Schemi, teoremi fondamentali e dimostrazioni di Analisi 2

Prodotto di scalare per vettore

Siano scalari gli elementi del campo k e siano vettori gli elementi del gruppo abeliano A. Si definisce prodotto di scalare per vettore una funzione tale che soddisfa 4 caratteristiche:

1. α ⊗ (β ⊗ a) = (α ⋅ β) ⊗ a
2. 1_k ⊗ a = a
3. α ⊗ (a + b) = (α ⊗ a) ⋆ (α ⊗ b)
4. (α + β) ⊗ a = (α ⊗ a) ⋆ (β ⊗ a)

Spazio vettoriale su campo k

Sia (K, +, ⋅) un campo e sia (A, ⋆) un gruppo abeliano, si dice che A è spazio vettoriale su campo k se esiste una funzione ⊗ di prodotto di scalare per vettore. Si scrive (A, ⋆, ⊗).

Se k = ℝ e se A = ℝ² si definisce come segue:

La funzione prodotto di scalare per vettore: ⊗ : ℝ × ℝ² → ℝ², cioè ∀ α ∈ ℝ ∀ (α₁, α₂) ∈ ℝ² pongo α (α₁, α₂) = det(_{α1, α2})

Si ammette per semplicità ⊗ e si ottiene α (α₁, α₂) = det(_{α1, α2})

Con α ≻ 1 le coordinate si dilatano

Con 0 ≺ α ≺ 1 si contraggono

Con α < 0 si ribaltano

Estensione

⊗ : ℝ × ℝⁿ → ℝⁿ

Per rappresentare qualsiasi vettore di ℝⁿ sono sufficienti n vettori non nulli e non giacenti sulla stessa retta. Previo uso il nome di base di ℝ. La base canonica di ℝⁿ: ℯ₁, ℯ₂, ..., ℯ_n.

Qualsivoglia vettore può essere scritto come: z = [0] z₁ ℯ₁, z₂ ℯ₂, ...

Prodotto di scalare per vettore

Siano scalari gli elementi del campo K e siano vettori gli elementi del gruppo abeliano A. Si definisce prodotto di scalare per vettore una funzione _K x A -> A che soddisfa 4 caratteristiche:

1. α * (x ⊕ y) = (α * x) ⊕ (α * y)
2. 1 * α = α
3. (α ⊗ β) * x = α * (β ⊗ x)
4. α * (x ⊗ y) = (α * x) ⊗ (β ⊗ y)

Spazio vettoriale su campo K

Sia (K, ⋆,1) un campo e sia (A,+,*) un gruppo abeliano, si dice che A è spazio vettoriale su campo K se esiste una funzione ⊗ di prodotto di scalare per vettore. Si scrive (A,+,⊗).

Se K = R e se A = R².

Si definisce come segue la funzione prodotto di scalare per vettore:

1. ⊗ : R x R² -> R²; cioè: per α ∈ R e v = (α₁,α₂) ∈ R² pongo α ◊ (α₁,α₂) = det (delle colonne α₁, α₂)

Si ammette per semplicità ⊗ e si ottiene α(α₁,α₂) det (α₁, α₂).

Con α > 1 le coordinate si distorcono

Estensione

⊗ : R x Rⁿ -> Rⁿ

Per rappresentare qualsiasi vettore di Rⁿ, sono sufficienti n vettori non nulli e non giacenti sulla stessa retta (cioè indipendenti). Prendono il nome di base di R. {e₁, e₂, ..., e_n} è la base canonica di Rⁿ. Qualsiasi vettore può essere scritto come

Comp. lineare dei vettori della base canonica

[0] [0] [0] [e₁] [e₂] [⋮] [0] [0] [0]

Lineare dipendenza / indipendenza

Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Siano x̅₁, x̅₂, …, x̅_n n vettori di V. Si dice che i vettori x̅₁, x̅₂, …, x̅_n sono linearmente dipendenti se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti.

Si dice che Ȳ ∈ V è combinazione lineare di x̅₁, x̅₂, …, x̅_n se esistono scalari ₁, ₂, …, _n tali che il vettore Ȳ è dato da: Ȳ = ₁ x̅₁ + ₂ x̅₂ + … + _n x̅_n.

Si dice che i vettori x̅₁, x̅₂, …, x̅_n sono linearmente indipendenti se nessuno può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti.

Sottinsieme stabile

Sia S ⊆ V, un sottinsieme dello spazio vettoriale V su compK, si dice che S è stabile in V se gode della proprietà: ∀ x, y ∈ S, ∀ α, β ∈ K: αx + βy ∈ S

Sottospazio vettoriale

Sia S ⊆ V. Si dice che S è sottospazio vettoriale di V se è stabile in V. Si stabilità eredita che V e l'operazione "+" la "·" di V riferito ad S è un'operazione su S (∀xs vartrianglex).

Aungo funquente eredita il prodotto ori. Risulta che ∀k ∈ K, ∀x ∈ S: αx ∈ S. (S, tS, +, ·) è uno spazio vettoriale su compK, è sottospazio vettoriale di V.

Sia V uno spazio vettoriale su compK. Sono x₁, x₂, ..., x_m