Scienza delle Costruzioni - Flessione composta

FLESSIONE COMPOSTA

QUALI AZIONI SONO APPLICATE SULLE BASI?

SULLA BASE x_c3 È SONO NULLE TUTTE LE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE TRANNE I TAGLI T̂₁ E T̂₂.

(I TAGLI SONO LE PROIEZIONI DEL SISTEMA DI FORZE APPLICATI SU x_c1 E x_c2. SONO POSITIVI SE SONO CONCORDI CON I VERSI POSITIVI DI x_c1 E x_c2)

IN OGNI ALTRA SEZIONE ABBIAMO, DI CONSEGUENZA:

• T₁ = T̂₁;
• T₂ = T̂₂;
• M̂₁ = T̂₂ (l - x_c3);
• M̂₂ = T̂₁ (l - x_c3);

LE QUANTITÀ CON IL ^ SONO LE QUANTITÀ NOTE.

E SULLA BASE x_c3 = 0, PER L'EQUILIBRIO E DI CONSEGUENZA:

• - T̂₁;
• - T̂₂;
• M̂₁ = T̂₂ l
• M̂₂ = - T̂₁ l

CONCLUSIONI:

M₁ è negativo

M₂ è diretta verso di me

Nella flessione composta, c'è un momento flettente e il taglio.

Negli esercizi andrà specificato:

1. La sezione che stiamo analizzando.
2. Il baricentro G dove queste caratt di sollecit sono applicate

Conseguenze:

1. Su x₃ = ℓ; T̂₁ ≠ 0 T̂₂ ≠ 0

Quindi σ₃₁ = {}̂₁ ≠ 0 Ma T.C. M̂₃ = 0

σ₃₂ = {}̂₂ ≠ 0

σ₃₃ = {}̂₃ = 0

2. Su x₃ = 0; T̂₁ ≠ 0 T̂₂ ≠ 0 M̂₁ ≠ 0 M̂₂ ≠ 0

Quindi σ₃₁ = {}̂₁ ≠ 0 Ma T.C. M̂₃ = 0

σ₃₂ = {}̂₂ ≠ 0

σ₃₃ = {}̂₃ ≠ 0

Es

Rispetto a questi assi, 3₁₂ = 3₂₁ = 0

Quindi: 1) c₁ = T_n ^Sζ/_Sζ ^Sζ e ^Sη calcolati in G rispetto a ζ ed η.

2) b₁ = T_ζ ^Sη/_Sη

Risultato:

σ₃₃ - ^{T_ζζ/S_η + T_nη/S_ζ}(x_c3 – l)

Ma

M_ζ = - T_n (l - x_c3) = T_n (x_c3 - l) M_η = T_ζ (l - x_c3) = - T_ζ (x_c3 - l)

σ₃₃ = ^M_ζη-^M_ηζ/_SζS_η

L'espress. è analoga al sist. della fless pura, ma M_ζ e M_η varia per ogni sezione

CONCLUSIONE:

FORMULA DI JOURAWSKY: _Zzt = T_yS_1x/J_xbc

Dove vale che: Zzt - Ztz

PROCEDIMENTO:

• Prendo la sezione assegnata. Ne trovo G, x_c e y_c.
• Poi prendo una corda generica di lunghezza b. La chiamo BC.
• T_y = componente di T lungo y.
• S_1x = momento statico dell'area A₁ rispetto all’asse neutro.
• J_xbc = momento d’inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse neutro.
• Applico: _Zzt = T_yS_1x/J_xbc

Cosa abbiamo trovato?

Abbiamo trovato la media delle tensioni tangenziali che si esercitano sulla corda BC nella direzione T, ortogonale alla corda stessa.

Il metodo di Jourawsky è indipendente dalla corda scelta, purché divida la sezione in 2 parti.

Le equaz di Cauchy dicono che:

σ_i,j,i = 0

Per j = z ⇒ Τ_zx,x + Τ_zy,y + Ο_zz,z = 0

Derivo nuovamente rispetto ad x_c.

Τ_zx,x,x_c = 0

Dunque Τ_zx = Ax_c + B Quindi Τ_zx ha andamento lineare lungo la corda b.

Condiz al Contorno (tratta dal disegno)

G                     Τ_zx + (^b/₂) = Τ_zytgβ D è il punto d’incontro delle tangenti al contorno condotte dalle estremità di b. Sta su y per simmetria.

Questa condiz ci permette di determinare A e B. Il risultato è:

Τ_zx = ^2tgβ/_b^Τ_zyxc

Pongo:     ξ_y = A / 3x² ∫ _A S₁x²dA / b²

Questa quantita' e' il fattore di taglio nella direz y.

Esso dipende solo dalla forma della sezione. ξ>1

Dunque:

1. p_y = ξ_y T_y / GA

(tralascio cosa accade per ζx ^≠ 0)

Nel sdr (ξ, η):

1. p_ξ = ξ_ξ T_ξ / GA + ξ^ξη T_η / GA;
2. p_η = ξ_η T_η / GA + ξ^ξη T_ξ / GA;

SALTATO IL LAVORO DI DEFORMAZ

Oppure:

S_1x = A_y

A = b_s1 s₁ ∈ (0, h₂)

y_g = _h/² S_1x b_s1h₂

Per la simmetria, è lo stesso nell'ala inferiore; ma i segni? Inventati!

ζζη = Tη _S1ξ /^{b _5ξ}

Dove S_1ξ = S_1ξ' + S_1ξ" S_1ξ" = _{∫ ηbdy}/² - b _η² E' positivo e parabolico! Per ξ = 0 —> b_h²/₂ - 4

Oppure S_1ξ" = A" y_g"