIONI PRINCIPALI E DIREZIONI PRINCIPALE DI TENSIONE

Abbiamo visto che il tensore ammette: t_n = [T]m _e ad ogni normale alle faciture in punto interno al solido è un vettore applicato in P, t_n. Ora il nostro obiettivo è stabilire una terna privata t_n rispetto alle quali il tensore invariabile voglio trovare la tensione t_m rispetto alle normali che am- metta componente tangenziale nulla. Chò significa imporre: t_n = T m = λm (tensione / normale) in forma matriciale: (T - λI)m = 0 si deve risolvere questo sistema con la condizione ||m|| = 1. Allora se lo vedessimo come un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite (m₁, m₂, m₃) può capitare che la matrice ha rango comunque e ammetta come soluzione banale (0, 0, 0) che va contro la nostra condizione. Per risolvere ciò devo eliminare il rango e imporre: det(T - λI) = 0 ciò mi traduce nell'equazione caratteristica nell'incognita λ: λ³ - J₁ λ² + J₂ λ - J₃ = 0 i cui coefficenti J₁, J₂ e J₃ sono; indipendenti rispetto al sistema di riferimento e prendono il nome di invarianti della tensione; hanno le seguenti espressioni: J₁ = tr(T) (tensione normale media) J₂ = 1/2 { J₁² + tr(TT) } (distorsione) J₃ = det(T) (volume) essendo il tensore T simmetrico, le soluzioni dell'equazione caratteristica sono reali. Dall'equazione di 3° grado troviamo: λ₁, λ₂, λ₃ e scrittura in sostituibile alle volte nelle matrici