Teoria per esame orale di scienza delle costruzioni

Preliminari di algebra dei tensori

Un tensore del secondo ordine A si può definire come una trasformazione lineare che trasforma un dato vettore a in un vettore u:

Aa = u

Tale per cui valga la proprietà di linearità e cioè:

A(α;a + β;b) = αAa + βAb

Qualunque siano α, β, a e b.

Si indica con O il tensore zero che trasforma ogni vettore nel vettore nullo:

Oa = 0

Si indica con I il tensore identità che trasforma ogni vettore in se stesso:

Ia = a

Operazioni sui tensori del secondo ordine

Per i tensori del secondo ordine definiamo le seguenti operazioni:

La somma di due tensori A e B data dalla seguente:

(A + B)a = Aa + Ba ;

Il prodotto per uno scalare (α) è così definito:

(αA)a = αAa ;

Il prodotto di composizione tra due tensori A e B è definito:

(AB)a = A(Ba) in generale AB ≠ BA

Ad ogni tensore si corrisponde un unico tensore trasposto A^T tale che comunque si scelgano due vettori a e b si abbia:

(Aa)·b = (A^Tb)·a

Se A = A^T il tensore A è simmetrico.

Se A = -A^T il tensore A è antisimmetrico.

Introduciamo ora una terna di assi cartesiani ortogonali fra loro.

Preliminari di algebra dei tensori

Un tensore del secondo ordine A si può definire come una trasformazione lineare che trasforma un dato vettore a in un vettore u.

Aa = u

Tale per cui valga la proprietà di linearità e cioè:

A(α + β) = αAa + βAb

Qualunque siano α, β, a e b.

Si indica con O il tensore zero che trasforma ogni vettore nel vettore nullo:

Oa = 0

Si indica con I il tensore identità che trasforma ogni vettore in se stesso:

Ia = a

Operazioni sui tensori del secondo ordine

Per i tensori del secondo ordine definiamo le seguenti operazioni:

La somma di due tensori A e B data dalla seguente:

(A + B)a = Aa + Ba ;

Il prodotto per uno scalare (α) è esso definito:

(αA)a = αAa ;

Il prodotto di composizione tra due tensori A e B è definito:

(AB)a = A(Ba) in generale AB ≠ BA

Ad ogni tensore si corrisponde un unico tensore trasposto A^T tale che comunque si scelgano due vettori a e b si abbia:

(Aa)·b = (A^Tb)·a

Se A = A^T il tensore A è simmetrico.

Se A = -A^T il tensore A è antisimmetrico.

Terna di assi cartesiani

Introduciamo ora una terna di assi cartesiani ortogonali fra loro con origine in O quindi brevemente O(i_i) definiamo in forma scalare tutte le relazioni che abbiamo appena visto.

Definiamo le componenti del tensore A le quantità pari a:

A_ik = (i,K = 1,2,3)

Dove i_i sono i versori delle tre direzioni della terna di riferimento; con queste componenti del tensore A si può costruire la matrice 3x3, che è la matrice associata A=al tensore A nel fisso riferimento.

La matrice associata per esempio, al tensore I è la seguente:

E cui generico elemento viene indicato con:

i_i = {1 se i = K, 0 se i ≠ K} (delta di Kronecker)

Volendo scrivere A_ξ · U in forma scalare ricaviamo che:

E possiamo scrivere che:

Ed infine per quanto abbiamo detto prima possiamo scrivere:

U_i =

Componenti e proprietà dei tensori

Le componenti della somma (A + B)_ik = A_ik + B_ik

Le componenti della composizione di A e B sono:

(AB)_ik =

E quindi: (AB)_ik =

Le componenti del trasposto di A:

(A^T)_ik = A_ki

Mentre le condizioni di tensore simmetrico ed antisimmetrico:

A_ik = A_ki e A_ik = -A_ki

(Le componenti a indici uguali di un tensore antisimmetrico sono nulle)

Si definisce traccia traccia del tensore A tr A = ∑_i=1³ A_ii = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

E cioè la somma degli elementi della diagonale principale.

Con det A si indica infine il determinante della matrice associata al tensore A.

Analisi della deformazione

La deformazione è quel fenomeno che vede un corpo deformabile passare da una configurazione iniziale detto "di riferimento" ad una configurazione finale detto "attuale".

Durante questa deformazione le distanze dei punti che compongono il corpo non restano costanti (come accade per il corpo rigido).

La deformazione è dovuta all'applicazione di forze esterne e