Scienza delle costruzioni - analisi della tensione- parte 1

Teo. Divergenza

corpo regolare lungo ^m̂

∬_{∂B sup} (^û·^m̂)dA = ∭_{B esterno & tutto il corpo} (div·^u)dV

(û = u · m̂)

A ∈ Lim con u ∈ U

∬_∂B (^·^m̂)dA = ∫_B divA (⌀A⌀⌀⌀⌀)dV

Identità Differenziale

Div (A^T·M) = Div A·u + ∇u·A

Spost. Relativo Infinitesimo

u = ∆^o + W ∆(x - o)

(µ^u-µ^o) = W(x-o) ⇒ lim_x-→>(x-o) (µ^u-µ^o) = ^W/_ₗ₂Lu

Analisi della Tensione

• Definiamo un sistema di forze
• Modello di Tensione oltre tensore Cauchy
• Assiomi di Eulero (Equilibrio)
• Th. di Cauchy, postulati.

REF. SISTEMA DI FORZE - Assegniamo un corpo - s- identificherei con una regione b D schegge e bistotto di ⅇ - ^Puunti, materiae p r che definire non il corpo.

(p. e p i v identificato con qui punti x → y ∈ ⅇ) → ^⊣⊣⊣⊣⊣o identificato con ∫

Parate del corpo:

• ^PC
• B front. di ∂LP

The tensione che nasce se forti dei punti _p, osserva rallentavez su deformazione.

Forze definiere

1. forze di volonte b(x) ⇒ forze esterne esercitate a distanza, la forze disponibile dalle persone.

F = ∫_b b(x) dV [F·L^-3]

Teo. Divergenza

corpo regolare lungo ^mA

_superficie∬(^u·^m) dA = _volume∭B (div·^u) dV

in uno di volume

A ∈ Lim con u ∈ U

∬D_B(^A·^m) dA = ∫_BdivA (orrario) dV

Identità di differenza

Div (A^T·M) = Div A·^u + ∇u·A

Sposta. rilado infinitesimo

μ² = μ^o + W Δ(x-o)

μ^o - μ^o = W(χ-xo) ⇒ lim_x→⋅(x-⋅) μⁿ - μ^o= W = ∇μ

Analisi Della Tensione

• Definiamo un sistema di pareze
• Modello di Tensione oltre Televzo Cauchy
• Assonia di Eulezo Equilibriuio

Ref. Sistemi di Forze

1. Assegno un corpo B

→ punti materia e P che definiscono il corpo

→ sui ri identifichuma e punti x_p

(E = B) → si devono identificare con i punti x

parte del corpo -

^{front. di} P

C B C

→ ↓

- front. di P

b

→ vuoi - anche una frontiera ∂P

P noi · voiziono la sua configurazione

per affetto di corpi esterni. (Tensione)

→ la TENSIONE che nasce ∓ le porta dei punti P, osservables

straverso de deformazione

Per defimire la TENZIONE Classificata le Forze Egenti sul Corpo B

1. Forze di Volume b(x) → forze esterne esercitate a distanza la forza

dippende dalle persone.

F= ∫_B b(x) dV [F⋅L^-3]

3) Forze di superfici: forze di contatto esterne, esercitate su parte o tutta la superficie del corpo...

F = ∫_∂B S(x) dA

4) Forze di contatto (interne): forze che si esercitano tra le varie parti del corpo attraverso le superfici di contatto...

B) Modello di tensione alla Eulero-Cauchy

...si basa sul principio delle tensioni di Eulero (1750) e sul principio della tensione di Cauchy (1822)

Considera: un corpo continuo e deformabile...

Il principio delle azioni parla che...

R(A) - risultante di forze di contatto...

3) Il principio della tensione di Cauchy: ...

a. Mi dà un vettor tensione in x...

b. Con H(A) copre di sfzco; si sovrappongono l'assenza di questo...

IL VETTOR TENSIONE DIPENDE DALLA NORMALE n̂ E NON DALLA NATURA DELLA SUPERFICIE

Se faccio passare per x tante superficie orientate che emanano tutte le tensioni hanno funzione di continuità...

t_m(x) = [t](n̂, x)

Vettor Tensione \( t_m(\mathbf{x}) \)

si dice tensione del punto x relativa alla giacitura diretta m̂,rappresenta la misura dell'azione locale che a deformazione avvenuta, la parte ⁺ associatavia ⁻, nel punto \( x \) per contatto attraverso \( \Pi \).

1. Decomposizione di \( t_m(\mathbf{x}) \): \(\hat{n} \) e \(\hat{t}_n\) sono le componenti speciali di tensione

• \(\hat{n}\) = vettor tensione normale, ottogonale al piano \( \Pi \)
• \( \mathbf{t}_n \cdot \mathbf{m̂} = \hat{n} \hat{n\cdot\hat{n}} \small(opposta ~del ~segno)\) = direzione dellasuperficie -> \(\hat{t}_n\) = vettor tensione tangenziale al piano \( \Pi \)
• \(tong\cdot\hat{t}_n \mathbf{t}_n \cdot \mathbf{I} \)
• \(t_m\cdot n \displaystyle =