Schemi, teoremi fondamentali e dimostrazioni di Analisi 2

Prodotto di scalare per vettore

Siano scalari gli elementi del campo K e siano vettori gli elementi del gruppo abeliano A.

Si definisce prodotto di scalare per vettore una funzione K × A → A che soddisfa le condizioni che:

• 1) α ⊗ (a ⊕ b) = (α ⊗ a) ⊕ (α ⊗ b)
• 2) (α + β) ⊗ a = (α ⊗ a) ⊕ (β ⊗ a)
• 3) α ⊗ (β ⊗ a) = (αβ) ⊗ a
• 4) 1 ⊗ a = a

Spazio vettoriale su campo K

Sia (K, +, *) un campo e sia (A, ⊕) un gruppo abeliano, si dice che A è spazio vettoriale su campo K se esiste una funzione ⊗ di prodotto di scalare per vettore. Si scrive (A, ⊕, ⊗).

1) Se K = ℝ e se A = ℝ², si definisce come segue, R₂, la funzione prodotto di scalare per vettore

⟶ ℝ × ℝ² → ℝ², cioè:

• ∀ α ∈ ℝ, ∀ (α₁, α₂) ∈ ℝ² pongo ⊗(α₁, α₂) det= (α α₁, α α₂)

Si ammette per semplicità ⊗ = omotetia, ottoeni d(α₁, α₂) det(αα₁, αα₂).

• con α > 1 le coordinate si distaccano
• con 0 < α < 1 si contraggono
• con α < 0 si ribaltano

Estensione

⟶ ℝ × ℝⁿ → ℝⁿ

Per rappresentare qualsiasi vettore di ℝⁿ ... ... (Riu. Conoripulorial). Prevoloro le nome di base di Rn.

{e₁, e₂, ..., e_n} = le BASE VONONIA di Rⁿ. Questo osr vetore fa dell'essere settilo come

...

...

Lineare Dipendenza/Indipendenza

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Siano x₁, x₂, ... , x_n n vettori di V.

• Si dice che i vettori x₁, x₂, ... , x_n sono linearmente dipendenti se almeno uno di essi può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti.
• Si dice che y ∈ V è una combinazione lineare di x₁, x₂, ... , x_n, se esistono k₁, k₂, ... , k_n ∈ K tali per cui il vettore y è dato da:

y = k₁ x₁ + k₂ x₂ + ... + k_n x_n.

• Si dice che i vettori x₁, x₂, ... , x_n sono linearmente indipendenti se nessuno può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti.

Funzioni lineari tra spazi vettoriali con campo K in comune.

Siano U e W due spazi vettoriali su campo k.

Sia f: U → W. Si dice f lineare se gode delle seguenti proprietà:

• ∀x,y ∈ U si ha f(x + y) = f(x) + f(y)
• f(αx) = αf(x) ∀ α scalare reale su x ∈ V o vettore su W

f = A matrice, fdd corrispondenza direzione per voi, W

• (αx + βy) = αf(x) + βf(y),\n

γ(x)(i) = f(φ)[x(i)], secondo gli reali x₁, x₂, ... xn, dei vettori a colonne di A.

Sottospazi - Immagine o Im={f}

Sia f: ℝⁿ → ℝᵐ una funzione lineare. Si dice Sottospazio immagine di f, indicato con Im{f}, il sottospazio di ℝᵐ generato da vettori f(e₁), f(e₂),...

• f(ℝⁿ) o equivalentemente: Im{f}_det = {y ∈ ℝᵐ: x₁f(e₁) + x₂f(e₂) + ... + x_nf(e_n)}

Nucleo di f o Ker{f}

Sia f: ℝⁿ → ℝᵐ una funzione lineare. Si definisce nucleo di f, indicato con Ker{f}, il sottospazio di ℝⁿ dato da:

• Ker{f}_det = {x ∈ ℝⁿ: f(x) = O_ℝᵐ}

La base di Im{f} si trova definendo le colonne di A che sono linearmente indipendenti, il cui numero ≡ r(A).

Derivata

Derivata parziale prima

Sia \( f: X \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) e sia \( x_0 \) un punto interno ad \( X \).

Si dice derivata parziale prima di \( f \) rispetto a \( x_i \) nel punto \( x_0 \), e si denota \( \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) \) oppure \( f'_{x_i}(x_0) \), il limite, se esso esiste ed è finito,

\(\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h e_i) - f(x_0)}{h} \in \mathbb{R}\)

Gradiente

Sia \( f: X \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) e sia \( x_0 \) un punto interno di \( X \). Se f ammette derivata parziale prima rispetto a \( x_i \), \( i = 1, 2, \ldots, n \) in \( x_0 \), allora si dice gradiente di \( f \) in \( x_0 \) il vettore dato dalle n derivate prime in \( x_0 \), cioè

\(\nabla f(x_0) = \mathrm{def} \left[ \begin{array}{c} f'_{x_1}(x_0) \\ f'_{x_2}(x_0) \\ \vdots \\ f'_{x_n}(x_0) \end{array} \right]\in \mathbb{R}^n\)

Funzione derivabile

Si dice che se funzione reale di n variabili, \( f: X \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), è derivabile nel punto interno \( x_0 \) di \( X \) se \(\Rightarrow \nabla f(x_0)\), cioè se esistono e sono finite tutte le derivate parziali di \( f \) in \( x_0 \).

Derivata parziale prima di funzioni composte

Sia \( f: X \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), quindi \( \forall x \subseteq X \), \( f(x) \in \mathbb{R} \).

Sia \( g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e considero la funzione composta \( g \circ f: X \to \mathbb{R}\), definita ponendo \( g \circ f (x) \mathrm{def} = g(f(x)) \in \mathbb{R} \quad \forall x \in X \)

Alcune regole pratiche di derivazione

• Prodotto = deriv. del primo fattore · secondo fattore non derivato + deriv. del secondo fattore · primo fattore non derivato
• Rapporto = (derivata del numeratore · denominatore non derivato - derivata del denominatore · numeratore non derivato) / denominatore non derivato
• Composte = derivata della funzione esterna · derivata parziale dell'interna (derivata
• Es.: \( g' \cdot f'_{x}^{t} \), \( f(x, y) \)
• \((x, y) = (x_0, y_0) \)
• Esponenziale = esponenziale invariato per derivata dell’argomento
• Logaritmo = reciproco del prodotto tra base del logaritmo e il suo argomento. \(\frac{d}{dx}(\log(e)) = 1 \).
• \(\sqrt{}\) radice = si riconduce a esponente frazione

Si ha che

• det (H (x^*, y^*)) > 0 ⇒ (x^*, y^*) è punto di max vincolato per f su g
• det (H (x^*, y^*)) < 0 ⇒ (x^*, y^*) è punto di min vincolato per f su g
• det (H (x^*, y^*)) = 0 ⇒ il criterio è inconclusivo

Ker(f) è un sottospazio vettoriale?

Sia f:R^N → R^M e il pui sodisfa assiomi

(i) x, y ∈ Ker(f) ⇒ fx + y ∈ Ker(f)

Dim (i)

x, y ∈ Ker(f) ⇒ f(x) = O_RM

∴ f(x+y) = f(x) + f(y) = O_RM + O_RM = O_RM

Chiusiò

Dim (ii)

x ∈ Ker(f) ⇒ f(x) = O_RM

f(αx) = αf(x) = α • O_RM = O_RM

unicità

Storico

• Sottospazio vettoriale

Dim

D_w̅f(_x̅0)^def = lim_{h→0⁺ f(x̅0+hw̅) - f(x̅0)} / h = lim_{h→0⁺ f(x̅0+hw̅}) - f(_x̅0) - _̅·hw̅ / h + lim_{h→0⁺ ∥ hw̅ ∥} / h

_hw̅ =