Scienza delle Costruzioni

Scienza delle Costruzioni

V : Volume

S : Superficie

Su : Superficie Vincolata

Idealizzo i corpi reali come corpi continui

Conviene inoltre vado senso utilizzare sui strumenti equivalenti

Convenzioni utilizzate:

• A : [L]²

  Forze superficiali dipendono da posizione e tempo f(x, e, t)

• F : [L]³

  Forze di volume F(x, t)

• Δ : [L]

  Spostamento relativo di Su Δ(x, t)

• Δ : [L]

  Spostamento relativo di S Δ(x, t)

• ε : [L]/[L]²

  Tensore di deformazione ε(x, t)

• φ : [L]/[L]²

  Tensione degli sforzi φ(x, t)

Sarà del secondo ordine simmetrico e rappresentante una pressione

Definiamo i limiti:

• lim ΔF/ΔΣ = σ_n
• lim ΔH/ΔΣ = φ

Assumi validi questi limiti dentro ogni corpo continui di Cauchy.

Ja DIPENDE SOLO DALLO NORMALE n_i (TH. DI CAUCHY)

E LO CHIAMEREMO VETTORE STORO

CONSIDERARE...

SAPPIAMO ESSERE, VANDO LA RELAZIONE:

dΣ_i = dΣ n_i

IN 2D:

SUPERFICIE SNORMALE AL VERSORE x:

dΣ_i = dΣ_α n_α

dΣ₁ dΣ₂

FORZA SUPERFICIE BENI SUPERFICIE DOVE È APPLICANO

dσ_α dΣ_α + dσ₂ dΣ₂ + dσ₃ dΣ₃ = ⁰/₁ ³/₂ dΣ n_α

IE DEERTO PER 3 VETTORI, 9 COMPONENTI SCALARI

σ_α = 1σ₁ n₁ + σ₂ n₂ + σ₃ n₃

σ_α = [^P1/_M1, ^P2/_M2, ^P3/_M3]

σ' =^σ/_n

Sarà simmetrico e lo chiamato S

ALTRA NOTAZIONE:

σ' = [^τ_yx/_τyx, ^τ_zx/_τzy, ^τ/_yx]

Equilibrio:

Ricordando che l'invariante degli sforzi si trova come:

Possiamo pensare a cosa succede al nostro corpo contorno dopo un incremento infinitesimo degli sforzi.

Bilanciando le forze si ottiene:

d²σ₁dz₂ + (τ₁d₂d₂ + τ₁d₂dz₃)d₃ + d₁d₂ + (τ₂d₂d₁)d₂ + d₁d₃ = f(x¹)dV

dV [PS] + F

Sapendo che: dx = dV dx = dx

Posso dividere tutto per dV e trovare:

dσ₂/dx₂ + dσ₃/dx₃ + dσ₁/dx₁ + F = [PS]

dσ_x(x1) + F = [PS]

Che scomposto diventa

1. ∂σ₂/∂x₁ + ∂τ₂/∂x₁ + F₁ = [PS]^σ₁
2. ∂τ₁/∂x₁ + ∂σ₂/∂x₂ + F₂ = [PS]^σ₂
3. ∂τ₁/∂x₃ + ∂τ₂/∂x₃ + F₃ = [PS]^σ₃

3 eq. 6 incognite

Si può pensare che sul contorno ci siano due forze esterne F₃ agente sulla superficie SF

Condizioni di equilibrio al contorno

LEGAME COSTITUTIVO:

Conoscendo le forze volumiche, le forze superficiali, la superficie e i suoi spostamenti, dobbiamo riuscire a ricavare gli spostamenti, gli sforzi e le deformazioni. Come abbiamo già visto le incognite del problema sono le e legate alle relazioni di equilibrio e congruenza riuscirsi ad ottenere 9 equazioni.

le restanti 6 equazioni ci sono date dal legame costitutivo ovvero le relazioni indotte dai tra di materiale considerato.

Ci sono diverse teorie che studiano i materiali a scale diverse di grandezza:

• Ab-Initio - scala atomica, studio delle interazioni tra atomi
• Molecular-Dynamics - scala molecolare, studio del movimento delle molecole
• Approccio fenomologico - studio di materiali sotto diportose continuamente tramite sforzi su provini.

Noi ci occuperemo dello studio dei legami costitutivi tramite L'approccio fenomenologico.

Preso un provino del materiale considerato gli viene applicato uno sforzo unidirezionale

Definito allora lo:

sforzo nominale

come _nom =

A₀ e la deformazione nominale come: _nom =

Ora possiamo vedere la differenza tra due materiali diversi, uno metallico e uno lapideo (o coerente le costruzioni).

ASSUMENDO ESATTAMENTE COME PRIMA I PROCESSI CONSEGUENTI:

CON DEFORMAZIONI E SFORZI INIZIALI NULLI (ω_ij(0) = 0 , σ_ij(0) = 0)

SI DEDUCONO: ω(_sub) = ⁰∫_ε dε ,

X(ε) = ^ε∫₀ ω(ε)ⁱ_e(t) dα

ANCHE NEL CASO TRIDIMENSIONALE IPOTIZZO UN LEGAME LINEARE TRA

SFORZI E DEFORMAZIONI:

ε^Ï_j = C ω^Ï_j ⇒

X^Ï_j = ε^Ï_l C_liω^ij (i)

DOVE ω = E

DOVE X = E

PER LA INVERTIBILITÀ DEL LEGAME ELASTICO

X^Ï_j = C ω_li ω^Ï_ij ⇒

X^Ï_j C^l-1_ij ω^ï_j C

AVENDO ASSUNTO L'ESISTENZA DI UN POTENZIALE, POSSIAMO SCRIVERE:

ωÏl = C ωÏjCl-1ij