Schemi meccanica ingegneria

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

LE FORZE CONSERVATIVE

La definizione di queste forze è data in due punti:

1. Se un corpo compie un cammino chiuso sotto l’azione di una forza che,

complessivamente, compie un lavoro nullo (poiché la variazione di

spostamento è zero, dato che posizione finale e iniziale combaciano), allora

tale forza è conservativa.

Un esempio di forza conservativa è una molla collegata tra una parete ferma

ed un corpo di massa m. Tirando la molla, il corpo subirà una variazione di

posizione per l’agire della forza di richiamo della molla; questa variazione è

però zero poiché la molla, per definizione, una volta cambiato il suo stato di

quiete, tende a tornare nella posizione iniziale.

Un altro esempio è la forza gravitazionale: lanciando un corpo da terra verso

l’alto, raggiungerà un’altezza massima per poi ricadere verso terra, per azione

della forza gravitazionale.

2. Se il lavoro svolto da una forza nel muovere un corpo da una posizione inziale

ad una finale è indipendente dal cammino percorso fra i due punti, allora tale

forza è conservativa.

Un esempio è dato ancora dalla forza gravitazionale: pensiamo di lasciar

cadere un corpo: il lavoro della forza gravitazionale è indipendente dal

cammino percorso, sia che il corpo passi o meno da un punto diverso da

quello iniziale o finale.

LAVORO DI UNA FORZA CONSERVATIVA ED ENERGIA POTENZIALE

Si osservi che le due definizioni sono equivalenti: il lavoro di una forza conservativa

non dipende dal percorso ma solo dalla posizione iniziale e finale.

Questa implicazione introduce il concetto di energia potenziale (U):

è un’energia che viene definita solo se le forze agenti in un sistema sono tutte

conservative.

È l’energia immagazzinata nella configurazione meccanica di un corpo, come la

compressione di una molla, o la variazione del peso.

L’energia potenziale è definita come:

− = ∆

Nel sistema, se U diminuisce, ovvero significa che il sistema sta

− < 0

! "

compiendo lavoro.

Se U aumenta, ovvero significa che il sistema sta assorbendo lavoro.

− > 0

! "

Consideriamo il caso della molla, dalla figura d alla e:

1 !

= −

2 1 !

∆ = − =

2

e quindi, per il teorema

dell’energia cinetica e del lavoro,

vale che: 1 !

∆ = =

2

E quindi: ∆ = ∆

Si definisce energia meccanica, in

un sistema di forze conservative,

la somma dell’energia potenziale

e dell’energia cinetica.

= +

TEOREMA DI CONSERVAZIONED DELL’ENERGIA MECCANICA

Nei sistemi conservativi, la variazione dell’energia potenziale è esattamente

compensata da una variazione uguale in modulo e con segno opposto all’energia

cinetica. = +

Nei sistemi conservativi unidimensionali, l’energia meccanica rimane costante

durante il moto.

Inoltre, combinando la definizione di U con il teorema lavoro-energia, si ottiene:

1 !

= + ()

2

L’equazione di conservazione di E permette di facilitare le risoluzioni di problemi

dinamici senza l’uso delle leggi di Newton (in sistemi conservativi):

Esempio: forza elastica

consideriamo una molla alla cui estremità è agganciato un corpo di massa m.

Prendiamo x = 0 e come posizione iniziale x.

0

Allora, ∆ = ()

E quindi, usando la definizione di energia potenziale,

" 1 !

∆ = − = − 2 −() =

2

#

∆ 1 !

= − ( ) = − = ()

2

Abbiamo così ottenuto la forza partendo dall’energia potenziale.

Esempio 2: il pendolo la tensione del filo è trascurabile poiché ortogonale

allo spostamento.

Consideriamo l’energia gravitazionale U e

g

considerando l’altezza come ℎ = − ,

A) = ℎ = (1 − )

$

K = 0

B) = ℎ = 0

$ 1 #!

=

2

C) = ℎ = (1 − )

$ 1 !

=

2

OSS. Il teorema di conservazione dell’energia meccanica vale se e solo se siamo in

un sistema conservativo isolato, e se le forze vincolari non compiono lavoro.

Se così non fosse, il lavoro compiuto dall’ambiente sul sistema ne cambia l’energia:

∆ + ∆ + ∆ =

%&' ("'

Se il lavoro esterno è nullo, siamo nel caso “normale”.

SISTEMI DI PARTICELLE

IL CENTRO DI MASSA

Finora abbiamo trattato i corpi come particelle puntiformi, anche se composti da più

masse. Questo lo possiamo fare se e solo se tutti i loro punti si muovono di moto

identico.

In molte situazioni però questa schematizzazione non è valida: pensiamo ad

esempio se più parti di un oggetto oscillano le une rispetto alle altre.

In questi casi si può comunque trovare un punto il cui moto può essere considerato

come quello di una semplice particella. Questo punto si chiama il centro di massa.

La posizione del centro di massa si può

calcolare.

Consideriamo la figura a destra:

l’equazione del centro di massa la si può

trovare sommando le componenti x e y

della coordinata: +

# # $ $

=

!" +

# $

+

# # $ $

=

!" +

# $

E quindi, l’equazione per trovare la posizione del centro di massa:

+

# # $ $

=

!" +

# $

OSS. Il centro di massa di un oggetto è un punto solidale con il corpo stesso la cui

posizione dipende solo da come la massa del corpo è distribuita.

Del centro di massa si possono calcolare anche velocità ed accelerazione:

# $

+

# $

!"

= =

!" +

# $

Ovvero: + 1

# # $ $ ( )

= = +

!" # # $ $

+

# $

Vale lo stesso per l’accelerazione, che diventa:

+ 1

# # $ $

= = ( + )

!" # # $ $

+

# $

Con M massa totale.

LE FORZE NEI SISTEMI DI PARTICELLE

In generale, possono agire delle forze interne al sistema considerato.

Consideriamo due corpi m e m , connessi tramite una molla. Sulla molla agisce,

1 2

secondo il terzo principio di Newton, una forza di azione-reazione. Le indichiamo

con F e F . Vale che:

12 21 =

#$ # #

=

$# $ $

= −

#$ $#

L’equazione dell’accelerazione, sostituendo le forze, diventa:

1

= ( + ) = 0

!" #$ $#

Questo perché la velocità del centro di massa, in questo caso, è costante.

La velocità iniziale, inoltre, è nulla.

Nel sistema possono agire anche delle forze esterne, non solo quelle interne.

Per la seconda legge di Newton, considerando ancora l’esempio di prima, si ha che:

+ =

#,&'( #$ # #

+ =

$,&'( $# $ $

Sostituendo un’equazione nell’altra, si ricava che:

$

3 =

),&'( !"

)*#

Queste leggi, con le dovute modifiche, valgono anche per i sistemi di molte

particelle.

CENTRO DI MASSA DI CORPI SOLIDI

Per calcolare la posizione del centro di massa dei corpi solidi, si divide il corpo in

minuscoli elementi di massa . /

1 1

= 3 = 7

!" ) ) 0

+" → . )*#

/

1 1

= 3 = 7

!" ) ) 0

+" → . )*#

/

1 1

= 3 = 7

!" ) ) 0

+" → . )*#

Questi son detti integrali di volume.

Per semplificare i calcoli, si usano argomenti basati sulla geometria e sulla

simmetria.

QUANTITÀ DI MOTO

La quantità di moto di una particella è un vettore p definito come:

=

è quindi proporzionale alla velocità vettoriale.

Questa quantità ci permette di riscrivere la seconda legge di Newton:

()

3 = = = =

Il che si può estendere anche alle situazioni relativistiche:

per l’energia cinetica: $

= 2

La quantità di moto di un sistema è definita come:

/

= 3 =

) !"

)*#

Derivando l’espressione della quantità di moto, otteniamo la prima equazione

cardinale della dinamica:

3 =

&'(

Questa equazione descrive il moto del centro di massa di un sistema di particelle

sottoposto a forze esterne ed interne (che non hanno effetto).

OSS. Quando la risultante delle forze esterne agenti su un sistema è nulla, (siamo

quindi in un sistema isolato) il vettore P rimane una costante.

GLI URTI

IMPULSO E QUANTITÀ DI MOTO

Il concetto di quantità di moto e la sua legge di conservazione, risultano molto utili

se trattiamo fenomeni di urti tra corpi.

In questo caso, entrano in gioco le forze impulsive. Sono caratterizzate da:

1. Durata molto breve

2. Molto intense

3. Andamento temporale difficile da misurare

Un esempio di forza impulsiva è l’urto tra una pallina e una mazza da baseball.

Possiamo quindi definire l’impulso come la quantità di moto compresa tra un istante

iniziale ed un istante finale.

Consideriamo il grafico. Esso rappresenta

la quantità di forza sprigionata in un lasso

temporale. L’urto inizia all’istante t e

i

finisce all’istante t . Consideriamo la

f

definizione di forza con la quantità di

moto:

=

Possiamo quindi integrare entrambi i

membri: ! "

! !

& = &

! "

" "

Definiamo quindi l’impulso come la variazione della quantità di moto iniziale e

finale, e lo indichiamo con j: = ∆ = −

# $

in correlazione alla forza, possiamo vedere l’impulso come:

!

!

= &

!

"

&