Scienza delle Costruzioni

Ricapitolo per orale scienze delle costruzioni

Richiami di matematica

V è uno spazio vettoriale (o spazio lineare) se V è dotato della struttura indotta da due operazioni:

• +: V x V → V _(addizione)
• •: V x F → V _{(moltiplicazione)}

F complesso ⊂ ℝ. Queste operazioni sono tali da valere alcune proprietà:

• L'addizione è commutativa ∀ ⃗v, ⃗w ∈ V
• L'addizione è associativa ∀ ⃗v, ⃗w, ⃗z ∈ V
• L'addizione ammette un unico elemento neutro 0 tale che ⃗v + ⃗0 = ⃗v ∀ ⃗v ∈ V
• L'opposto di ⃗v: d◦⃗v = ℓ • ⃗v è un'inazione: d(β⃗v) = β(d(⃗v)) ∀ d, β ∈ F ∀ ⃗v ∈ V
• La moltiplicazione ammette un unico elemento neutro 1 tale che 1⃗v = ⃗v ∀ ⃗v ∈ V
• La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione d(⃗v+⃗w) = d⃗v + d⃗w ∀ ⃗v, ⃗w ∈ V e ℓ ∈ F
• La moltiplicazione è anche distributiva rispetto all'addizione in F cioè (d+ β)⃗v = d⃗v + β⃗v ∀ ⃗v ∈ V e ∀ d, β ∈ F

F è detto anello commutativo. Helolovno.

Pesi {v₁, ..., v_n} ⊂ V

Definizione

V₁ ... V_n sono linearmente dipendenti quando esistono d₁ — d_n ⊂ ℝ non tutti pari a zero tali che ∑ α_i V_i = 0

V₁ ... V_n sono linearmente indipendenti quando X uno n-ple di numeri de sostitui la relazione sopra (o almeno l'uno de le sostitui è d_i:

Richiami di matematica ripetuti

V è uno spazio vettoriale (o spazio lineare) se V è dotato della struttura indotta da due operazioni:

• + : V x V → V (addizione)
• • : V x F → V (moltiplicazione)

Queste operazioni sono tali da valere alcune proprietà:

• L'addizione è commutativa ∀ v̅, w̅ ∈ V v̅ + w̅ = w̅ + v̅
• L'addizione è associativa ∀ v̅, w̅, z̅ ∈ V (v̅ + w̅) + z̅ = v̅ + (w̅ + z̅)
• L'addizione ammette un unico elemento neutro 0 tale che ∀ v̅ ∈ V v̅ + 0 = v̅
• L'opposto di v̅: d͟o͟v̅ è commutativo ∀ v̅ ∈ V d̟(βv̅) = βd̟(v̅)
• La moltiplicazione ammette un unico elemento neutro 1 tale che ∀ v̅ ∈ V 1v̅ = v̅
• La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione ∀ v̅, w̅ ∈ V e ∀ a, b ∈ F a(v̅ + w̅) = a v̅ + aw̅
• La moltiplicazione è anche distributiva rispetto all'addizione in F cioè ∀ v̅ ∈ V e ∀ a, p ∈ F (a + βv) = a v̅ + βv̅

F è detto anello commutativo. Holofernes.

Reniy̅₁, ..., y̅_n ⊂ V

Definizione ripetuta

V₁, ..., V_n sono linearmente dipendenti quando esistono α₁, ..., α_n ∈ ℝ non tutti pun a zero tali che ∑ α_i V_i = 0

V₁, ..., V_n sono linearmente indipendenti quando ∄ una n-pla di numeri che soddisfi la relazione sopra (o almeno l'uno de le soddisfa è α₁, α₂ ..., α_n = 0)

Span e base

Span{v₁, v₂, v₃} è l'insieme di tutte le combinazioni lineari degli elementi v_i. Se n-pla {v₁, ..., v_n} ⊂ V è detto base per V se v₁ - v_n sono linearmente indipendenti. Se {v₁, ... v_n} ≡ V allora V ha dimensione n.

Consideriamo una base {e₁, ... e_n} ∈ V; preso elemento v ∈ V e scrit. ciò lo può scrivere come V=Σ Vᵢeᵢ. Vᵢ sono scalari e dipendono dalla base scelta. Le leggi fisiche vanno espresse scrivendo V, cioè in maniera invariantes al variare del sistema di elementi.

Gli oggetti elementari cl chiameremo punti. Sono E capaci di punto dotato di somme e moltiplicazione. Poss. costruire uno di esso uno spazio della traslazione V. Liv. L'insieme delle definizioni di punto. Fisso un punto O e es tutte le differenze. Le relazioni a quel punto y-x= (y-o) - (x-o) = (y-o) + (-1)(x-o). O è detta origine. Se uso questa metodologia trasformo V→ℝ ⁿ V mandato uℝ ⁿ.

Prodotto scalare e nozione di metrica

< , > : V x V → ℝ tale che:

• È commutativo <V,W> = <W,V>
• È distributivo rispetto alla somma dei vettori <V,W+Z> = <V,W> + <V,Z>
• È associativo rispetto al prodotto di <aV,W> = a<V,W> = <V,aW>
• È definito non negativo <V,V> > 0 ed è uguale a zero sse V=0

Se uno spazio V è dotato di prodotto scalare allora è detto spazio euclideo.

Definizione di base ortonormale

Una base e₁ – e_n si dice ortonormale se <e_i,e_j> = δ_ij (delta di Kronecker), dove:

• δ_ij = 0 se i ≠ j
• δ_ij = 1 se i = j