Scienza delle Costruzioni

Scienza delle Costruzioni

V volumeS superficieSu superficie vincolata

Idealizzo i corpi reali come corpi continuiConquesto ipotesi va senso utilizzare gli strumenti dell'analisi

Convenzioni Utilizzate:

• f: [F] / [L]² → forze superficiali dipendenti da posizione e tempo f(x,t)
• F: [F] / [L]³ → forze di volume F(x,t)
• Δ: [L] → spostamento relativo di su Δ(x,t)
• Δ: [L] → spostamento relativo di S Δ(x,t)
• Є: [F] / [L]² → tensore di deformazione Є(x,t)
• ϕ: [F] / [L]² → tensore degli sforzi ϕ(x,t)

ϕ sarà del secondo ordine simmetrico e rappresentante una pressione

Definiamo i limiti:

• lim(∆F/∆Σ) → δμ
• lim(∆H/∆Σ) → φ

Assunti validi quando il corpo è un continuo di Cauchy

Legge di minor Classe/ σ min"assumere*, & chiudere punto, s di rispetto elettivo"

Scienza delle Costruzioni

V: volume

S: superficie

Su: superficie vincolata

Idealizzo i corpi reali come corpi continuiCon questo ipotesi va sensatoutilizzare gli strumenti dell'analisi

Convenzioni utilizzate:

• f: [F] / [L]² ➔ forze superficiali dipendenti da posizione e tempo f(x, t)
• F: [F] / [L]³ ➔ forze di volume F(x, t)
• Δ: [L]¹ ➔ spostamento relativo di Su Δ(x, t)
• Δ: [L]¹ ➔ spostamento relativo di S Δ(x, t)
• Ξ: [L] / [L] ➔ tensore di deformazione Ξ(x, t)
• Ψ: [F] / [L]² ➔ tensore degli sforzi Ψ(x, t)

Ψ sarà del secondo ordine simmetricoe rappresentante una pressione

ΔF: forze agenti su ΔΣ

ΔH: momento

μ_x: vettore uscente di ΔΣ

Definiamo i limiti:

• lim ΔΣ→0 ΔF / ΔΣ = Ψ_μ
• lim ΔΣ→0 ΔH / ΔΣ = φ
• Assunta valida questi limiti. Diciamo che il corpo è un continuo di Cauchy.
• Legge di equilibrio globale a Mo (dimensionale "cutting") si continua durante S di contorno

Dipende solo dalla normale n_i (Th di Cauchy) e lo chiamiamo vettore sforzo

Considero tetraedro

Sappiamo essere valida la relazione: dΣ_i = dΣ_d n_i

Imponendo le condizioni di equilibrio si ottiene:

• Σ_i = σ₁ n₁ + σ₂ n₂ + σ₃ n₃
• Relazione di Cauchy

σ_i è definito da 3 vettori, 9 componenti scalari:

• σ_X = I ⊗ (σ₁, σ₂, σ₃)

Sarà simmetrico e lo chiamato δ

BILANCIO DI ROTAZIONI

Altra notazione:

• σ' = [τ_YX τ_YY τ_YZ]

Ora ipotizziamo la situazione in cui _tab || n_a :

_tab = _ξ n_a = S n_a

S sarà un autovalore di _ξ con n_a autovettore

(_ξ - S I)_n = 0

_S , _S , _S

le soluzioni di (*) saranno al più tre le le chiameremo:

S_I, S_II, S_III

Stato di Sforzo

1. Stato di sforzo generico :

S_I, S_II, S_III distinti

2. Stato di sforzo cilindrico

S_I = S_II S_II ≠ S_I

3. Stato di sforzo sferico :

S_I = S_II = S_III

4. Stato di sforzo piano :

S_III = φ

Stato di sforzo piano

σ = _nij σ _ijn_i

(s - S I) D D_B = 0 → - S³I₃S² - I₂S + I₁ = 0

I = σ₁₁ + σ₂₂

I₂ = σ₁₁ σ₂₂ - σ²₁₂

I₃ = 0

S⁄II = S²I₁S₁ = Φ ⇔ S (S²I₂S₁I₁) = 0

S_r = I₁ + √(I¹₂ + 4 I ₂)⁄2

S_II = ( σ₁₁ + σ₂₂⁄2 ) + √( ( σ₁₁ - σ₂₂⁄2 ) + τ²₁₂ )

Cerchio di Mohr

Direzione generica

Normale a una generica

Direzione (coo e nel cosmin)

Tangente alla generica

Chiamiamo:

&sigma - C = cos Φ

S = -sin Φ

Saranno che:

σ-_t   τ_t

= Nx_yNyx_yCxyNy_yNyy_yCyCos_ySy