Schemi: Appunti di Algebra lineare

Analisi e geometria 2

Retta in forma parametrica in ℝ³: elementi terni di coordinate

• Retta passante per _O con direzione _{v = (α, β, δ)}

_{P = P(t)}

_{P - O = tU}

• _{x = tα}
• _{y = tβ}
• _{z = tδ}

equazione parametrica della retta

• Retta passante per _{P0 (x0, y0, z0)} e direzione _v

_{P - P0 = tU}

• _{x = x0 + αt}
• _{y = y0 + βt}
• _{z = z0 + δt}

Equazione del piano in ℝ³

• Uso prodotto scalare tra _U e _V

_{U = (U1, U2, U3)}

_{V = (V1, V2, V3)}

_{U ⋅ V = U1V1 + U2V2 + U3V3}

• Condizione di ortogonalità: _{U ⋅ V = 0} <==> _{U ⟂ V}
• Direttrice del piano: una qualunque retta ortogonale al piano

Esempio:

traslo V sul punto P₀

P - P₀ = V^V = αV

< ──────────────> ( P - P₀ ) . U = α equ.piano

(X - X₀) + β (Y - Y₀) + δ (Z - z0) = 0

αX + βY + δz - X₀ - βY₀ - δz₀ = 0

[Combinazione lineari delle variabili X, Y, Z con coefficienti α, β, δ]

Sistemi Lineari (Problemi di ottimizzazione vincolata)

Z = f (X₁, X₂, X₃,... X_n)

es: p₁ X₁ + p₂ X₂, p_n X_n - budget =

Vincolo lineare (1^o grado)

M vincoli (da bilanco) lineari in n variabili X₁, X₂, X_n

Vincolo 1 { a11X₁ + a12X₂ + .... + A_1n Xn = B₁ A_ij E' mese riga j =colonna

vincolo 2 { a21X₁ + A₂₂ X₂ + ...A2nX_n b₂

vincolo 3 { annX₁ + Anx_n bm

Il sistema può essere IMPOSSIBILE, DETERMINATO (una soluzione) o INDETERMINATO (infinite soluzion i)

es:

{Y - X = 1

Y - X = 2

IMPOSSIBILE

(2 rette paralelele) ───────────> Metodo per colonna:

X [ 1 1 Y [-1 1 [ 1 1 [1 2

Y +X = 3

2Y +2X = 6

INDETERMINATO

(2 rette coincidenti)

y + X = 3

Y - X = 2

DETERMINATO

(2 rette incidente)

Dimensione di V

La dimensione di un sottospazio V è il n° di vettori di una base.

Algebra delle matrici

Matrice

tabella di numeri con m righe ed n colonne

A ∈ (m,n)

a_ij ← n^a colonna

a_ij ← m^a riga

Matrice quadrata

n° righe = n° colonne => m = n

Matrice trasposta

(A^T) => la matrice che ottengo da A cambiando le righe con le colonne

Se A = [a_ij] => A^T = [a_ji]

Proprietà delle matrici quadrate

Tra le matrici quadrate ci sono le matrici diagonali (se al di fuori della diagonale principale ha solo zeri) es: A = [x₀]

diagonale principale

diagonale secondarie

Proprietà della matrici diagonali

Tra le matrici diagonali ho le matrici identità (I) in cui sulla diagonale principale ha solamente 1 es: I = [1₀ ⁰]

Matrice triangolare

Si chiama una matrice triangolare una matrice che ha solo zeri sotto (triangolare superiore) la diagonale principale o sopra (triangolare inferiore) la diagonale principale

• Triangolare sup: a_ij = 0 ∀i > j
• Triangolare inf: a_ij = 0 ∀i < j

Sottomatrice estratta da A

B ∈ A rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna

esempio: A = [^{1 4 0} _{5 1}]

Somma di Matrici A + B

A + B

• A e B devono avere la stessa dimensione (m, n)
• A + B = C ; C (m, n) e C_ij = a_ij + b_ij ∀i = 1,..., m ∀j = 1,..., n

Teorema di Rouche - Capelli

Preso

A x = b A(m,n) x (n,1) = b(m,1)

Condizione necessaria e sufficiente per la risolvibilità del sistema:

A x = b e risolvibile <=> r(A) = r(A|b) _{Testi di compatibilità}

Premessa A x = b può essere scritto per colonne:

A₁ A₂ A₃ ... A_n X₁ X₁ X₂ X₃ ... X_n = b

A₁X₁ + A₂X₂ + ... + A_nX_n = b

1)

Dimostro l'implicazione che va da sx a dx: (=>) Se A x = b e' insoluibile beta una soluzione A₁ alfa A₂ beta ... + A_n delta = b

OSS beta e' combinazione lineare delle colonne di A : beta dipende linearmente delle colonne di A. E' quindi r (A|b) = (A)

2)

Dimostro la complicazione inversa: (<=)

Se r (A) = r (A|b) b e' combinazione lineare delle colonne di A

b = C₁A₁ + C₂A₂ + ... + C_nA_n => X = C₁ C₂ ... C_n e' soluzione

Quindi, il sistema e' insoluibile periche il rango di A e' uguale al rango della matrice aitata complita.

Autovettori, Autovalori e Autospazi

Sia dato un automorfismo f: V ⟶ W ℝⁿ ⟶ ℝⁿ v ⟶ W = f(v) ≠ v

Esempio

ℝ² ⟶ ℝ² v = [X Y]^T f(v) = [4 3; 2 1][X Y] ^T [1 1] = [7 3] ^T ω

Problema:

Dato f, data la matrice A che la rappresenta, sono direzioni privilegiate che non mutano solo l'azione di A? in formula:

∃ v ≠ 0 c. t. ω = λ v ⟺ (A - λ I)v = 0 → ω, autovett.

Se esistono questi v li chiamano autovettori e un sistema omogeneo e da questo voglio trovare soluzioni non banali (cioè ≠0)

quindi: [ 4 3; 2 1][ X; Y ] = λ [X; Y] ⟺[ 4 X+3 Y; 2 X + Y ] = λ [X; Y] (4 - λ) X + 3Y = 0 2X + ( 1 - λ) Y = 0

[(A - λ I)] v = 0

Osservazione 1 sui cambi di base in ℝ²

B = [ [-2] [ 1] ] B = [ [2 0] [-1 3] ]

V = [ α ] _^B => trovare V significa dire trovare α e β

V = α [-2]^[1] + β [0][3]

B^-1 [ [-2] [ 1] [-1] 0 ] _{[1] ^[3]} => B^{-1 = ?}

V₂ = [ α ][ β ] _{B¹ => B}-1 [2] [V₂]

Osservazione 2 sui cambi di base

f: ℝ^m => ℝ^m

f è endomorfismo (qualsiasi)

=> [V] V_{B^H BH¹     B^{1 H} W = F(t) => WB => f: W = AV (in tempori do matico do rapportention) ^{-> [AB AVH =? [ B] -1 [AB] AV]}}

=> V A^V V W ^{a = simiculo at A)}

=> Due matici simili rappresentano la stesse transformazione riceine in due base diverse

=> Dagonaiavione signfon dare che ^{t nonrichesiemfasimeie}

modo pie simple vise [B è unna base di anktions

Propoerta fondamentale delle maticite docuauintes

[U^{T, A U] = U' {A T}{V]}

Vole qualngunche sia ancne non simicentrumiar [U ^{publique U T: => [MT (N M { etitele utafjo }}