Teoria per esame orale di scienza delle costruzioni

Preliminari Di Algebra Dei Tensori:

Un tensore del secondo ordine A si può definire come una trasformazione lineare che trasforma un dato vettore a in un vettore Aa:

Aa = 0

tale per cui valga la proprietà di linearità e cioè:

A(αa + βb) = αAa + βAb

qualunque siano α, β, a e b.

Si indica con O il tensore zero che trasforma ogni vettore nel vettore nullo:

Oa = 0

Si indica con I il tensore identità che trasforma ogni vettore in se stesso:

Ia = a

Per i tensori del secondo ordine definiamo le seguenti operazioni:

la somma di due tensori A + B è data dalla seguente:

(A + B)a = Aa + Ba ;

il prodotto per uno scalare (α) è così definito:

(αA)a = α(Aa) ;

il prodotto di composizione tra due tensori A e B è definito:

(AB)a = A(Ba) in generale AB ≠ BA

Ad ogni tensore si corrisponde un unico tensore trasporto A^T tale che comunque si scelgano due vettori a e b si abbia:

(Aa) · b = (A^Tb) · a

Se A = A^T il tensore A è simmetrico.

Se A = -A^T il tensore A è antisimmetrico.

Definiamo le componenti del tensore A le quantità pari a:

A_iK = (A_LK · c_i) (i, K: 1, 2, 3)

dove c_i sono i versori delle tre direzioni della terna di riferimento con queste componenti del tensore A si può costruire la matrice 3x3 che è la matrice associata al tensore A nel fisso riferimento.

A = [_{A11 A12 A13}]

[_{A21 A22 A23}]

[_{A31 A32 A33}]

La matrice associata per esempio, al tensore I, è la seguente:

I = [^{1 0 0}]

[^{0 1 0}]

[^{0 0 1}]

Il cui generico elemento viene indicato con i_iK che assume valore 1 o 0 a seconda che i = K o i ≠ K (delta di Kronecker).

Volendo scrivere A_o · U in forma scalare ricordiamo che:

Q_i = ∑_K=1³ a_k · i_k e possiamo scrivere che

U_i := U_x · c_i = (A_Q · c · c_i = [∑_K=1³ a_k · i_k] · c · c_i) ed infine per quanto abbiamo detto prima possiamo scrivere:

U_i = ∑_K=1³ A_iK · a_k

Le componenti della somma (A+B)_ik = A_ik + B_ik

Le componenti della composizione di A e B sono:

(AB)_ik = [(AB)_ik] · c_i = [A(B_LK)] · c_j = ∑_j=1³ A_ij (B_ik · s_j)

e quindi: (AB)_ik = ∑_j=1³ A_ij · BjK

La seguente figura riassume in linea generale quanto detto fino ad ora.

Per completare il quadro sulle condizioni 1) e 2) si considerano le derivate parziali delle funzioni f_i rispetto alle variabili y_j e si costruisce la matrice 3x3 avente per elementi:

[F] = [∂f_i/∂y_j] =

∂f₁/∂y₁∂f₁/∂y₂∂f₁/∂y₃ ∂f₂/∂y₁∂f₂/∂y₂∂f₂/∂y₃ ∂f₃/∂y₁∂f₃/∂y₂∂f₃/∂y₃

questa è la matrice associata al tensore del secondo ordine

[F]=grad f

[F] è detto gradiente di deformazione e si può mostrare che il suo determinante coincide con lo Jacobiano di f.

Se si considera l'assioma di continuità allora sappiamo che

det F = |∂f_i/∂y_j| ≠ 0

perché se det F = 0 oppure se (det F)^-1 = 0

allora vuol dire che una regione del corpo di volume finito può deformarsi in una regione di volume zero oppure nel secondo caso (det F)^-1 in una regione a volume infinito

Sappiamo inoltre che...

detF = \(\frac{dV}{dV_0}\) ed introducendo

il coefficiente di dilatazione cubica,

\(H = \frac{dV}{dV_0} - 1\) deduciamo che: \(H = detF - 1\)

dove H è funzione del gradiente.

Deformazioni Finite:

Ciò che abbiamo detto finora avviene in generale, perché è

modello deformativo del continuo e indipendente dalla entità

della deformazione. Quelle che abbiamo prima definito sono le

deformazioni finite che in campo continuo può subire.

Ora dobbiamo vedere questa e quella grandezza che comprende

tutti gli effetti della deformazione determinando in questo

modo la misura della deformazione.

Questa grandezza a cui stiamo facendo riferimento, insieme ad

altre funzioni di essa, è il tensore F da cui dipendono tutte

le deformazioni che abbiamo spiegato prima.

In questo caso (nelle deformazioni finite) faremo riferimento al

tensore di deformazione finita.

\(D = \frac{1}{2} (TFC - I)\) ← tensore identità,

scritta anche in dipendenza di

\(D = \frac{1}{2} (-- + ++ - H:\)

D è simmetrico e si annulla quando F = I.

Possiamo definire tutti i coefficienti di dilatazione in funzione di D:

\(e_n = \left\{L(m)\cdot m + \frac{1}{2} I : I\)

\(2(1 + n) \right\}\)

Analisi Della Tensione

Nella configurazione relativa alle deformazioni ogni parte del corpo interagisce meccanicamente con l'ambiente circostante e con ogni parte complementare facente parte del corpo.

Tali interazioni vengono descritte mediante delle forze, edifiniamo di che tipo sono. Assunto il corpo continuo in una prescore configurazione deformata si distinguono 3 diverse classi di forze che sono applicate al corpo stesso.

1. Forze di volume sono esercitate dall'ambiente esterno sui punti interni del corpo.
2. Forze di contatto (interne) che somo forze tra varie parti del corpo quando esse si può pensare idealmente suddiviso.
3. Forze di contatto esterne (o di superficie) che sono forze esercitate dall'ambiente su una porzione o su tutta la superficie del corpo.

Le forze di volume si assegnano con il campo vettoriale Y=Y(P) continuo in ogni P del corpo.

Y è il risultante di tutto le forze esercitate dall'ambiente nel punto P. Sono forze diverso il cubo della lunghezza.

Ma per i nostri scopi trascuriamo questo tipo di forze. Passiamo a studiare le forze di contatto esterni che si assegnano con il campo vettoriale della loro densita superficie

P=P(P)

Queste forze si immaginano applicate sulla superficie del corpo Vale superficie pero essere immerimente libera (S_e) oppure parzialmente vincolasta (S_v) la cui reazione di dimenti si pensa come una reazione superficie

si viene indicata con Z=Z(P) E ovvio che S_e ∨ S_v

∫_C Y(P) dV + ∫_S ρ(P) dS + ∫_A t_m(P) dA = 0

∫_C Y(P) dV - ∫_S ρ(P) dS + ∫_A t_m(P) dA = 0

Sommaendo membro a membro si ottiene:

∫_A (t_m(P) + t_m'(P)) dA = 0 e quindi:

t_m(P) = - t_m'(P)

Si è fatto riferimento per questi ultimi passaggi alla figura seguente:

C⁺ t_m | t_m' C^- | C⁺

t_m è la tensione esercitata da C⁺ a C^-.

Componenti Di Tensione

In un generico riferimento O(y_i)(i = 1, 2, 3) il vettor tensione t_m in ciascun punto S si può scomporre nelle 3 componenti:

t_m = t^mi_i

Altre componenti in cui si può scomporre t_m sono: la tensione normale e la tensione tangenziale.

La prima, cioè la tensione normale, la possiamo scrivere: t_m = t_m · n che rappresenta la componente della tensione lungo n che è normale su C. La tensione tangenziale invece è t_m - t_m · n che è la forza che t_m esercita su C secondo ν (i. è la direzione che ha un verso arbitrario, che il piano contenente n e t_m forma con il piano Π.