Teoria Scienza delle Costruzioni

Meccanica del continuo

Deformazione del corpo continuo e sforzo

Modello Cauchy. Equilibrio corpo deformabile. Legami costitutivi. Modello di Eulero, quando la deformazione è piccola. Faremo una teoria delle deformazioni finite ed a questa ricaveremo la teoria lineare che ci interessa.

Deformazione (Straight)

La proprietà cinematica rilevante di un corpo è quella di occupare posizioni differenti in R³. Prendiamo una posizione di questo corpo e la identifichiamo con una regione regolare Ω di R³ e di frontiera ∂Ω. Prendo punto generico X (vettore).

Regione regolare → significa che in ogni punto della frontiera ha la normale esterna che indico con n (vettore unitario), ortogonale. La configurazione che ho scelto la chiamo → Configurazione di riferimento.

Supponiamo di avere un’applicazione f, una funzione, f: Ω → R³. Tale che ad ogni punto X → x = f(X) associa un altro punto distinto da X (grande), che chiamerò meccanica del continuo: deformazione del corpo continuo sforzo. Modello Cauchy. Equilibrio corpo deformabile legami costitutivi.

Modello di Eulero

Quando la deformazione è piccola (non lineare). Faremo una teoria delle deformazioni finite e da questa ricaveremo la teoria lineare che ci interessa.

Deformazione (Straight): La proprietà cinematica rilevante di un corpo è quella di occupare posizioni differenti in R³. Prendiamo una posizione di questo corpo e la identifichiamo con una regione regolare Ω di R³ e di frontiera ∂Ω. Prendo punto generico X (vettore).

Regione regolare → significa che in ogni punto della frontiera ha la normale esterna che indico con n (vettore unitario), ortogonale. La configurazione che ho scelto la chiamo → Configurazione di riferimento.

Supponiamo di avere un'applicazione ƒ, una funzione, ƒ: Ω → R³ tale che ad ogni punto X → x = ƒ(X) associa un altro punto distinto da X (grande). x piccolo e al variare di X grande in tutto ƒ(X) muove con configurazione di riferimento CONFIG. ATTUALE. Questa f si chiama deformazione.

Che cos'è una deformazione?

È un'applicazione di una regione regolare di R³ chiamata configurazione di riferimento, in una regione di f(Ω) chiamata configurazione attuale. f è un'applicazione che fa corrispondere ad ogni punto X (grande) un punto x (piccolo) nella configurazione attuale. Questa f si chiama deformazione. È una funzione vettoriale.

Da un punto di vista di componenti, si può scrivere:

Se punto X grande ha coordinate X = (X₁, X₂, X₃), x = (x₁, x₂, x₃), questo f avrà come componenti f = f₁(X₁, X₂, X₃), f₂(" ", " ", ") f₃(" ", " ", "), possiamo scrivere semplicemente x_d = f_.l(X₁, X₂, X₃) e ad è una trasformazione di coordinate.

Per essere una deformazione → deve soddisfare l'assioma di continuità dei corpi.

Come vuole dire studiare una deformazione?

Vuole oltre confrontare f(1) con la configurazione di riferimento. Non esiste una configurazione assoluta. Confronto fra configurazione variata con quella di riferimento. Questo confronto si può fare da un punto di vista globale (ma è di interesse minore), oppure locale, cioè punto per punto, intorno per intorno. Siamo interessati, per ogni punto, a come questo intorno la deformazione ne trasforma quell’intorno nel corrispondente nella configurazione attuale.

A interessano quattro misure ingegneristiche che sono:

• Tasso della variazione delle lunghezze
• Come cambiano gli angoli fra due rette
• Come variano le aree
• Come variano i volumi

Questi vanno sotto il nome di parametri di deformazione.

La f deve rispettare:

1. Conservata l'individualità: f biezione (corrispondenza 1 a 1) ogni punto viene ritrovato sempre (dalla continuità intrinseca avuta ancora).
2. f bicontinua.
3. In ogni punto non ci può essere implosione o esplosione di materia (principio di permanenza della materia). Non deve succedere questo.

Vogliamo detta permanenza della materia anche che det F ≠ 0. La determinante non è altro che una trasformazione di coordinate x_i = f_i(x₁, x₂, x₃).