Scienza delle costruzioni - analisi della tensione- parte 1

TEO. DIVERGENZA -> _{campo regolare lungo}

^B_B ⌈ m ⌉ dA = ∫∫∫_B (div·μ) dV _{esterno e fuori il corpo}

in uno di volume

A·lim con μ ∈ U

BBB (A·μ) dA = ∫∫∫B divA (div∂) dV

IDEMTA DIFFERENZIARE

Div (A^T·μ) = Div A·μ + ∇i·A

SUPP. RAPIDO ANTENUTO W ∈ Skw

μ^e = μ ^o + W·∇ (x-o)

μ^e - μ^o = W(x-o) ⇒ lim _{^u/x⇒∞ (x-x-o) = ⌈W = ∇u⌉}

'Skw

ANALISI DELLA TENSIONE

• Definiamo un sistema di forze
• Modello di Tensione alle Forze Cauchy
• Assumi di Tensione Equilibrio?
• Ti di Cauchy porsiOn:

P.R.F.. SISTEMA DI FORZE _{si identifichera}

Assumiamo un corpo B⌈_d⌉ e illimitato di E

- Punti materiale p che determinano il corpo si identificheranno: punti x

∈ B ⇒ si devono identificare con quisti x _{f(x)=dev*inner all; musurao del corpo}

PARETI DEL CORPO P C B

- ' ˜ mov~anche una frontiera ∂

∂P → ∇ NO~variazione tra due configurazione

per affetto di corpr esterni (Tensione)

- La TENSIONE che nasce tra le parti dei punti P, osservabile attraverso la deformazione

per definire la TENSAIZA CHLASFIECA DE FORZE AGENTE SUL CORPO B

1. FORZE DI VOLUME b(x) → forze esterne.........:

FORZA APPLICATA A cISTANZA., la forze diileate presenza.

F = ∫_B b(x) dV _[^L-3]

3) Forze di contatto interne

Le forze che si esercitano tra le varie parti del corpo attraverso le superfici di contatto. Questo porta alla definizione di tensore.

D) Modello di tensore alla Eulero Cauchy

1. Si basa sul principio delle azioni di Eulero ⁶ (1750) e sul principio della tensione di Cauchy ⁷ (1823).

Considera: un corpo continuo e deformabile e apponiamo di sezionarlo con un piano ideato T di normale n, e siano B+ e B− le posizioni del corpo opposto da T.

Il principio delle azioni postula che: l'azione, che la parte del corpo che si esercita su B− attraverso un intorno A del punto x su T, equivale ad un campo di forze definito su A denotato R(A) → risultante di forze di contatto superficiali.

3. Il principio della tensione di Cauchy: Benotato R(A), Cauchy richiede che la funzione commetta (vettoriale R(A)) che entra e sia finito il limite del diametro di A → 0
   1. R(A)

      \[ \lim _{\text{dim}\, A \to 0} \frac {R(A)}{\text{mis} (A)} = t^M (x) \]

      da un vettore tensione in M relativo alla giacitura n, chiamato t(n,x)

   2. con H(A) copre di spigori \ne \null e scomparsa in assenza di questo campo di forze e quindi assenza di aderenza di contatto di Cauchy.

      Questo è vero per i corpi con porosità (continui non polari di contatto)

      \[ \lim _{\text{dim}\, A \to 0} \frac {\text{H(A)}}{\text{mis} (A)} = 0 \]

Il vettore tensione dipende dalla normale \^n e non dalle natura della superficie

Se faccio passare per x tante superfici che ammettano tutte la stessa normale \^n consideriamo \^n con x

Il vettore tensione t_n∗(n ⋅ x) è tale: questo ∗ significa che superficie orientata t_n(x) = t_(x,n)

1) Dimm t_m = T_m ∀ x ∈ B

h(Δ^m) = 0

P C B a forma di tetraedro (tetraedro di Cauchy)

A₁ A₂ A₃ = facce ordinate, i 3 primi coordinati

A = faccia obliqua, ha una normale n_m qualsiasi, e vi mettiamo a

0 { e _i } origine

d = distanza dall’origine al centro della faccia

Osservando la decomposizione

lim_{d → 0} ∬_B b dV + ∬_A tm dA + Σ_i=1³ ∬_Ai

( t(e_i) m_i) d A_i = 0

otteniamo i

T_m - Σ_i=1³ t(ê_i) m_i = 0

t_m = Σ_i=1³ t ê_i(x) m_i

t_m(x) = t e₁(x) m₃ + t e₂(x) m₂ + t e₃(x) m₃

T = Σ_i=1³ ( t_i e_i ⊗ e_i )

Per ricercare questa tensione principale avente solo tensione normale si usa il teorema spettrale:

Se T ∈ Symm₃, ammette 3 coppie di autovalori, autovettori ossia:

T↑m = λm↑ 3 autovalori (λ₁, λ₂, λ₃) ovvero 3 scalari e 3 autovettori corrispondono ortogonali.

Se proiettiamo secondo le direzioni di un sistema di riferimento, ottengo un sistema algebrico omogeneo di 3 equazioni, aventi come incognite le 3 componenti di m↑, posso ammettere sempre la soluzione banale m↑ = 0.

Tale soluzione è unica se la matrice dei coeff. ha rango MAX, ossia se il det [ T - λI ] ≠ 0. Affinché esistano soluzioni diverse dalle banale dobbiamo verificare che il det [ T - λI ] = 0 in forma matriciale:

det[| T₁₁ - λ   T₁₂   T₁₃ || T₂₁   T₂₂ - λ   T₂₃ || T₃₁   T₃₂   T₃₃ - λ |] = 0

Per risolvere tale matrice uso l'equazione secolare di LAPOACE, ed è esplicitata come un'equazione del terzo ordine in λ:

- λ³ + Iλ² + Iλ + III = 0

I, II, III, sono invarianti ortogonali di T (Tensore degli Sforzi), la loro forma non cambia e sono indipendenti dal sistema di riferimento considerato:

I = trT = T₁₁ + T₂₂ + T₃₃

II = invarianto quadratico è la somma dei minori principali del sistema matrice e si calcolano lungo le diagonali principale (tracce opposte)

III = invarianto cubico = è il determinante T = | T₁₁ T₁₂ T₁₃ || T₂₁ T₂₂ T₂₃ || T₃₁ T₃₂ T₃₃ |

(A)

Stati di Tensione

1. Stato di Tensione Triaxiale

a) _T = -I stato di compressione idrostatica

p = pressione idrostatica

• λ₁ ≠ 0

• λ₂ ≠ 0 tutti uguali a -p

• λ₃ ≠ 0

λ₁ = λ₂ = λ₃ = -p

(_T = I)

tensore sferico

Se in relativo ad una generica giacitura X; il vettore ha direzione generica con componente lungo tutte e 3 le direzioni degli assi.

2. Stato di tensione

a) λ₁ = 0

λ₂ ≠ 0

λ₃ ≠ 0

L'autovettore associato all'autovalore nullo individua il piano scarico.