Schemi riassuntivi di Meccanica Applicata alle Macchine

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

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Coppie Cinetiche e Meccanismi

• Coppie cinematiche inferiori (contatti superficiali)
  • coppia estotidale (permette 1 rotazione)
  • coppia prismatica (permette 1 traslazione)
  • coppia elicoidale (permette 1 traslazione legata alle rot.)
  • coppia cilindrica (permette 1 traslazione e 1 rotazione)
  • coppia piana (permette 2 traslazioni e 1 rotazione)
  • coppia sferica (permette 3 rotazioni)
• Coppie cinematiche superiori (contatti puntuali o lineari)
  • camme, piani (1 gde - senza strisciamento relativo / 2gde - con strisciamento relativo)

• Tipi di vincoli
  • olonomo (in funzione della posizione)
  • anolemmo (in funzione anche di stati premuenti e non integrabile)
  • unilaterale / multilateral (diseguazione)
  • bilaterale (eguazione)

Gradi di libertà di un meccanismo (formula di Gruebler)

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

COPPIE CINEMATICHE E MECCANISMI

• Coppie cinematiche inferiori (contatti superficiali)
  • coppia esterna (permette 1 rotazione)
  • coppia prismatica (permette 1 traslazione)
  • coppia elicoidale (permette 1 traslazione legata alle rotaz.)
  • coppia cilindrica (permette 1 traslazione e 1 rotazione)
  • coppia piana (permette 2 traslazioni e 1 rotazione)
  • coppia sferica (permette 3 rotazioni)
• Coppie cinematiche superiori (contatti puntuali o lineari)
  • camma piana (1 gde - senza strisciamento relativo / 2gde - con strisciamento relativo)

• Tipi di vincoli
  • olonomo (in funzione della posizione)
  • non olonomo (in funzione anche di altri parametri e non integrabile)
  • unilaterale / unasemirale (disuguaglianza)
  • bilaterale (uguaglianza)

• Gradi di libertà di un meccanismo (formula di Grübler):

2D:

μ = 3m - 2c₁ - c₂

dove: m = numero di corpi (escluso il telaio) c₁ = coppie cinematiche a 1 gdl c₂ = " " " 2 gdl

3D:

μ = 6m - 5c₁ - 4c₂ - 3c₃ - 2c₄ - c₅

Una catena cinematica piana riportata in 3D, avrà 3 V vincoli non indipendenti per ogni maglia chiusa (μ = μ_3D - μ_2D).

FORZE DI CONTATTO ED EFFETTI DISSIPATIVI

Teoria di Hertz

Ipotisi:

• materiale uniforme, isotropo e perfettamente elastico
• non attrito
• aree di contatto piccole rispetto alle dimensioni dei corpi
• deformazioni piccole rispetto alle zone di contatto

I) Contatto sfera-sfera

Curvatura relativa: ¹⁄_E = ¹⁄_r1 + ¹⁄_r2

dove: + per superfici convesse - per superfici concave

Modulo di Young equivalente: ¹⁄_E = ^{1 - ν₁2⁄_E1 + 1 - ν₂2⁄_E2}

dove: ν = coeff. di Poisson

\[\pi a^2 \propto Q_1, \frac{1}{E} \implies a = K a \sqrt[3]{\frac{Q_1}{E}} = 0,9 \sqrt[3]{\frac{Q_1}{E}}\]

\[p_{medio} = \frac{Q}{\pi a^2}\]

\[p_{max} \] \[ \nexists \] \[ \nexists \] \[ \nexists \] \[ = \] Cilindro con altezza pari a \[ p_{medio}\]

\[p_{max} = \frac{3}{2} p_{mel} = \frac{3}{2} \frac{Q}{\pi a^2} = \]

\[= \frac{3}{2} \frac{Q}{\pi} \frac{1}{h_s^2} \left( \frac{\bar{E}}{\bar{Q_E}} \right)^{3/2} =\]

\[= \frac{3}{2 \pi h_s^2} \sqrt[3]{\frac{\bar{E^2}Q}{Q^2}} = K b^3 \sqrt[3]{\frac{\bar{E^2}}{Q^2}}=0,9 \sqrt[3]{\frac{\bar{E^2}}{Q^2}}\]

\[II) Contatto cilindro-cilindro\]

\[b = h_{rs} \sqrt[3]{\frac{Q \bar{E}}{\bar{Q_E} E}} = 0,6 \sqrt[3]{\frac{Q \bar{E}}{Q E}}\]

\[p_{mel} = \frac{a}{2b E} \]

\[p_{max} \frac{1}{2} \pi b = p_{mel}\] \[ = \] \[p_{max} = 2 \pi p_{mel} = \pi \frac{Q}{2b E} = \]

\[= \pi \frac{Q}{2E} \frac{1}{h_{rs}} \sqrt[3]{\frac{\bar{E}}{\bar{Q_E}}} = \]

\[= \frac{\pi}{2 h_{rs}} \sqrt[3]{\frac{\bar{EQ}}{Q E^2}} = 1,4 \sqrt[3]{\frac{\bar{EQ}}{Q E^2}} \]

Attrito radente

Statica: T = f_s N

Dinamico: T = f_d N

dove: f_s = tg φ_s

f_d = tg φ_d

T ≤ f_s N

Nel passaggio da una situazione statica a una dinamica:

Attrito fluidodinamico

I) Moto laminare:

T = -c v

dove: c = coeff. di attrito viscoso lineare

M = -β ω

dove: β = coeff. di attr. viscoso angolare