Teoria Scienza delle Costruzioni

Meccanica del continuo:

• Deformazione del corpo continuo
• Sforzo. Modello Cauchy. Equilibrio corpo deformabile
• Legami costitutivi

Modello di Eulero, quando la deformaz. è piccola

Faremo una teoria delle deform. finte → ed a questa ricaveremo la teoria lineare che ci interessa.

Deformazione (Straight)

• La proprietà cinematica elevante di un corpo è quella di occupare posizioni differenti in R³

Prendiamo una posizione di questo corpo e la identifichiamo con una regione regolare Ω di R³ e di frontiera ∂Ω.

Prendo punto generico X (vettore)

• Regione regolare → significa che in ogni punto della frontiera ha la normale esterna che indico con n (vettore unitario), ortogonalog
• La configurazione che ho scelto la chiamo → Configurazione di riferimento

Supponiamo di avere un’applicazione f, una funzione,

• f: Ω → R³

Tale che ad ogni punto

X → x = f(X)

associa un altro punto distinto da X (grande), che chiamerò

Meccanica del continuo:

• Deformazione del corpo continuo
• Sforzo. Modello Cauchy. Equilibrio corpo deformabile
• Legami costitutivi

Modello di Eulero, quando la deformaz. è piccola (non lineare)

Far Emo una teoria delle deform. finite → e da questa ricavaremo la teoria lineare che ci interessa.

Deformazione (Straight)

• La proprietà cine Matica rilevante di un corpo è quella di occupare posizioni differenti in R³

Prendiamo una posizione di questo corpo e la identifichiamo con una regione regolare Ω di R³ e di frontiera ∂Ω. Prendo punto generico X (vettore)

• Regione regolare → significa che in ogni punto della frontiera ha la normale esterna che indico con n (vettore unitario), ortogonale

La configurazione che ho scelto la chiamo → Configurazione di riferimento

Supponiamo di avere un'applicazione ƒ, una funzione,

• ƒ: Ω → R³

tale che ad ogni punto X → x = ƒ(X)

associa un altro punto distinto da X (grande)

x piccolo e al variare di X grande in tutto

f(X) muove

CON_{\text{DI RIFER.}} CONFIG. ATTUALE

Questa f si chiama deformazione

Che cos'è una DEFORMAZIONE? È un'applicazione di una

regione regolare di R³ chiamata CONFIGURAZIONE

DI RIFERIMENTO, in una regione di f(O) chiamata

CONFIGURAZIONE ATTUALE

f è un'applicazione che fa corrispondere ad ogni punto X

(grande) un punto x (piccolo) nella configurazione attuale

questa f si chiama DEFORMAZIONE. È una funzione

vettoriale.

Da un punto di vista di componenti, si può scrivere:

Se punto X grande

ha coordinate X = (X₁, X₂, X₃)

x = (x₁, x₂, x₃)

questo f avrà come

componenti f = f₁(X₁, X₂, X₃) f₂(" ", " ", ") f₃(" ", " ", ")

possiamo scrivere semplicemente

x_d = f_.l(X₁, X₂, X₃)

e ad è una trasformazione di coordinate

per essere una deformazione → deve soddisfare

le e cosiddetto assioma di continuità dei corpi

Come vuole dire studiare una deformazione?

Vuole oltre confrontare que f (↼1) con la configurazione di

riferimiento. Non esiste una configurazione assoluta.

Confronto fra configurazione variata con quella di riferimento

questo confronto e si può fare da un punto di vista globale (ma è

interessapoco), oppure local, cioè punto per punto, intorno

per intorno siamo interessati, per ogni punto come questo intorno

la deformazione ne trasforma quell’intorno ne corrispondente

nella configurazione f (↼1)

Confrontare, ogni intorno, nel suo corrispondente nella configurazione

attuale.

A interessano 4 misure ingenieristiche che sono

1. tasso della variazione delle lunghezze
2. come cambiano gli angoli fra 2 rette
3. Come variamo le aree
4. come variano i volumi

vanno sotto il nome di parametri di deformazione

la f deve rispettare: assioma continuita' dei corpi

Ovvero deve rispettare:

• 1. Conservata l'individualita' f biezione (corrispondenza 1 a 1) ogni punto viene ritrovato sempre (dalla continuita' intrinseca avuta ancora)
• 2. f bicontinua
• 3. In ogni punto non ci puo' essere implosione o esplosione di materiaprincipio di permanenza della materia

Non deve succedere questo.Vogliamo detta permanenza della materiaanche che det F ≠ 0

La determin. non e' altro che una trasf. di coordinatex_i = f_i (x₁, x₂, x