Schemi riassuntivi di Analisi 1

Revisionato il 22/05/2026

di Alèxandros1993

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Schemi riassuntivi del programma d'esame di Analisi 1, prof. Papalini, facoltà di Ingegneria meccanica, Università Politecnica delle Marche - UNIVPM. Adatti al ripasso, non …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Papalini Francesca

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2012-2013

67 pagine

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N: naturali

Z: int. pos. e neg.

Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)

R: reali (irz., radici)

ASSIOMA DELLA COMPLETEZZA

∀A, B ⊆ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀a ∈ A, ∀b ∈ B,: a ≤ b

⇒

∃c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀a, ∀b

es:

A = {x ∈ R: x > 0}

B = {x ∈ R: x ≤ -15}

C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}

CHIUDETEZZA A ⊆ R, A ≠ ∅

ch. sup.
∃K ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante
ch. inf.
∃R ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≥ h, A minorante
l. sup.
∃ r ∈ R, ∀a ∈ A: a ≤ r
l. inf.
∀ r ∈ R ∀a ∈ A: a ≥ h

N: naturali

Z: n. interi pos. e neg.

Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)

R: reali (irraz. : radici)

ASSIOMA DELLA COMPLETEZZA

∀ A, B ⊂ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B: a ≤ b

⇒

∃ c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀ a, ∀ b

es:

A = {x ∈ R: x > 0}

B = {x ∈ R: x ≤ -15}

C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}

CHIUDETEZZA

A ⊂ R, A ≠ ∅

* CH. SUP.

∃ K ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante

* CH. INF.

∃ h ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≥ h, h minorante

* K. SUP.

∃H ∈ R ∀a ∈ A : a ≤ h

* K. INF.

∀ h ∈ R ∀a ∈ A : a ≥ h

- INF

∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≤ε

- m≤a≤m

- SUP

∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≥ε

a-c-m∀ε>m

-SUP

A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a c.r. sup.

s ≥ a
∀ε>0. ∃a∈A: s-ε<a

Teorema esistenza

Ipotesi: A ≠∅

B = {k∈ℝ: k≥a ∀a∈a} ≠ ∅ a ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B

Teo (assioma della completezza).

∃c∈ℝ: a ≤ c ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B

Teorema unicità (per assurdo)

s₃ = sup A → s₃ ≤ s₁ → s₁ = s₂

- INF

A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a. c.r. inf.

i ≤ a
∀ε>0 ∃a∈A: i+ε>a

Teorema esistenza

Ipotesi: A ≠ ∅, B = {k ∈ ℝ: k < a}, ∅ a ∈ ℝ, ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Teorema (as. della completezza): ∃ c ∈ ℝ: b ≤ c ≤ a

Teorema unicità (per assurdo)

i₁ = inf_A ⇒ i₁ ≤ s₁ ⇒ i₂ ≥ s₁

i₂ = inf_A ⇒ i₂ ≤ s₁ ⇒ i₂ ≤ i₁

Successioni

Simbolo: (a_n)_n

Dominio: ℕ (Codominio: ℝ ⇒ successioni numeriche)

es. i_n = a_n

Limiatezza

(a_n)_n LH, inf.

∃ h ∈ ℝ: ∀ n ∈ ℕ ⇒ a_n ≥ h

inf a_n = i

i ≤ a_n
∀ ε > 0 3 n₂ ∈ ℕ : i + ε > a_n

(a_n)_n LU, inf.

∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ < k

inf aμ = -∞

(aμ) lim. sup.

∃ k ∈ ℜ ∀ μ ∈ ℕ ⇒ k > aμ

sup aμ = S

1) S ≥ aμ

2) ∀ε > 0 ∃ μ ∈ ℕ : S - ε < aμ

(aμ) v.l. sup.

∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : qμ > k

sup aμ = +∞

LIMITE

∀ l ∃ μ ≤ l : ∀ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ Iμ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = l\)

ƒ I_+∞ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ I_+∞ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = +\infty\)

CONVERGENTE

∀ε > 0 lμ = μ̅(ε) ∃ μ̅s ≥ μ̆ ⇒ |aμ - l| < ε

l - ε < aμ < l + ε

DIVERGENTE A +∞

∀ε ∃ μ̆ ∈ (M) ∃ μ̅ ∈ ℕ : ∀ μ̅ ≥ μ̆ ⇒ |aμ| > M

DIVERGENTE A -∞

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