Schemi su alcuni argomenti teorici di Geometria

Determinante di una matrice

Di ogni matrice A ∈ M_mxn a coefficienti reali è possibile associare un numero reale detto determinante o detA. |A|. Se A ∈ M_nxn ovvero A ∈ C_nⁿ detA = a₁₁.

Matrice 2x2

Se A ∈ M_2x2 -> Δ = (a₁₁ a₁₂) (a₂₁ a₂₂) detA = a₁₁a₂₂ - a₂₁a₂₂.

1. Se A ∈ M_mxn una generica Minore che si ottiene: Si definisce minore complementare dell’elemento i, j, che si indica con M_ij; il determinante della matrice ottenuto dalla eliminando la riga i e la colonna j; Si definisce complemento algebrico dell’elemento i, j, il numero che non dipole A_ij = (-1)^i+j |M_ij|

Sviluppo di Laplace

Se A è una generica M_mxn il suo determinante è il numero che si ottiene somando gli elementi di A presi su riga o c colonne, moltiplicati per il loro complemento algebrico. detA = a₄₅ |A₄₅| + a₂₅ |A₂₅|...

Regola di Sarrus

(a₁₁ a₂₁ a₁₃) a₁₄ a₁₂ (a₂₁ a₂₂ a₂₃) a₂₁ a₂₂ (a₃₁ a₂₂ a₁₃) a₃₁ a₂₁

Proprietà del determinante

1. Se la matrice ha 2 righe (o colonne) uguali detA = 0
2. Se 4 1 riga (colonne) = uguali detA = 0
3. Se 2 colonne sono linearmente dipendenti allora detA = 0
4. Scambiando tra loro 2 righe o 2 colonne della matrice il determinante cambia segno: detA = - detA
5. Se ad una riga (colonne) si aggiunge una combinazione lineare di altre righe (colonne), il determinante rimane invariato
6. Se la matrice è triangolare detA è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale

Determinante di una matrice (seconda spiegazione)

Ad ogni matrice A ∈ M_n,n e coefficiente reali è possibile associare un numero reale detto determinante o det A. |A|. Se A ∈ M_1,1 ossia iA ∈ C_(1,1) det A = α₁₁.

Se A ∈ M_2,2 → Δ = (_{α11 α12 α21 α22}) det A = α₁₁α₂₂ - α₁₂α₂₁

1. Se A ∈ M_n,n una generica Minore posto si notone: Si definisce minore complementare dell'elemento e_i,j e lo si indica con H_i,j, il determinante della matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j. Si definisce complemento algebrico dell'elemento e_i,j, il numero che non segue α_i,j = (−1)^i+j |H_j,i|

Sviluppo di Laplace (seconda spiegazione)

Se A ∈ una generica M_n,n il suo determinante → è il numero che si ottiene, sommando gli elementi di una riga (o colonna) moltiplicati per il loro complemento algebrico. det A = α₁₅ |A₁₅| + α₂₅ |A₂₅| ...

Regola di Sarrus (seconda spiegazione)

(α₁₁ α₁₂ α₁₃ α₁₁ α₁₂ α₂₁ α₂₂ α₂₃ α₂₁ α₂₂ α₃₁ α₃₂ α₂₃ α₃₁ α₃₂ α₂₁ α₂₂ α₂₃ α₂₁ α₂₂ α₃₁ α₃₂ α₂₃ α₃₁ α₃₂ α₂₁ α₂₂ α₂₃ α₂₁ α₂₂) = |A| so

Proprietà del determinante (seconda spiegazione)

1. Se la matrice ha 2 righe o colonne uguali, det A = 0
2. Se "1 riga colonna" è uguale, det A = 0
3. Se le righe o colonne sono linealmente dipendenti, allora det A = 0
4. Scambiando due righe o due colonne della matrice, il determinante cambia segno: det B = - det A
5. Se ad una riga o colonna si aggiunge una combinazione lineare di altre, il determinante rimane invariato e uguale al prodotto della diagonale principale

Rango di una matrice e teorema degli orlati

Il rango rappresenta il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti. Se A ∈ ℜ_m×n allora 0 ≤ K(A) ≤ min{m,n}. RANGO=0 ⇒ solo matrice nulla. Se il rango di A è min(m,n), A ha rango massimo.

Minore → Def. cioè minore di ordine K è determinato da una sottomatrice quadrata ottenuta da K righe e K colonne scelte. Una matrice m×n ha rango K se: esiste un minore di ordine K non nullo, non esistono minori di ordine K+1 o se ne esistono sono tutti nulli. Il rango è l'ordine di un minore non nullo. Se trovo un minore di ordine p non nullo allora il rango è ≥ p.

Teorema degli orlati

Affinché una matrice m×n abbia rango K esiste un minore di ordine K non nullo; sono nulli tutti i minori di ordine K+1 ottenuti dal precedente orlando la sottomatrice con una qualunque altra riga o colonna.

Studio dell'indipendenza lineare tra vettori tramite rango

Sia dato un insieme di vettori formato dai m ≥ 2 vettori di uno spazio vettoriale Rⁿ. Se esso può essere visto come il massimo numero di righe (o colonne) tra loro linearmente indipendenti. Per studiare la dipendenza/indipendenza lineare, prendiamo una matrice avente come righe o colonne le componenti dei vettori e calcoliamo il rango. Se il rango è massimo allora l'insieme dei vettori è linearmente indipendente; in caso contrario, otteniamo vettori linearmente dipendenti.

Esempio

Siano dati 3 vettori: v₁ = (1, 0, 1, -1), v₂ = (2, -1, 0, 3), v₃ = (-2, 5, ?, 1). Costruiamo la matrice con come colonne le componenti:

M = [1, 2, -2]
    [0, -1, 5]
    [1, 0, 2]
    [-1, 3, 1]
    ∈ H4x3(R)

Il rango massimo possibile poteva essere 3. Misurare la soluzione, r, con det ≠ 0. Verifica se r = ordine 3

det = | 1, 2, -2 | = -2 + 10 - 2 = 6 ≠ 0
      | 0, -1, 5 |
      | 1, 0, 2 |

M ha rango = 3, pertanto il sistema dei vettori: S = {v₁, v₂, v₃} è linearmente indipendente.

Cambiamento di base

Siano date due basi: B₁ = {x₁, x₂, ... x_n} e B₂ = {b₁, b₂, ... b_n}.

La matrice di passaggio dalle basi B₁ e B₂ sarà quella matrice avente come vettori colonna la composizione della seguente combinazione lineare: b₁ = α x₁ + β x₂ + ... ε x_n. La matrice di passaggio B_-1 delle basi B₂ e B₁ avrà come vettori colonna invece la composizione della seguente combinazione lineare: x₁ = d b₁ + β b₂ + ... ε b_n.

Matrice associata ad omomorfismo

Siano B una base B′ della base canonica e se f un omomorfismo dello spazio trovato, le immagini delle B′ effettuano composizione lineare delle base = alle immagini esempio:

f : ℝ²*ℝ²(x, y) → (2y, x)

B = { (3, 2), (4, 1) }

f(3,2) = (4, 6)
f(4,1) = (2, 8)

(4, 6) = α (3, 2) + β (4, 1)
(2, 8) = α (3, 2) + β (4, 1)
d e β determinano somma le commissioni col vettori colonne delle matrice associate.

Endomorfismo

Un endomorfismo è un omomorfismo da uno spazio vettoriale in sé, per il quale dominio e codominio coincidono. Un omomorfismo è iniettivo se è solo il restrittivo sugli altri termini, un endomorfismo è un omomorfismo e è solo il monomorfismo e è iniettivo.

Autovalori e autovettori

Sono alla base della teoria della diagonalizzazione di un endomorfismo. In generale è necessaria l'esistenza di una matrice regolare.

Definizione 1

Prendiamo un endomorfismo f: V → V su uno spazio vettoriale sul campo reale ℝ. Diciamo che un valore λ ∈ ℝ è un autovalore dell'endomorfismo f se e solo se esiste un vettore non nullo v ∈ V tale che f(v) = λv. Qui possiamo avere definito un vettore corrispondente al valore, cioè un calcolo ≠ 0 e v ∉ ker(f-λId:_V).

f λ ∈ ℝ e un esecutore di f, f è limitato: f_λ(λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} viene definito sottomultiplo di f relativo a λ. Ogni V ⊆ f_λ(λ) è sottospazio vettoriale di f altrimenti f_λ(λ) ≠ {^θ} per ogni sottomultiplo.

Proposizione

Se V uno spazio vettoriale su K, x se f: V → V è un endomorfismo, λ ∈ ℝ è un autovalore di f se e solo se f - λId:_V : V → V non è iniettivo. In tal caso f_λ(λ) = Ker(f - λId_V), in particolare f_λ(λ) è sottogruppo di V.

Ricerca di autovalori, autovettori, autospari

Sia A ε M_n(R) ricordando che un autovalore di A θ un λ ε ℝ : det(A-λI_n)=0. Determinante(I-λI_n) θ un polinomio di grado n nelle variabili λ definito polinomio caratteristico oc. θ radici con pm(λ).

Definizioni e polinomio caratteristico

Def: Il polinomio p_A(λ) = det(Λ-λI_n) è il polinomio caratteristico ob di A. Def: Sia A ε M_n(R) gli autovalori in ℝ di A sono le radici in ℝ del polinomio caratteristico di A. A avrà al più n autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica.

Diagonalizzazione di matrici

Sia \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) una matrice diagonalizzabile se esistono n autovettori di A linearmente indipendenti. Nota: Ogni matrice diagonale è diagonalizzabile.

\(D = \begin{pmatrix}\lambda_{1} & \cdots & 0 \\0 & \ddots & 0 \\0 & \cdots & \lambda_{n}\end{pmatrix}\) allora \(D_{s,s} = \lambda_{s}E_{s,s}\) dunque esistono n autovettori di D linearmente indipendenti.

Prendiamo ad esempio le seguenti matrici:

\(A = \begin{pmatrix}-1 & 2 & 2 \\1 & -2 & 0 \\3 & 3 & 2\end{pmatrix} \subset \mathbb{R}^{3,3}\)

Essa è diagonalizzabile poiché possiede 2 autovalori, \(\lambda_{1} = 3\), \(\lambda_{2} = -3\) i cui autospazi sono: \(E_{A}(3) = \{(2,1,3)\}\), \(E_{A}(-3) = \{(-\frac{1}{2},0),(-1,2,1)\}\). 3 vettori linearmente indipendenti. Quindi la matrice:

\(P = \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\1 & 0 & 0 \\3 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

con rango = 3 dove \(B = \{E_{A1}, E_{A2}, E_{A3}\}\) è una base di \(\mathbb{R}^{3,3}\) formata da autovettori.

\(P^{-1}AP = \Delta\)

dove \(\Delta\) è la matrice diagonale dove ha n componenti non nulli i soli autovalori della matrice A.

Note politiche algebraica

Sia A una matrice qualsiasi e sia \(\lambda\) un suo autovalore. Si definisce molteplicità algebrica dell'autovalore \(\lambda\) è radice del polinomio caratteristico.

Sia \(A = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} \Delta\)
\(P_{A}(\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^{2} - 1) = (1-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda + 1)\)

Grado di tale polinomio, esso ha = \(\Delta \land \lambda_{s} = -\Delta\). Qual è la loro molteplicità algebrica? m_g(λ) >= 2 → λ_o = 1 annulla 2 volte il polinomio m_α(λ) = 1. La somma della molteplicità dipende e chiede ai valori cresc... mezzi prima ... la dimensione della matrice.

Molteplicità geometrica

Basta una matrice quadrata A di n x n, su uno spazio vettoriale di dimensione n, la molteplicità geometrica di λ indica con m_g(λ) la dimensione dello sottospazio relativo e λ, ovvero il numero di autovettori linearmente indipendenti dell'equazione omogenea di λ, ovvero:

mg(λ) = n - rank(λ I - A) = n - rango matrice
es: A = 0 1 0 1 0 0 0 0 1
dove λ0 = 1 λ1 = -1
mg(1) = 3 - rank
1 1 0
1 -1 0
0 0 0
= 3 - 1 = 2
mg(-1) = 3 - rank
1 1 0
1 0 0
0 0 2
= 3 - 2 = 1
UGUALE mg(λ) < sub > e < /sub > me(λ)

1 ≤ m_g(λ) ≤ m_e(λ) ≤ n La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o al più uguale della molteplicità algebrica dello stesso ed è al minimo 1.

Matrici diagonalizzabili

Esiste una matrice A quadrata e diagonalizzabile x e solo x esiste una matrice P (matrice diagonalizzatrice di A): D = P^-1 D P.

Criterio di diagonalizzazione

Esistono numerose e sufficienti condizioni affinché una matrice sia diagonalizzabile e cioè:

1. Il numero degli autovalori, contati con le loro molteplicità, è pari all'ordine della matrice,
2. La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con le relative molteplicità algebrica.

In casi da considerare particolari

1. Se A è una matrice simmetrica allora A è diagonalizzabile,
2. Se A è una matrice qualsivoglia di ordine n due ammessi n autovalori, allora è diagonalizzabile.

Esempio 1

A = (0 1 0)(-1 0 0)(0 0 1) Trovare gli autovalori: p(x) = det(A - λI₃) = (1 - λ)(λ² + 1) λ₀ = 1. A non è diagonalizzabile perché la 2^a condizione non è stata verificata.

Esempio 2

A = (2 1 0)(0 2 1)(0 0 1) ρλ = (2 - λ)(λ - 2)(λ - 3). I valori sono quindi: λ₀ = 2, λ₁ = 3 dato: m_g(2) = 2, m_g(3) = 1 → dove? la somma delle molteplicità è = ordine matrice, verifichiamo le molteplicità geometrica → m_g(2) = m - rank[A-2I₀] = 3 - rank:

[ 0  1  0 ]
[ 0 -1  1 ]
[ 0  2  2 ]

= 3 - 2 = 1 ⇒ m_e(2) ≠ m_g(2) pertanto A non è diagonalizzabile.