Teoria per esame orale di scienza delle costruzioni

Preliminari di Algebra dei Tensori:

Un tensore del secondo ordine A si può definire come una trasformazione lineare che trasforma un dato vettore a in un vettore u:

Aa = u

Tale per cui valga la proprietà di linearità e cioè:

A(αa + βb) = αAa + βAb

qualunque siano α, β, a e b.

Si indica con O il tensore zero che trasforma ogni vettore nel vettore nullo

Oa = 0

Si indica con I il tensore identità che trasforma ogni vettore in se stesso:

Ia = a

Per i tensori del secondo ordine definiamo le seguenti operazioni:

La somma di due tensori A e B data dalla seguente:

(A + B)a = Aa + Ba ;

il prodotto per uno scalare (α) è così definito :

(αA)a = αAa ;

il prodotto di composizione tra due tensori A e B è definito:

(AB)a = A(Ba) in generale AB ≠ BA

Ad ogni tensore si corrisponde un unico tensore trasposto A^T tale che comunque si scelgano due vettori a e b si abbia:

(Aa)·b = (A^Tb)·a

Se A = A^T il tensore A è simmetrico.

Se A = -A^T il tensore A è antisimmetrico.

Introduciamo ora un terna di assi cartesiani ortogonali fra loro

Preliminari di Algebra dei Tensori:

Un tensore del secondo ordine A si può definire come una trasformazione lineare che trasforma un dato vettore a in un vettore u.

Aa = u

Tale per cui valga la proprietà di linearità e cioè:

A(α + β) = αAa + βAb

Qualunque siano α, β, a e b.

Si indica con O il tensore zero che trasforma ogni vettore nel vettore nullo

Oa = 0

Si indica con I il tensore identità che trasforma ogni vettore in se stesso

Ia = a

Per i tensori del secondo ordine definiamo le seguenti operazioni:

La somma di due tensori A e B data dalla seguente:

(A + B)a = Aa + Ba ;

Il prodotto per uno scalare (α) è esso definito:

(αA)a = αAa ;

Il prodotto di composizione tra due tensori A e B è definito:

(AB)a = A(Ba) in generale AB ≠ BA

Ad ogni tensore si corrisponde un unico tensore trasposto A^T tale che comunque si scelgano due vettori a e b si abbia:

(Aa)⋅b = (A^Tb)⋅a

Se A = A^T il tensore A è simmetrico.

Se A = -A^T il tensore A è antisimmetrico.

Introduciamo ora un terna di assi cartesiani ortogonali fra loro

con origine in O quindi brevemente O(i_i) definiamo in

forma scalare tutte le relazioni che abbiamo appena visto.

Definiamo le componenti del tensore A le quantità pari a:

A_ik = (i,K = 1,2,3)

dove i_i sono i versori delle tre direzioni della terna di

riferimento; con queste componenti del tensore A si può

costruire la matrice 3x3,

che è la matrice associata A=

al tensore A nel fisso riferimento.

La matrice associata per esempio, al tensore I è la seguente:

e cui generico elemento viene indicato con

i_i = {1 se i = K, 0 se i ≠ K} (delta di Kronecker)

Volendo scrivere A_ϕ ⋅ U in forma scalare ricaviamo che:

e possiamo scrivere che

ed infine per

quanto abbiamo detto prima possiamo scrivere:

U_i =

Le componenti della somma (A + B)_ik = A_ik + B_ik

Le componenti della composizione di A e B sono:

(AB)_ik =

e quindi: (AB)_ik =

Le componenti del trasposto di A :

(A^T)_ik = A_ki

mentre le condizioni di tensore simmetrico ed antisimmetrico :

A_ik = A_ki e A_ik = -A_ki

(Le componenti a indici uguali di un tensore antisimmetrico sono

nulle)

Si definisce traccia traccia del tensore A

tr A = ∑_i=1³ A_ii = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

e cioè la somma degli elementi della diagonale principale.

Con det A si indica infine il determinante della

matrice associata al tensore A.

Analisi Della Deformazione

La deformazione è quel fenomeno che vede un corpo deformabilepassare da una configurazione iniziale detto "di riferimento"ad una configurazione finale detto "attuale".Durante questa deformazione le distanze dei punti che compongonoil corpo non restano costanti (come accade per il corpo rigido).

La deformazione è dovuta all'applicazione di forze esterne e