Scienza delle Costruzioni

Richiami di matematica

V è uno spazio vettoriale (o spazio lineare) se V è dotato della struttura indotta da due operazioni:

• +: V × V → V (addizione)
• ·: V × F → V (moltiplicazione)

dotate di alcune proprietà:

• addizione è commutativa: ∀ v̅, w̅ ∈ V v̅ + w̅ = w̅ + v̅
• addizione è associativa: ∀ u̅, v̅, w̅ ∈ V (u̅ + v̅) + w̅ = v̅ + (w̅ + u̅)
• addizione ammette un unico elemento neutro o tale che: v̅ + o = v̅ ∀ v̅ ∈ V
• diametro dV: d o v̅ o è commutativo: d (β i̅) = i̅ (β (v̅)) ∀d, β ∈ F ∀ v̅ ∈ V
• λ unici: ∀ d, β ∈ F

La moltiplicazione ammette un unico elemento neutro o tale che: i v̅ = v̅ ∀ v̅ ∈ V

La moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione: d (v̅ + w̅) = d v̅ + d w̅ ∀ v̅, w̅ ∈ V e d ∈ F

La moltiplicazione è anche distributiva rispetto all’addizione in F cioè: (d + β) u̅ = d u̅ + β v̅ ∀ v̅ ∈ V e ∀ d, β ∈ F

F è detto anello commutativo Holeonico

Se:

1. v₁,..., vₙ ∈ V

Definizione

V₁...Vₙ sono linearmente dipendenti quando esistono d₁...dₙ ∈ IR non tutte però a zero tali che: Σ i αᵢVᵢ = 0

Definizione

V₃...Vₙ sono linearmente indipendenti quando n ≥ una n-pla di numeri che soddisfà la relazione sopra (o almeno l’uno che lo soddisfà e dᵢ ≠ 0; i=1...n)

Span{v₁,...v_n} è l'insieme di tutte le combinazioni lineari degli elementi v_i.

La n-pla {v₁, ... v_n} ⊂ V è detta base per V se v₁, ... v_n sono linearmente indipendenti. Se {v₁, ... v_n} ≡ V allora V ha dimensione n.

Consideriamo una base {e₁... e_n} ⊂ V; preso elemento v ⊂ V e est. ele di può scrivere come V = v_i e_i. V non scalare e dipendono dalla base scelta. Le leggi fisiche vanno espresse

comando V cioè in maniera invariantes al variare del sistema di riferimento.

Gli oggetti elementari si chiameranno punti:

Se E è spazio di punti dotato di somma e moltiplicazione.

Può divenire un d esso uno spazio delle traslazione V. Dici limitaz

della definizione di punto. Fiss un punto O e tutte le differenze

le relazion a quel punto.

y-x = (y-0) - (x-0) = (y-0) + (-1)(x-0)

O è detta origine.

Se uso questa metodologia trasformo V → Rⁿ V omol uRⁿ

V: g^jv^b

V = g_ijV_jvⁱ

Es

b.v = <bⁱ, v> = 0 = <ĝ_b

<g^jv_i, v>

Lo spazio duale V* è lo spazo vettoriale formato da tutti ░ funzionali

lineari f: V→R

Tensori

Prendiamo allora una funzione lineare

h : V→V

h(v) è ancora un vettore

h(v) = h(vⁱe_i) = vⁱh(e_i)

Ma allora, intrioano a provare h(e_i) non volume numeri ;

Vⁱ rimangono sempre numeri

h(v) = vⁱh(e_i) = (

• h¹(e_i)
• h²(e_i)
• h³(e_i)

) (

• h¹(e_m)
• h²(e_m)

) (

• V¹
• Vⁿ
• V^m

Perọ

h(v) = _▢v

Fξ (Hm (T_xB; T_yB_u)) operatore lineare che porta i vettori tangenti nel punto x ai vettori tangenti nel corrispondente punto y

S ⟶ x̄(s) curva liscia nella configurazione di riferimento

T_e = (d_sx(s)/ds)_|s=0

Questa giacitura Mᵢ, B_u in un'altra curva

• (dy(s)/ds)_|s=0
• dγ(s)/dx
• dγ(s)/dx = dχ/ds = Fξ

t_α = Fξ t_α con vettori tangenti

Consideriamo u ∈ T_xB

a ∈ ℝ³ vettore

b ∈ T_yB_u

b ∈ ℝ^2* covettore

Fa ∈ T_yB_u

F^i_A α^A = Vⁱ∘ ĩ T_yB_u

Agigunto formale di F (F^*)

(F^*)^i_A tale che

• b∙F_u = F^*b∙u

∀ a,b ∈ ℝ³

• b_i F^i_A α^A = (F^*)^i_A b_i α^A

a vettore

b covettore

l'aggiunto formale inverte la posizione degli indici (destra/sinistra)

Corpo rigido:

capr de ammette solo sementane che mantengur inattnati gli urtamanti lume. Ammattone solo not tadossona.

I veri che trattano homo natura inemativa

g(u) < 0   veri armento umulatorali (patera; para neve, voltre mea non amiale sott)

g(u) = 0   veri armto blater (peslona co un buoni)

Consideriamo aders

Pende un punto * e si attacc tre vettro bassamente indipendanti. de base è genera. I 3 vettr stamo dentr al carpe e non co scun.

V: < e₁, e₂, e₃ >   volume creatato di materiala

Face aders uno defornatane

e₁ → _{e_{1}}¹ = Fe₁ e₂ → _{e_{2}}¹ = Fe₂ e₃ → _{e_{3}}¹ = Fe₃

Calcolome aders il volume Vie.

Vie = < e₁, e₂ x e₃ > = - < Fe₁, Fe₂ x Fe₃ > = det F V

Infatti il det F è poi ottanea con il prodetto notte. Se vegle de le tome persorano l’inermtanento batro se V

(letters missing)

Vie > 0, Vio > 0

Pues → Vio = det F V → det F > 0 anhse ≠ 0! TL volume non pairt anchar e zart!

Calcolamo le vargatone di volume

V_A - V V_A det F - V √(det F - 1) ^{___________________} = _{_______________} = √ ^{det F - 1} V V V

Co dre le vangorse di volume independentie

δℓ = _{ℓ - l}/^l = ( √2E : (m⊗n) + 1 ) - 1

Prendi due vettori

V_δλ

Nella configurazione di riferimento

Fw_δλ

Nella configurazione attuale

Voglio vedere come varia l'angolo

δλ = d/δλ

γ_λ = acos( / √ ) - acos( / √ √ )

Deformazioni infinitesime

Ė = ½(Du̇u̇^T + Du̇_iw^T + Du̇^Tw w)

Hp: |Du|