Scienza delle Costruzioni - Dimostrazioni

DIMOSTRAZIONI:

1. RELAZIONE DI CAUCHY:

x₃ x₂ x₁

PRENDO UN VOLUME INFINITESIMO dV E NE IMPONGO L'EQUILIBRIO (R.e.q.):

F_i + ∮_s p_im dσ_m = ∫_v p_im d^*σ_m = 0

∫_v p_im dσ_m + ∫_s p_im dσ_m = 0

DIVIDO I TERMINI PER dσ TENENDO CONTO CHE dσ/dσ=1

p₁ + dσ/dσ = p_1m + p_2m + p_3m RELAZIONE DI CAUCHY

2. EQUAZIONE INDEFINITA DI EQUILIBRIO

CONSIDERO UN VOLUME V^* INTERNO A V₁ SOTTOPOSTO A FORZE DI VOLUME E DI SUPERFICIE E IMPONGO

R₁ = ∫_v F₂ dV^* + ∫_s p_im d^*σ_m = 0

CALCOLO IL RISULTANTE LUNGO L'ASSE x_i:

R₁ = ∫_v F₁ dV^* + ∫_s p_1m dσ_m = 0

USO CAUCHY: R₁ = ∫_v F₁ dV^* + ∫_v (p_1m,1 + p_2m + p_3m,3) dV^* = 0

USO IL TH. DELLA DIVERGENZA: R₂ = ∫_v F₁ + p_1m + 1/2 (p_2/3) dV^*

IN GENERALE: F_i = 0

EQUAZIONE INDEFINITA DI EQUILIBRIO

3. SIMMETRIA DEGLI SFORZI TANGENZIALI

CONSIDERO UN VOLUME V^* INTERNO A V, SOTTOPOSTO A FORZE DI VOLUME E DI SUPERFICIE E IMPONGO L'EQUILIBRIO (M₁₀) LUNGO L'ASSE x₁:

M₁ = ∫_v (x₂ F₂) ^* dV^*

USO CAUCHY:

M₁ = ∫_v (x₂ F₂) ^* dV^*

USO IL TH. DELLA DIVERGENZA:

M₁ = ∫_v {x₂ F₃ + (x₂ p₁₁) / (x₂ p₃)} dV^* = 0

DERIVO I TERMINI TRA PARENTESI RICORDANDO LE REGOLE DI DERIVAZIONE COMPOSTA:

( X₂ P₃ )

SIMMETRIA DEGLI SFORZI TANGENZIALI

DIMOSTRAZIONI:

1. RELAZIONE DI CAUCHY:

_{x3 x2 x1}

PRENDO UN VOLUME INFINITESIMO dV E NE IMPONGO L'EQUILIBRIO (R.q):

_∮S ^T_ijn_jdσ + ρ _b dV = 0

DIMIDO I TERMINI PER dσ, TENENDO CONTO CHE dσ/dσ = 1,

_{Tijnj = Tji}

^{_xj n_j} + ρ _b = 0

RELAZIONE DI CAUCHY

2. EQUAZIONE INDEFINITA DI EQUILIBRIO

• CONSIDERO UN VOLUME V_i INTERNO A V₁ SOTTOPOSTO A FORZE DI VOLUME E DI SUPERFICIE E IMPONGO L'EQUILIBRIO (R.i.):
• CALCOLO IL RISTANTTE LUNGO L'ASSE X₁:
• USO CAUCHY:
• USO IL TH. DELLA DIVERGENZA:
• IN GENERALE:

F_ei = p_eij ^x_j = 0

EQ. INDEFINITA DI EQUILIBRIO

3. SIMMETRIA DEGLI SFORZI TANGENZIALI

• CONSIDERO UN VOLUME V_i INTERNO A V₁ SOTTOPOSTO A FORZE DI VOLUME E DI SUPERFICIE E IMPONGO L'EQUILIBRIO (M.i.o) LUNGO L'ASSE X₁:
• USO CAUCHY:
• USO IL TH. DELLA DIVERGENZA:
• DERIVO I TERMINI TRA PARENTESI RICORDANDO LE REGOLE DI DERIVAZIONE COMPOSTA:

1. [(x₃p₃₂ - x₃p₃₃)Z_i3e1
2. [x₃)e₂(x_jp₃₃/_x3p323]
3. [x_3p31

p₃₃ = p₃₂

SIMMETRIA DEGLI SFORZI TANGENZIALI

4- STATO DI SFORZO: CAMBIAMENTO DEL SdR

Vecchio SdR: assi x, assi y, sforzo PNuovi sforzi visti dal vecchio SdRNuovo SdR: assi x₁, assi y₁, sforzo Q(sforzi iniziali, verso nuovi)Uso Cauchy:

e_i: p_i2= P_i1 cos α₁₂ + P_i2 cos α₂₂ + P_i3 cos α₃₂ in generale →  p_ij = ∑_k P_ikcos α_kj

Le componenti degli sforzi p lungo gli assi del nuovo SdR si ottengono tramite il prodotto scalare con i versori del nuovo assi (cioè con i versi del vecchio SdR):

^{p_i1 = P_i1 · α1 + P_i2 · α2 + P_i3 · α3}P = α_k1 m₁ m₂ S₂ P₁₃ P₃₂

In generale: p_ij = ∑_k