Schemi: Appunti di Algebra lineare

Analisi e geometria

Rette in forma parametrica in R³

Elementi come da coordinate:

Retta passante per O con direzione v = (α, β, γ)

P - O = t v

x = t α

y = t β

z = t γ

Equazione parametrica delle rette

Retta passante per P₀ (x₀, y₀, z₀) e direzione v

P - P₀ = t v

x = x₀ + αt

y = y₀ + βt

z = z₀ + γt

Equazione del piano in R³

Uso prodotto scalare tra u e v:

• u = (u₁, u₂, u₃)
• v = (v₁, v₂, v₃)
• u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Condizione di ortogonalità:

u · v = 0 ⇔ u ⊥ v

Drettice del piano: una qualunque retta ortogonale al piano

Rette in forma parametrica in R³: elementi termini di coordinate

Retta passante per O con direzione ⃗ = (, , )

P̅ - O̅ = t ⃗

Retta passante per P̅₀ (x₀, y₀, z₀) e direzione ⃗

P̅ - P̅₀ = t⃗

Equazione del piano in R³

Uso prodotto scalare tra ⃗ e ⃗:

• ⃗ = (U₁, U₂, U₃)
• ⃗ = (V₁, V₂, V₃)
• ⃗ · ⃗ = U₁V₁ + U₂V₂ + U₃V₃

Condizione di ortogonalità: ⃗ · ⃗ = 0 <=> J ⊥ V

Diettrice del piano: una qualunque retta ortogonale al piano

Traslo ṽ sul punto P₀

P̅ - P₀ v̅ <> (P̅ - P₀) v̅ = 0

eq. piano⇒ a (X - X₀) + β (Y - Y₀) + γ (Z - Z₀) = 0

⇒ aX + βY + δZ - aX₀ - βY₀ - δZ₀ = 0

→ [Combinazione lineare delle variabili X, Y, Z con coefficienti a, β, γ]

Sistemi lineari

(Problema di ottimizzazione vincolata)

Z = f (X₁, X₂, X₃, ..., X_n)

es: p₁X₁ + p₂X₂ + p₃X₃, ..., p_mX_m - budget ⇒ Vincolo lineare (I grado)

M vincoli (da bilancio) lineari in n variabili X₁, X₂, X_n:

• Vincolo 1: a₁₁X₁ + a₁₂X₂ + ... a_1nX_n = b₁
• Vincolo 2: a₂₁ X₁ + a₂₂X₂ + ... a_2nX_n = b₂
• Vincolo 3: a_m1X₁ + a_m2X₂ + ... a_mnX_n = b_m

A₋_i i = riga j = colonna

Il sistema può essere IMPOSSIBILE, DETERMINATO (una soluzione) o INDETERMINATO (infinite soluzioni)

es:

• { Y - X = 1
• Y - X = 2 IMPOSSIBILE (2 rette parallele)

Metodo per colonne:

• X ^{[-1, 1]} = [1, 2]
• { Y + X = 3 2Y + 2X = 6 INDETERMINATO (2 rette coincidenti)
• { Y + X = 3 Y - X = 2 DETERMINATO (2 rette incidenti)

Sistemi lineari (formula di Gauss)

Metodo di eliminazione di Gauss:

Ogni riga del sistema può essere sostituita con un suo multiplo. Possono essere formate righe diverse.

Esempio:

• I {x + 2y - z = 3
• II {2x + 3y + z = 0 ⇒ { x + 2y = 3 0x - y + 3z = -6 II - 2I

Porto il sistema in una forma a scala retrograda e poi, una volta trovato il valore della prima variabile, faccio il procedimento contrario (come le funzioni ricorsive).

Esempio con interpretazione geometrica

Se un sistema (o matrice) risulta con una riga impossibile (es: 0x3 = 2) allora ⇒ gli n piani (n = numero righe) in R^m (m = numero variabili) non hanno un punto di intersezione comune.

Se si ha un "pivot" (cioè un coefficiente diverso da 0) per ogni variabile, allora ⇒ i piani hanno in comune un solo punto di coordinate uguali ai pivot di ogni variabile.

Se le variabili hanno tutte un pivot tranne una (variabile libera) allora ⇒ la soluzione risulta essere una retta (un grado di libertà).

Se esistono due variabili libere allora ⇒ la soluzione risulta essere un piano (due gradi di libertà).

Da sistemi a matrici

Esempio:

• X: { x + 2y + 3z = 1
• 3x + 3y + 7z = ...