Scienza delle Costruzioni - Flessione semplice

2° caso: flessione semplice

Azioni sulle basi

L'unica componente è il momento \( \hat{M} \), applicato alle basi. M si compone di \( \hat{M_1} \) lungo gc1 e \( \hat{M_2} \) lungo gc2. \( \hat{M} = \hat{M_1} + \hat{M_2} \; ; \hat{M} \neq 0 \). Dunque in ogni sezione agisce un momento flettente (\( \hat{M} = M \)) costante.

Concetti aggiuntivi

Parentesi: Dato il vettore \( \hat{M} \), il piano su cui agisce è detto piano di sollecitazione. La sua traccia sulla sezione retta è detta asse di sollecitazione (s). Come si vede: \( M_{ls} \)!

Torniamo a noi: Su x₃:^f₁, ^f₂ = 0 ^f₃≠0 ⟶ T.C ^N = 0

^M₁ = ∫_A (³x₂dA)

^M₂ = -∫_A (³x₁dA)

Quindi: σ₃₁, σ₃₂ = 0 σ₃₃ = ^f₃ ⟹ σ₃₃ = a + bx₁ + cx₂

1) Stato di tensione

∫_A σ₃₃dA = 0 ⟹ Aa = 0

∫_A σ₃₃x₂dA = ^M₁ ⟹ bJ₁₂ + J_1C = ^M₁

-∫_A σ₃₃x₁dA = ^M₂ ⟹ -J_eb - J_12C = ^M₂

Trovare b e c in simili condizioni è difficile. Allora usiamo uno stratagemma. Ruotiamo x₁ e x₂ in modo da farli coincidere con (ξ, η), che sono gli assi principali d'inerzia. TUTTE LE GRANDEZZE LE CALCOLO RISPETTO A η E ξ, NON x_G E y_G. SECONDO QUESTI ASSI I MOMENTI CENTRIFUGHI SONO NULLI. I MOMENTI ASSIALI SONO ADESSO CALCOLATI RISPETTO A LORO.

cJ_ξ = M_ξ -> cM̂_ξ/J_ξ

-bJ_ηM̂_η = ->bM̂_η/J_η

Conclusione: σ₃₃ = M_ξη - M_ηξ/J_ξ J_η

σ₃₃ NON È PIÙ COSTANTE, MA VARIA CON LE COORD η/ξ

INOLTRE: J_ξ=Aρ_ξ² ; J_η=Aρ_η² RAGGIO D'INERZIA AREA SEZ.

σ₃₃ = 1/A(M_ξη - M_ηξ)ρ_ξ² ρ_η²

FINE. Parentesi: Il luogo dei punti in cui σ₃₃=0, è detta asse neutro (n). La sua equazione: M_ξ η - M_η ξ = 0 ρξ² ρη²

Ma come lo trovo? Ebbene, noto s, tra η ed s c'è una precisa correlazione: troviamola!

M_η tg α M_ξ Dunque il coeff. angolare dell'asse neutro è:

M_ξ η = M_η ξ = > tg ξ̂ = M_η ρξ² =ρξ² ρη² ρξη² M_ξ= tg α ρξ²ρη²

Essendo ξs = α + π² = >⇒ tg α = -₁⁄_cot(ξs)

Quindi: tg ξ_η tg ξ_ξs = - _{ρ ξ²}⁄_ρη² È una relazione importantissima. Ci dice che ξ e η sono coniugati rispetto all'ellisse centrale d'inerzia della sezione. Quindi, noto ξ, trovo η. Chiamo η = x ⇒ γ ln η. x asse di flessione

2) Stato di deformazione

Dalle equazioni costitutive:

ε_ξξ = ε_ηη= -_υ⁄_E σ_{z z};

ε_{z z} = _{σz z}⁄_E;

ε_ξη = ε_ξz = ε_ηz = 0

Ora, provo ad esprimere σ ed ε rispetto al SDR (G, η, ζ). Risultano molto semplici.

Formula di Navier:

M_xc = ∫_A σ_zz y dA = K ∫_A y² dA - KJx ⇒ K = ^M_xc/_Jxc

QUINDI: SE c. M_xc = ^K/_EJxc ← ^K/_E

ε_ij .. | -νcy | 0 | 0 |

        | -νcy | cy |

        | 0 | 0 |

ΔA = ∫_A (ε_x + ε_y) dA = -2νc ∫_A y dA • ø

Momento statico

ΔV = ∫_V (ε_x + ε_y + ε_z) dV = c(1-2ν)∫_A(^ℓ2/₂) ∫_A y dA • ø

3) Spostamento

LO STUDIAMO NEL SDR (x, y)

ε_ij = ¹/₂(u_i,j + u_j,i)

Ottengo:

u₁ = ū - v cxcy

u₂ = v - c/2 [z² - v(cx² - y²)]

u₃ = w₁ cyz

x' = xc - v cxcyy' - cy - c/2 [z² - v(cx² - y²)]

z' = z + cyz

Cosa mi Dicono? Considerando c infinitesimo... cy' = cy + c²/2 [ ]

cy' = cy

Quindi: z' = z + cy'

z = z(1 + cy')

(Suppongo z = cost)

1. Le sezioni rette si mantengono piane Quando (1 + cy') = 0 => y':;₁c' è un valore per cui z' = 0, c_{per ogni}z

Perché l'equazione z = z_g di un piano, si trasforma in z': z(cy' + c') che è ancora l'equazione di un piano[o²:0t+c y²:0 CIOÈ CONTENGONO TUTTI QUESTARETTA

QUINDI: I PIANI, INIZIALMENTE PARALLELI, DELLE SEZ. RETTE SI TRASFORMANO NEI PIANI DEL FASCIO AVENTE PER SOSTEGNO LA RETTA DEL PIANO z':0 PARALL ALL'ASSE x DISTANTE DA QUESTO: y': -¹/_c

LA DEFORMATA DI x_c È LA LINEA ELASTICA (PARABOLA) LA CONCAVITÀ È VERSO y<0 PER M_x>0. EJ_xc = RIGIDEZZA FLESSIONALE LE RETTE RESTANO z y

COSA ACCADE ALLA SEZ.? x C (COSTANTE E VALE x_c)

Incontrano y nel punto: B: y_j=¹/_√c Se y < 0 Archi più lunghi Se y > 0 Archi più corti y = 0 Costante Asse neutro Asse di flessione Trazione Compressione Qualunque sia j_c diventerà una retta passante per B Le rette ⟂ restano ⟂ => i piani ⟂ j_c si trasformano in arc di circonferenza con centro nel punto B

Caratteristiche di Deformazione Flessionale: Per definirla è importante ricordare il risultato trovato: le sezioni restano piano e ruotano attorno a x_c. K_xc = dψ_xc / dz

Dove ψ_xc > 0 se porta y su z. Ora, se u = 0 v = c / 2 z² ⟹ ψ_xc = dv / dz w = 0

K_xc = [dv / dz = cz - M_xc z / EJ_xc] - M_xc / EJ_xc = c / ξ

TANG Ma asse trave La rotazione è ∂v / ∂z - TANG

Lavoro di Deformazione

1. L_D = ∫_V φ dV = ∫_V ¹/₂ σ_ijε_ijdV = ∫_V ¹/₂ σ_zε_z =
2. = -¹/₂ ∫_ν ^M_x/_{Jxx E} ¹/_Jxx M_x y²dA dz =
3. = ¹/₂ ∫₀^l dz ∫_A y² dA . ¹/_{Jxx² E} ℓ . J_xx = ¹/₂ ^{M_x2 ℓ}/_{Jxx E}
4. L_D = ¹/₂ M_xc . ψ_xc = ¹/₂ M_xc . M_xc ℓ
5. Se du_xc . K_xc dz
6. L_D = ¹/₂ ∫₀^l M_xc . K_xc dz = ¹/₂ ∫₀^{l M_xc M_xc dz}/_{E Jxx}
7. Per Clapeyron

Flessione retta e flessione deviata

L'angolo β tra l'asse s e y è detto deviazione. Esempio: Quando β≠0 Flessione Deviata x = n

Ma se s coincide o con sia ξ o η (es. asse η), n dovrà coincidere con ξ poiché coniugato di s e quindi ⇒ y = η ≡ s ⇒ β = 0 Flessione Retta ξ = x · n Dipende da come agisce M.

FINE