Schemi riassuntivi di Macchine e reti elettriche - parziale 1

Elettrotecnica

Teoria dei circuiti: modelli complessi → modelli semplici (o approccio circuitale)

• Circuito
• Componenti: insieme di morsetti (ingressi/uscite) caratterizzati da relazioni costitutive (più o meno conosciute) dei parametri circuitali
• Collegamento: equazioni di vincolo (o topologia) delle continuità di interfaccia

• non direzionale: la direzione degli scambi fra i componenti è indeterminata e non è stabilito un preciso rapporto di causa-effetto tra le variabili di interfaccia
• (uni)direzionale: la direzione degli scambi fra i componenti è prestabilita ed è possibile calcolare sequenzialmente le variabili di interfaccia

1. Variabili di interfaccia = segnali: x(t*)
   • tempo continuo → segnali analogici x ∈ &R;, x(t) ∈ &R;
   • tempo discreto → segnali digitali x ∈ &R;, x(n) ∈ &R;

• Circuiti non direzionali con variabili analogiche: circuiti elettrici a costanti concentrate
• Circuiti uni-direzionali con variabili digitali: circuiti a tempo discreto digitali

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Fenomeni elettromagnetici reali ↔ equazioni di Maxwell

Ipotesi: modello circuitale semplificato

1. Piccole dimensioni della struttura
2. Velocità di propagazione infinita
3. Tempo di trasmissione dei fenomeni nullo

Variabili di interfaccia elettrica:

1. Tensione [Volt], verso convenzionale: - → +
2. Corrente [Ampere], verso orario

• Versi coordinati (utilizzatore) P = V(t) · I(t) > 0 assorbita
• Versi non coordinati (generatore) P = V(t) · I(t) < 0 ceduta

Equazioni di vincolo (topologiche):

1. 1^a legge di Kirchhoff: la somma algebrica delle correnti entranti e uscenti da una superficie chiusa è nulla (KCL)
2. 2^a legge di Kirchhoff: la somma algebrica delle tensioni lungo una curva chiusa è nulla (KVL)

Componenti elettrici ideali:

a) Generatore indipendente di tensione (bipolo)

• Relazione costitutiva:
• V(t) = V_g(t)
• Condizione di p assività non verificata ⇒ attivo

b) Generatore indipendente di corrente (bipolo)

• Relazione costitutiva:
• I(t) = I_g(t)
• Condizione di passività non verificata ⇒ attivo

✯ Generatori "reali" (circuito equivalente):

1. Generatore indipendente di tensione

R_v noto

2. Generatore indipendente di corrente:

R_i noto

✯ Resistenze:

1. In serie stessa corrente (I₁ = I₂ = I)

In equilibrio:

I

V₁

V₂

Svolgimento:

1. Equazioni costitutive: dipendono dalla tipologia de componenti
2. Equazioni vincolari (topologiche):
   1. La KVL si applica sulle maglie fondamentali (1 ramo di co-albero che da il verso positivo della tensione) + n rami di albero

      [Vz_c] + [B] [Va_c] = ϕ

      • dove [Vc] = vettore colonna delle tensioni sui rami di co-albero

      (R - (N -1))

      • equazioni dove: R = numero di rami N = numero di nodi C = numero di co-alberi
   2. La KLC si applica sui tagli fondamentali (1 ramo di albero che da il verso positivo della corrente) + n rami di co-albero

      [Ia_g] + [A] [Ic_g] = ϕ

      • dove: [Ia] = vettore colonna delle correnti sui rami di albero
      • [Ic] = vettore colonna delle correnti sui rami di co-albero
      • [A] = matrice con valori ϕ, 1, -1
      • * [C] = [A]^T

Metodi di risoluzione:

1. Metodo tabellare:
   • Sistema costituito da R equazioni costitutive e R equazioni topologiche
2. Metodo delle maglie:
   • Ipotesi: componenti senza memoria e pilotati in corrente

R eq. costitutive:

• [Vc] = [R] [Ic] + [Vc_g]
• [Va_c] = [R_a] [Ia_g] + [Vc_g]
• [Vc] = [R_c] [Ic] + [Vc_g]

II)

V inerte

III) Sovrapposizione degli effetti

I = I’₀ + I’’

• Se C inerte è lineare, stazionario e senza memoria, equivale a
• una conduttanza

b) 2-porte

1. Teorema di Thevenin generalizzato

Ipotesi: il circuito C non si comporta come un generatore indipendente di corrente

1. Assegnamento I)

• I₂ = φ

risolve I circuiti I

5) Ipotesi: il circuito C non si comporta né come generatore di

corrente né di tensione

Subcircuito: I

risolvere i

circuiti I e II

separatamente

I+II) Sovrapposizione degli effetti

I₁=I'₁+I''₁

V₁=V'₁+V''₁

* Se C

dove:

naturalmente.

A sin. e regime permanente sinusoidale

- Definizione eccitazione sinusoidale: e(t) = A cos (ω₂t + φ)u₁(t)

_tc

ℰ(s) = A ^ω₂2/_{s²+ ω2²} =

= A ^R/_{s - jωq} + A ^R*/_{s + jωq} =

= ^R*/_{s - jωq} + ^R*/_{s + jωq}

U(s) = F(s) ℰ(s) = U_t(s) + ^R/_{s - jωq} + ^R*/_{s + jωq}

↙                 ↘

risposta                                    u_p(t)

temporanea                                                risposta permanente

⇓

u(t) = A ⋅ cos (ω₂t + φ₁)(t)u₂(t)

- Fondere: - - = A e^jφ per eseguizione isofrequenziali

e₁(ω₂t+φ) + e^{−j(ω₂t+φ)}

e(t)= A cos(ω₂t+φ) = A ²=

= A e^jφ e^jω_t + A e^−jφ e^−jω_t

= ^ejω_t + ^{ℰ*e−jω_t}/₂ =

=

= Re [^{ℰ ejω_t}]

∗ e(t) = Acos (ω₂t+φ) = A cos (ω₂t+φ − ^π/₂) = A cos (ω₂t+φ₁)

Le Pz (f): porre un condensatore in parallelo all'e'li'zzatrice

a)

I_c = jωC V_c ➔ I = ωCV_c

I_c = I₀sinψ

I₀sinψ = ω CV_c

C = _I0⁄_{ωVc sinψ}

b) γ = jωC + ¹⁄_{R + jωL} = jωC + ^{R - jωL}⁄_{R² + ω²L²}

Im[γ] = ωC - ^ωL⁄_{R² + ω²L²} = φ

C = ^L⁄_{R² + ω²L²}

• Circuiti risonanti:

a) in parallelo:

V= ¹⁄_{1 ⁄ R + jωC + 1 ⁄ jωL} I = ^R⁄_{1 + jωCR + ^R⁄jωL} I

= ^R⁄_{1 + jωCR(^ω⁄ωs - ^ωs⁄ω})

dove: Q_p = ωC R = ^R⁄_ωsL = coeff di risonanza

ω_s = frequenza di risonanza