Schemi su alcuni argomenti teorici di Geometria

DETERMINANTE DI UNA MATRICE

Si definisce minore complementare dell'elemento a_{i j} e lo si indica con M_{i j} il determinante della matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j.

Si definisce complemento algebrico dell'elemento a_{i j} il numero

dove a_{j I M j I} = (-1)^i+j M_{i j}

SVILUPPO DI LAPLACE

Se A è una generica M_{m x n} il suo determinante A_M R numero che si ottiene sommando gli elementi a_{i j} di una riga (o colonna) moltiplicati per il loro complemento algebrico.

deltA = a_i5|A_{1 i}|+a₂₅|A_{2 i5}| ...

REGOLA DI SARRUS

• a_i1 a_i2 a_i3
• a_i21 a_i2 a_i3
• a_i3 a_i23 a_i3
• a_i1 a_i2 a₁₃
• a_i21 a_i2 a_i23
• a_i31 a_i2 a_i31

Proprietà Determinante

1. Se la matrice ha una riga (o colonna) nulla del A=o
2. Se A ha 1 riga (o colonna) ripet A del t=0
3. Se R= 2 di a due colonne nello stesso le rimanenti n clementi, allora del t A=o
4. Scambiando tra loro 2 righe, o 2 colonne della matrice il determinante cambia segno del B =-del t A
5. Se ad una riga/colonna si aggiunge una combinazione lineare
6. Se la matrice è triangolare, del t A e uguale aI diagonali principali

RANGO DI UNA MATRICE E TEOREMA DEGLI OLATTI

Rango → rappresenta il max numero di righe o colonne linearmente indipendenti. A ∈ R_MxN allora 0 ≤ R(A) ≤ min{m,n}

RANGO 0 → solo matrice nulla.

Se rango A = min{m,n} A ha rango massimo

MINORE → sottomatrice di ordine K il determinante ottenutoeliminando qualsiasi sottoinsieme di righe e K colonne è detto minore considerato.

Una matrice m×n ha rango K s.s:

• esiste un minore di ordine K non nullo
• non esiste minore di ordine K+1 o se ne esistono sono tutti nulli.

Il rango è l'ordine di un minore non nullo

Se trovo un minore di ordine p non nullo allora il rango è ≥p.

TEOREMA DEGLI OLATTI

Affinchè una matrice m×n abbia rango K è necessario e sufficiente che valgano le seguenti 2 proprietà:

• Esiste un minore di ordine K non nullo;
• Sono nulli tutti i minori di ordine K+1 ottenuti del precedente annullando la sottomatrice che non qualunque altre righe o colonne.

Ricerca di autovalori, autovettori, autospa.

Se A ∈ M_n(ℝ) allora

l è un autovalore di A sse in elemento

{x ∈ ℝⁿ: (A-lI)_n = 0}

Se il determinante l (A-lI) det_n = |A-lI_n| = 0

giaccone nelle variabile

allora il polinomio caratteristica

Def: l si dice l'autovalori ind. A puro le radici in IR del polinomio caratteristica

di A avro al polo autovalori

Multiplicita algerbrica e geometrica. Def.

Definire biblioteca geometrica di un autovalore

dimk l = mg l ≤ n ↔

autovettore caratteristico φ(A)

l si applica moltip (l-x) -> (l-λ I)

⇒ k = multiplicità algebra di l

Inversa di una matrice

Sia una matrice con determinante diverso da zero, allora essa è invertibile

A ∈ M_n(k) ⇒ A^-1 = 1/detA · Agg.A

Matrice aggiunta

È una matrice che presenta come componenti il complemento algebrico di A trasposto.

B = Agg.A

b: B = α J; dove l_ij = (-1)^i+j |A_j,i|

Matrice associata ad un omomorfismo (applicazione lineare) rispetto una base

Sia f: ℝ³ → ℝ³ [generico] e sia B (b₁, b₂, b₃)

Troviamo le immagini dei v.celoci in B rispetto la base canonica:

f(b₁) → B₁

f(b₂) → B₂

f(b₃) → B₃

Dobbiamo esprimere le immagini trovate come combinazione lineare dei vettori della base B:

B₁ = α₁ b₁ + β₁ b₂ + γ₁ b₃

B₂ = α₂ b₁ + β₂ b₂ + γ₂ b₃

B₃ = α₃ b₁ + β₃ b₂ + γ₃ b₃

I coefficienti α, β, γ saranno i vettori colonna della matrice associata all'applicazione lineare rispetto ad una base generica B:

A = α₁α₂α₃ β₁β₂β₃ γ₁γ₂γ₃