Teoria Scienza delle Costruzioni

Meccanica del Continuo:

5 Marzo 1

• Deformazione del corpo continuo
• Sforzo. Modello Cauchy. Equilibrio corpo deformabile
• Legami costitutivi

Modello umano, quando la deformaz. è piccola

(non lineare)

Faremo una teoria delle deform. finite e da questa ricaveremo la teoria lineare che ci interessa.

Deformazione (Straight)

• La proposta cinematica relevante di un corpo è quella di occupare posizione differenti in R³

Prendiamo una posizione di questo corpo e la identifichiamo con una regione regolare Ω di R³ ed di frontiera ∂Ω. Prendo punto generico X (vettore)

• Regione regolare → significa che in ogni punto della frontiera ha la normale esterna che indico con n⃗ (vettore unitario), ortogonale La config. che ho scelto la chiamo → Configurazione di Riferimento

Supponiamo di avere un’applicazione φ, una funzione,

• φ : Ω → R³ associa un altro punto tale che ad ogni punto X → x = φ (X) associa un altro punto distinto da X (grande), che chiamerò

x piccolo e al variare di X grande l’intervallo f(x) descrive un’altra regione che chiameremo

quiattuto deformata

Questa f si chiama deformazione

Che cos'è una DEFORMAZIONE? È un'applicazione di una regione regolare di R³ chiamata CONFIGURAZIONE DI RIFERIMENTO, in una regione di f chiamata CONFIGURAZIONE ATTUALE

È un’applicazione che fa corrispondere ad ogni punto X (grande) un punto x (piccolo) nella configurazione attuale. questa f si chiama DEFORMAZIONE.

È una funzione vettoriale.

Da un punto di vista dei componenti, si può scrivere:

Se punto X grande ha coordinate X = (X₁, X₂, X₃) x = (x₁, x₂, x₃)

questa f avrà come componenti

• f₁(X₁, X₂, X₃)
• f₂(... ...)
• f₃(... ...)

possiamo scrivere semplicemente x_i = f_i(X₁, X₂, X₃) ed è una trasformazione piccola - grande

(44-43)

Concetto di trasform. lineare

Chiamiamo _{U, V} ε _V

Chiamiamo _A U → _V un'applicazione che manda U → V = A_U

(A grande applica in U)

Chiedo anche che A sia lineare

Lineare _A (α _U + β _W) = α A_U + β A_W ∀ α, β ε ℝ

∀ _{U, W} ε _V

Applicazione che manda

In particolare è e l'applicazione nulla 0

O_U = 0 Trasformazione nulla

Poiché è l'applicazione 'identità'

I_U = U lo trasforma sempre in sé stesso

Se raccogliamo tutte le Trasf. Lineari troviamo

con 2 operazioni

• A + B
• α A

Prodotto di composizione tra 2 trasf. lineari

AB_U = A (B_U) Prodotto di composizione

(non commutabile)

1º Teorema di Decomposizione Algebrica

Dato A esiste un unico simmetrico che vale ¹⁄₂ (A + A^T)

ed esiste un unico antisimmetrico ¹⁄₂ (A - A^T)

tale che la somma dà proprio la A di partenza.

Quindi ¹⁄₂ (A + A^T) + ¹⁄₂ (A - A^T) = A

Prodotto scalare dx · dx = dℓ_n · dℓ_n = dℓ²

n_n · n_n = 1

d² dell’infinitesima deformazione è:

dℓ² = dₓ dₓ (F_dₓX) (F_dₓX)

- (F^T F_dₓX) · dₓ =

al posto di dₓX dℓ_N

quindi = dℓ² (F^T F_N) · N_n

detA = determinante della matrice A [A³] anche se detA è un'invariante cubico

La condizione di simmetria come si scrive in componenti?

A = A^T → A_ij = A_ji SIMMETRIA Simmetriche avranno dimensione 6

La condizione di antisimmetria

A = -A^T → A_ij = -A_ji quanti simmetri avranno dimensione n₂

A₁₂ = -A₂₁

A₁₃ = -A₃₁

A₂₃ = -A₃₂

Prodotto scalare interno tra applicazioni lineari

A · B = tr (AB^T) traposto: cambia righe per colonne

è commutativa A · B = B · A

∥ A ∥² = A · A (modulo) NORMA di una applicazione LINEARE (prodotto applicazione interna per se stessa)

∥A∥ = (tr (AA^T))^1/2

Quando A · B = 0 SONO ORTOGONALI TRA LORO

prodotto scalare nullo quadrato del prodotto scalare è nullo Se A è simmetrica e B è antisimmetrica sono sempre ortogonali tra loro (quindi A è ortogonale ad ogni simmetrica)

E_n = λ n

molti. possiamo scalar, entrambi i membri per h

h E_n = λ h₁ → E_n = h n E₁ h

espresso del coeff. di dilatazione lineare, uno dei param. della deformazione

λ dilatazione uniap. deformazione = E_n

Coeffic. di dilataz. lineare in grado di estremoParliamo di grado di estremo perché è

E_n max { E_n = h n E₁ }h n (min)

Per trovare i λ in questa espressionePer trovare la soluzione di E_n = λ h n E = λI

Possiamo scriverla in questa formula (E - λ I) h_n = 0det (E - λ I) = 0 → λ³ - i₁ λ² + i₂ λ - i₃ = 0

(Rouchy - Capelli) In particolare: i₁ = tr E = E₁₁ + E₂₂ + E₃₃

i₂ = somma dei det. dei numeri estrai. lungo la diag. principale di E detto invariante quadratico

₁₁ E₁₂ E₁₁ E₁₃ E₂₂ E₂₃

E₂₂ + E₃₃ + E₃₃

i₃ = det E

Dato E compont se uno scelto.

Lo di che . Avv a , ma non cambiano.

Potete . uno stato con lo stato con

λ_i = SCALARE ed è PRIVO DI DIMENSIONE

Tensore E può essere espresso con

con

• con

INVARIANTI espressi in funzione de 3 autovalori

I₁ ⟶ £₁ = tr E = λ₁ + λ₂ + λ₃

I₂ ⟶ E₂ = λ₁λ₂ + λ₁λ₃ + λ₂λ₃

I₃ ⟶ E₃ = det E = λ₁ λ₂ λ₃

λ₁ invariante lineare

λ₂ quadratico

λ₃ cubico

Se parte dell’ultimo invariame a. Se λ₂ ≠ 0

significa che un autovalore è nullo λ₁ ≠ 0, λ₂, λ₂ ≠ 0

E₁ ≠ 0

Set λ₃ = 0, passo E₁ allora λ₁ dov ₁ 0. può uno. un autovalore è nullo