Schemi Analisi I

Definizioni

Suriettiva: f:A → B t.c. Im f(A) = B

Iniettiva: f:A → B t.c. se a₁ ≠ a₂ allora f(a₁) ≠ f(a₂)

Singolare: Una matrice quadrata è non singolare se tutti i suoi pivot sono non nulli, è singolare altrimenti

Spazio vett.: E' un insieme V con definite 2 operazioni; somma e prodotto scalare

Sottosp. vett.: E' un sottoinsieme W ⊆ V t.c. u,v ∈ W e λu ∈ W

Span: Sottosp. generato da v₁, ..., v_k t.c. Span(v₁, ..., v_k) = {λ₁v₁ + ... + λ_kv_k, λ_i ∈ R}

Linear. dip.: v₁, ..., v_k sono lin. dip. se α₁v₁ + ... + α_kv_k = 0 con α₁, ..., α_k ∈ R non tutti nulli

Base: B(v₁, ..., v_k) di V se V = Span(v₁, ..., v_k) e se v₁, ..., v_k sono lin. ind.

Dimensione: Se (v₁, ..., v_k) è una base di V allora dim(V) = n

Appl. lineare: T:V → W (T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂)) (T è additiva)

T(λv) = λT(v) (T è omogenea)

Nucleo: è il nucleo ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0} ⊆ V

Immagine: è l'immagine Im(T) = T(V) = {T(v) | v ∈ V} ⊆ W

Rango: è il rg(T) = dim(Im T)

Sottosp. affine: Un sottosp. affine L di uno sp. vett. V è un sottoinsieme di V della forma L = v + W dove W ⊆ V. V è giacitura di L (L ⋏ W)

Isomorfismo: V e W si dicono isomorf. f:v ↔ w se esiste un isomorfismo, cioè un'applicazione lineare invertibile, tra loro (T:T ↔ W ↔ V)

M. inversa: B è l'inversa di A se AG = BA = I_n. Non è detto che A sia invertibile

M. cambiob.: Prese 2 basi B^o e Bⁿ. m cambia. di base B ↔ x_B'x^B permette cambio di base di passeg.: a_B^o e Bⁿ

M. simili: Prese A e A' nxn si dicono simili se ∃ B t. A' = B^-1AB e A = B^-1A'B

Determinante:

• a) | d₁, ..., a_n | = det (A₁1...)
• b) det (A₁...,A_i) = λ det(A₁,...,i...)
• c) d(A', A ^T...i) = d(n, ...i, 1)
• d) d(I_n) = 1

M. simmetrica: Sia A ∈ M_n(R). E' detta simmetrica se A^T = A, antisimmetrica se A^T = -A

M. ortogonale: Sia A ∈ M_n(R). E' detta ortogonale se A^T = A^-1

Definizioni

Suriettiva: f:A →β t.c. Im f(A)=β

Iniettiva: f:A →β t.c. se a₁≠a₂ allora f(a₁)≠f(a₂)

Singolare: Una matrice quadrata è non singolare se tutti i suoi pivot sono non nulli, è singolare altrimenti

Spazio vett.: È un insieme V con definite 2 operazioni; somma e prodotto scalare

Sottosp. vett: È un sottoinsieme W⊆V t.c. ∀v,w∈W e λv∈W

Span: Sottosp. generato da v₁,...,v_k t.c. Span(v₁,...,v_k)={λ₁v₁+...+λ_kv_k|λ₁,...,λ_k∈ℝ}

Linear. dip.: v₁,...,v_k sono lin. dip. se a₁v₁+...+a_kv_k=0 con a₁,...,a_k ∈ℝ non tutti nulli

Base: B(v₁,...,v_k) di V se V=Span(v₁,...,v_k) e se v₁,...,v_k sono lin. ind.

Dimensione: Se (v₁,...,v_n) è una base di V allora dim(V)=n

Appl. lineare: T:V→W t.c. T(v₁+v₂)=T(v₁)+T(v₂) T(λv)=λT(v)

Nucleo: è il nucleo Ker(T)={v∈V|T(v)=0}⊆V

Immagine: è l'immagine Im(T)=T(V)={T(v)|v∈V}⊆W

Rango: è il rg(T)=dim(ImT)

Sottosp. affine: Un sottosp. affine L di uno sp. vett. V è un sottoinsieme di V della forma L=v+W dove W⊆V. W è giacitura di L

Isomorfismo: V e W si dicono isomorf. (v≅w) se esiste un isomorfismo, cioè un'applicazione lineare invertibile, tra loro (T:V →W; T:W→V)

M. inversa: B è l'inversa di A se AG=BA=I_n. Non è detto che A sia invertibile

M. cambiomen.: Prese 2 basi B e B'_p m. cambiab. di base B = x^B'→B. B' permette di passare da x^B_p a x^B.

M. simili: Prese A e A'^n×n si dicono simili se ∃ B t.a. B^-1AB e A=B^-1AB

Determinante:

1. a) d(a₁₁,...,a_nn)=(−1)ⁿ
2. b) d(...,A₁;...)≥d(...,a_1i;...)
3. c) d(...;A_i;...)=d(a_ii)
4. d) d(I_n)=1

M. simmetrica: Sia A∈M_n,n(ℝ). È detta simmetrica se A^T=A, antisimmetrica se A^T =−A

M. ortogonale: Sia A∈M_n,n(ℝ). È detta ortogonale se A^TA=I_n