Schemi riassuntivi di Analisi 1

Analisi 1

N: naturali

Z: int. pos. e neg.

Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)

R: reali (inc. radici)

Assioma della Completezza

∀A, B ⊂ R: A ≠ Ø, B ≠ Ø; ∀a ∈ A, ∀b ∈ B: a ≤ b

⇓

∃c ∈ R: a ≤ c ≤ b, ∀a, ∀b

es.:

• A = {x ∈ R: x > 0}
• B = {x ∈ R: x ≤ -1.5}

C = {x ∈ R: -1.5 ≤ x < 0}

Chiusura

A ⊂ R, A ≠ Ø

• Ch. sup.: ∃k ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ k, k maggiorante
• Ch. inf.: ∃h ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≥ h, h minorante
• Int. sup.: ∃ ! k ∈ R ∀a ∈ A: a ≤ k
• Int. inf.: ∀h ∈ R ∃a ∈ A: a < h

• CHƎ m≥0: ∀ a ϵ A ⇒ |a| ≤ m-m ≤ a ≤ m
• CIƎ m≥0: ∀ a ϵ A ⇒ |a| ≥ ma ≤ -m ∨ a ≥ m
• SUPA ⊂ ℝ, A ≠ ∅, A CH. sup.
  1. s ≥ a
  2. ∀ ϵ > 0 ∃ a ϵ A: s - ϵ < a

Teorema esistenza±prova: A ≠ ∅B = {k ϵ ℝ: k ≥ a, ∀ a ϵ A} ≠ ∅ i a ≤ k, ∀ a ϵ A, ∀ k ϵ B

Teo (assioma della completezza).∃ c ϵ ℝ: a ≤ c ≤ k, ∀ a ϵ A, ∀ k ϵ B

Teorema unicità (per assurdo)s₁ = sup A ⇒ s₂ ≤ s₁s₂ = sup A ⇒ s₁ ≤ s₂ ⇒ s₁ = s₂

• WFA ⊂ ℝ ∧ ∃ m, A CH. WF.
  1. i ≥ a
  2. ∀ ϵ > 0 ∃ a ϵ A: i + ϵ > a

Se ∀u≥n ⇒ aₙ≤aᵤ

aₙ≥aᵤᓂ

⇑

lim aₙ=±∞

n→+∞

3. 1 2. (aₓ)ₙ max. decrescente ⇒ aₙ≥aₙ₊₁

1) uₙ=aᵢ

1) i≤aₙ

2) ∀ε>0 ∃n∈ℕ: i+ε>aₙ

Se ∀u≥n ⇒ aₙ≤aᵤᓂ

∀0∀iᓂ=i(h)∈ℕ.∀u≥iᓂ:

∃u≥iᓂ⇒aₙ≥aᵤᓂ

aᵤᓂ≤aᵤᓂ−H

⇓

aₙ≤−H

legge generale:

∀ μ ∈ ℕ

• a_μ < (l + ε)^{μ - j} a_j
• 0 < a_μ < (l + ε)^μ a_j
• 0 < a_μ < (l + ε)^μ (a_j)^μ
• 0 < a_j < (l + ε)^{μ a_j}/_{(l + ε)^μ}

0 nel teor. casalingherii

II) l > 1

l - ε > 1

• l - ε < ^a_m+1/_am
• a_m+1 > (l - ε) a_m
• a_m+2 > (l - ε) a_m+1 > (l - ε)² a_m
• a_m+2 > (l - ε)² a_m

legge generale:

∀ μ ∈ ℕ

• a_μ > (l - ε)^{μ - j} a_j
• a_μ > (l - ε)^μ a_j
• a_μ > (l - ε)^{μ a_j}/_{(l - ε)^μ}

Dim: ∀ε>0 ∃n̄ ∶ aₙ̄(ε) ∀n≥n̄ ⇒ l-ε < aₙₙ / aₙ < l+ε

1. l<1

l±ε <1

_{l-ε l l+ε 1}

aₙ₊₁ < l+ε

aₙ̄

aₙ₊₁ < (l+ε) aₙ̄

aₙ₊₂ < (l+ε) aₙ₊₁ < (l+ε)² aₙ̄

legge generica: ∀n≥n̄

aₙ̄ < (l+ε)ⁿ

aₙ < (l+ε)ⁿ aₙ̄ / (l+ε)ⁿ

n̄

oo

converge

conv.

2. l≥1

l-ε≥1

_{1 l-ε l l+ε}

Teoremi

1. Serie di segno qualunque

a) Criterio del valore assoluto

se _m=1^∞ |a_m| conv. ⇒ _m=1^∞ a_m conv.

dima:

a⁺ =

• a a≥0
• 0 a<0

a^- =

• 0 a≥0
• -a a<0

a⁺ + a^- =

• a a≥0 = |a|
• a a<0

a^{+ -} a^- =

• a a≥0 = a
• a a<0

_μ=1^∞ a_μ = _μ=1^∞ (a_μ⁺ - a_μ^-) = _μ=1^∞ e

0 ≤ a_μ^{≤ |a_μ|} ⇒ |a_μ| = a_μ⁺ + a_μ^-

0 ≤ a_μ^{≤ |a_μ|}

se _μ=1^∞ |a_μ| conv. ⇒ _μ=1^∞ a_μ⁺ _μ=1^∞ a_μ^- conv.

perchè a_μ⁺ e a_μ^- sono conv.

= _μ=1^∞ a_μ

Infinitesimi e/o Piccola

• lim x → 0 f g = 0 ⇔ f ( x ) = o ( g ( x ) )

• lim x → 0 f(x) - k_2(x) g = 0 ⇔ f ( x ) = k2(x) + o(g(x))

Limiti notevoli

1. lim x → 0 sin x = 1

Dim.

PH = sinx

AP = x

QA = tanx

PH <= AP < QA

sinx <= x < tanx

• 1 <= ... <= 1

• 1 > ... > 1

* x₀ PUNTO ISOLATO => x = x₀

f(x) = f(x₀)

x₀ PUNTO DI ACCUMULAZIONE => lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

DISCONTINUITÀ

1. Discontinuità eliminabile

∃ lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ l ≠ f(x₀)

2. Discontinuità a salto

∃ lim_x→x0^- f(x) = l₁ ∈ ℝ

∃ lim_x→x0⁺ f(x) = l₂ ∈ ℝ

Se l₁ ≠ f(x₀) => continuità sinistra

Se l₂ ≠ f(x) => continuità destra

Teoremi sulla continuità

f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, A connesso (intervallo) e compatto (chiuso e limiti: tutti)

1. Teorema degli zeri

f ∈ C([a,b]), f(a) · f(b) < 0

⟹