Scienza delle Costruzioni - Dimostrazioni

Dimostrazioni

1. Relazione di Cauchy

Prendo un volume infinitesimo dV e ne impongo l'equilibrio (R, G).

Divido i termini per dσ_i, tenendo conto che dσ_i/dσ_m

_m = p_im_i = p_i σ_m1 + p_i σ_m2 + p_i σ_m3 = p_i3 m₃

Relazione di Cauchy

2. Equazione indeterminata di equilibrio

Considero un volume V interno a V, sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo l'equilibrio (R, O).

Calcolo di resistenza lungo l'asse x_i.

Uso Cauchy: R_i

Uso il Th. della divergenza

In generale: Eo indeterminata di equilibrio

3. Simmetria degli sforzi tangenziali

Considero un volume V interno a V, sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo l'equilibrio (M, O) lungo l'asse x_i

Uso Cauchy: M_i

Uso il Th. della divergenza

Derivò i termini tra parentesi ricordando le regole di derivate composte

M_i = Simmetria degli sforzi tangenziali

4 - Stato di Sforzo: Cambiamento del SDR

Vecchio SDR: assi x₁, verso x₂, s₃ Nuovo SDR: assi y₁, verso y₂, y₃

Nuovi sforzi visti dal vecchio SDR

Uso Cauchy:

P_ox = P_oz = 0, P_oy = P_ox + pL α₁₂ β₁₂ + α₁₃ α₃₂ β₂₁ = P_ox

In generale:

Invarianti e Autovettori di Sforzo

5 - Componenti tangenziali e cerchio di Mohr

• Calcolo la componente normale g_n come proiezione di ρ_m sulla normale: g_n = ρ_m • m₁²
• Applico la relazione di Cauchy
• Calcolo ρ_m² tramite il teorema di Pitagora:

Ip.: siano nel SDR

Ricalco il sistema lineare (non omogeneo di 3 eq.):

Ottengo le 3 soluzioni:

• M₁ = m₂² + (g_m - g₃) (g_m - g₁) > 0
• M₂ = m₁² + (g_m - g₃) (g_m - g₁) > 0
• M₃ = m₃² + (g_m - g₁) (g_m - g₂) > 0

1. Applicazione: Deformazione Volumetrica

Considero un volume di un S.R. principale che viene deformato essendo nel S.R.P non ci sono coefficienti angolari e quindi la matrice associale avrà non nulli solo l'elementi triangolari nella matrice. Calcolo il volume finale considerando le deformazioni:

• dV₁ = (1 + ε₁)dx₁ dx₂ dx₃

Definisco la deformazione volumetrica: ε_v = dV' - dV / dV

Sostituisco gli ε_i:

• ε_v = (1 + ε₁)(1 + ε₂)(1 + ε₃) - 1

Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

ε_v = ε₁ + ε₂ + ε₃ (1^st invarianto di deformazione)

2. Criterio Inverso: Equazioni di Congruenza

Da 8^a stato di deformazione: δ_ij = 1/2 (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i)

Note: Le deformazioni seguono lo spostamento.

Cerco una soluzione per il caso piano.

Derivo δ_xy due volte rispetto a x:

• δ_i = ∂²u_i/∂x_xx

Negli spazi euclidei l'ordine di derivazione non importa; si ottiene (sostituendo):

• ∂²u_yz + ∂²u₂₂ = ∂²u₁₂

Si possono eseguire operazioni analoghe su tutte le altre deformazioni piane ottenendo:

Si trovano altre condizioni partendo da gruppi di 4 equazioni per esempio:

Sommo le equazioni. Complessivamente si ha:

Ripeto quest'operazione su altri 2 gruppi di equazioni ottenendo altre 2 equazioni:

Sono sufficienti a integre il sistema. Equazioni di Congruenza

19 - Problema elastico

Abbiamo 15 incognite (6 p_ik, 6 s_ik, 3 a_i) e 15 equazioni che governano il problema:

• EQ. differenziali indeterminate in equilibrio [3]:

³∑_k=1 P_ik,k + F_ik = 0   con i = 1,2,3 [a]

P_ik = P_ki

• EQ. di congruenza [6]:

¹/E (Δ_ik + Δ_ki)   con k,l = 1,2,3 [b]

• Legami sforzo-deformazione [3]:

S₁₁ = 1/E (P₁₁ - P₂₂ - P₃₃/m) = P₃/m S₂₂ = 1/E (P₂₂/m - P₁₁ - P₃₃/m) S₃₃ = 1/E (P₃₃/m - P₁₁ - P₂₂)

S₁₂, S₁₃, S₂₃ = 2G S₁₂

S₃₄ = 2G

19a - Soluzione in termini di spostamenti: Equazioni di Navier

• inverto il segnali sforzo-deformazione [c]:

P₁₁ = 2G S₁₁ P₁₂ = 2G S₁₂ P₁₃ = 2G S₁₃

Con c: mE = (m+1)E (m-2)

• Sostituisco quando appena trattato.

19b - Soluzione in termini di sforzo: Equazioni di Beltrami-Mitchell

Scavo le Eq. di congruenza

• Sostituisco il legame sforzo-deformazione [c] ed ottengo:

S₁₁ = 3/2 s_ik S₂₂ = 2/3 s_ik S₃₃ = 1/3 s_ik

- Cerco l'asse neutro della tenso-flessione imponendo p₃₃ = 0

p₃₃ = 0 → 1 + ^e_x⁄_xl = 0

Retta parallela a x_y che interseca l'asse x_n il cui ^e₁⁄_ex = posizione asse neutro

Quindi: e' → e₂ = ^e⁄₂

- Se e > 0: l'asse neutro molto distante da x_y il diagramma delle p₃₃ > 0 orientato

- Se e < 0: l'asse neutro molto distante da x_b il diagramma delle p₃₃ fa fatica a cambiarlo

NB: e' e_l danno sempre un numero negativo → e e' el devono stare da parti opposte rispetto all'asse x_n

26 - Applicazione: Compressione eccentrica di un pilastro in muratura

° Si vuole verificare che non ci siano zone di trazione (a cui la muratura non resiste)

° Calcolo momento d'inerzia: I_n = ¹⁄₄ b³

° Calcolo raggio girototilo: r² = ^I_n⁄_A = ^R22

Ricavo di p₃₃ con la formula della compressione eccentrica:

p₃₃ = ^N⁄_NF (1 + ^{e_x⁄_xl2) = 1⁄_Nexe_x 2⁄_xl}

° Non si vuole avere trazione → Asse neutro esterno alla sezione: traduco questa richiesta da un punto di vista analitico.

- Asse sopra alla sezione

- Asse sotto alla sezione

Imponmo p₃₃ = 0 e sostituisco il valore limite di e':

p₃₃ = 0 → ^e2⁄_e1² = ^½⁄_R²

- Ruotando di 90° la sezione cambia il momento d'inerzia e quindi trovo un altro limite per e:

I_n = ¹⁄₁₂ R