Schemi/formulari riassuntivi per risolvere gli esercizi di Meccanica applicata alle macchine

Meccanica Applicata Alle Macchine

Copie Cinematiche e Meccanismi

• Equazione di Grübler

Ngli = 3Nm - 2C₁ + C₂

• Ngli = numero di gradi di libertà
• Nm = numero dei corpi mobili
• C₁ = numero delle coppie che fissano 1 grado di libertà e introducono 2 vincoli
• C₂ = numero delle coppie che fissano 2 gradi di libertà e introducono 1 vincolo

Tipi di Coppie - Gradi di Libertà

• Rotolale → 1
• Prismatica → 1
• Cerniera - Rottino → 2
• Camma (con sfilamento) → 2

(NB: Qui ho 1 di C₂ e 2 rotolali → 2 di C₁)

NB: In caso di vincoli multipli

Ng = 3Nm - 2C₁ - C₂ - 2(n - 1)

dove n è il numero dei corpi interessati alla coppia multipla

NB:

• In A ho un cerniera multipla (1 tettoio + 2 aste)

2(3 - 1)/2

• In B ho un cerniera multipla (1 pattino + 2 aste)

Uni co si fa considerare C₂

NB: Soltamente quando ho solo un gradi di libertà

Attenzione!

• Nm = 2 + aste + 1 prism
• C₁ = 3 = A + B + 2 - 1

C₁ = 1 - C_null

CINEMATICA DEI MECCANISMI PIANI

METODO 1 - EQ. DI CHIUSURA

• Analisi di Posizione

1. Posizione: vettori

Per posizionare:

• Devo passare per tutte le "cerniere"
• Devo evitare di andare ad ottenere oggetti in più
• Devo semplificare lo schema
• Solo cerniere di lunghezza vettori che hanno una sola componente x e y
• I vettori devono chiudersi

(Chiudersi: se ci sono altre...)

2. Partendo da O e percorrendo in senso orario scrivi equazione di chiusura

• Esempio

NB: Questo funziona solo per una maglia.

Partendo percorrendo in senso orario e tornando è il opposto

3. Proietto l'equazione di chiusura sugli assi di riferimento assoluto

• x₂ cos(Θ₂) + z₃ cos(Θ₃) + z₄ cos(Θ₄) - z₁ cos(Θ₁) = 0 → x
• x₂ sen(Θ₂) + z₃ sen(Θ₃) + z₄ sen(Θ₄) - z₁ sen(Θ₁) = 0 → y

Noto che:

• z₁ coincide con x => Θ₁ = 0

Ho 5 variabili in 2 equazioni → Sviluppo una variabile come coordinata libera

1. zₓ + z₃ cos(Θ₃) = z₄ cos(Θ₄)
2. zᵧ + z₃ sen(Θ₃) = z₄ sen(Θ₄)

RICORDA:

• y = z cosΘ
• x = z senΘ

Cᵣₓ(Θ₂) = z₂ cos(Θ₂) = z₁

Cᵣᵧ(Θ₂) = z₂ sen(Θ₂)

(1)

Analisi di Posizione

• NO

Analisi di Velocità

Legge fondamentale:

V_A = V_B + W × (A-B) = V_B + V_rA-B

Nota che:

• V_θ = 0 → velocità assoluta
• V_A = V_A1 = V_A2 = V_A
• W = 0

Proietto la rotazione sugli assi assoluti:

• V_AI = V_θ + V_r
• V_A4 = V_OA + W_S × (A-O)

Prodotto vettoriale oppure

W₃ = ^{senθ cosθ}

Nota:

Quello che sale cambia di segno & quella semiriga scende senza cambiare segno.

NB:

V_A = V_B + W × (A-B) → velocità assoluta del punto A

V_c3 = V_A4 + W₂ × (B-A) → velocità del punto B scomposta

Retrogrado

P₁ - P_m = ^d/_dt (½ J_m w_m²)

P_A = η_p P₂

P_u - P₂ = ^d/_dt (½ J_u w_u²)

Diretto

P_m - P₁ = ^d/_dt (½ J_m w_m²)

P₂ = η_p P₁

P₂ - P_u = ^d/_dt (½ J_u w_u²)

P_m = M_m w_m coppia motore

Rapporto di Trasmissione

ζ = w_u/w_m

NB

• P_m = M_m w_m coppia motore
• P_u = potenza esercitata dall'utilizzatore
• Potenza = Forza * Velocità in componente
• se la MASSA è TRASCINATA (½ J_u w_u² + ½ m v²)

FLUSSO DI POTENZA

(Per applicare, devo avere, da problema, In, momento d’inerzia, η = η₀ = rendimento)_{(CARICO + MOTORE)}

FLUSSO DIRETTO (TRASMISSIONE)

• P_m - P_u = d/dt (½ I_mu_m²)
• Pin = P₀ P₂ - P_u = d/dt (½ I_uω_u²)

P_m = potenza motore = C_m ω_m

P_u = potenza utilizzatore = solitamente Forza peso e attrito

• NB: Potenza = (componente) Forza . Velocità
• NB: Se da MESSA E TRASCINATA ho 3^a equazione diretta,
  • P₂ - P_u = d/dt (½ I_uω_u²) + ½ m V²
• RAPPORTO DI TRASMISSIONE:
  • τ = ω_u / ω_e = u_u = u_u = um ω_m
• Se dopo un flusso diretto e MOTORE viene SCOLLEGATO
• ritoloso la (1) imponendo C_m = 0, P_m = 0
• Noto che V(t) = V₀ + V_! posso determinare l'accosto
• V - ω_m R_e = ⅔ ω_m R_p

FLUSSO RETROGRADO

• P_i - P_m = d/dt (½ I_mω_m²)
• P_i = η₁ P_c
• P_u - P_i = d/dt (½ I_uω_u²)

NB: η₀ e η_u almeno al massimo sono gli stessi. Sebo del tabollo P_m = 0