Robotica - inversione cinematica e pianificazione della traiettoria di un manipolatore sferico

Indice

1. Introduzione 1
2. Cinematica Diretta 3
   • 2.1 Denavit-Hartenberg 3
   • 2.2 Rappresentazione minima 5
3. Inversione Cinematica 6
   • 3.1 Cinematica Differenziale 6
4. Pianificazione della Traiettoria 8

Indice

1. Introduzione
2. Cinematica Diretta
• Denavit-Hartenberg
• Rappresentazione minima
3. Inversione Cinematica
• Cinematica Differenziale
4. Pianificazione della Traiettoria

Capitolo 1

Introduzione

Figura 1.1. Il manipolatore sferico in esame

Il compito che ci è stato richiesto di svolgere è quello di implementare un algoritmo di inversione cinematica lungo il segmento congiungente i punti p_i (iniziale) e p_f (finale) di coordinate:

p_i = [ √(2/2) 1 √(2/4)]^T m

p_f = [ √(2/2) √(2/2) 0.1]^T m

assumendo una posa iniziale q(0) = [0 π/4 0.5]^T e un tempo di esecuzione della traiettoria t_f = 4 s, per un manipolatore sferico a tre gradi di mobilità come in figura 1.1.

In particolare l'algoritmo deve essere realizzato in Matlab, utilizzando la regola di integrazione di Eulero, considerando un intervallo di integrazione Δt = 2 ms.

Il manipolatore sferico, è costituito da 4 bracci (di cui uno che lo fissa a terra) connessi tramite 3 giunti: i primi due sono giunti di rotazione mentre l’ultimo è un giunto di traslazione. All’estremità di

1 – Introduzione

quest’ultimo giunto è fissato un organo terminale che viene anche detto end effector. Ad ogni giunto corrisponde un grado di mobilità della struttura meccanica a cui si associa una variabile di giunto.

Inoltre il nostro manipolatore è non ridondante da un punto di vista cinematico in quanto possiede un numero di gradi di libertà pari al numero di variabili necessarie alla caratterizzazione del suo compito.

Capitolo 2

Cinematica Diretta

Il primo passo per l’analisi del manipolatore è quello di determinare la sua cinematica diretta.L’obiettivo della cinematica diretta è quello di determinare la posizione e l’orientamento dell’organo terminale del manipolatore, in funzione dei valori assunti dalle variabili di giunto.

Definita una terna di riferimento (detta anche terna base) Σ₀(x₀, y₀, z₀), la funzione cinematica diretta è espressa dalla matrice di trasformazione omogenea:

T⁰(q) = | n⁰(q) s⁰(q) a⁰(q) p⁰(q) || 0 0 0 1 |

dove q è il vettore (n × 1) delle variabili di giunto, n, s, a sono i versori di una terna solidale all’organo terminale del manipolatore Σ_v, e p è il vettore posizione di Σ_v rispetto alla terna base Σ₀.

Per il calcolo della cinematica diretta dobbiamo definire i sistemi di riferimento solidali a ciascun braccio, in questo caso è stata adottata una soluzione basata su una procedura sistematica e generale nota come convenzione di Denavit-Hartenberg.

2.1 Denavit-Hartenberg

Figura 2.1. I sistemi di riferimento

2 – Cinematica Diretta

La figura 2.1 mostra le terne ricavate tramite la procedura di Denavit-Hartenberg. La terna base Σ₀ = (x₀, y₀, z₀) ha l'origine coincidente all'origine della terna Σ₁ = (x₁, y₁, z₁) e non alla base del manipolatore perché in questo modo la distanza tra le due terne viene annullata, facilitando i calcoli successivi, inoltre la terna utensile Σ₃ = Σ_E = (x₃, y₃, z₃) viene situata all'estremità del braccio solidale al giunto prismatico di lunghezza variabile d₃.

Una volta definite le terne solidali a ciascun braccio, la posizione e l'orientamento della terna i – esima rispetto alla precedente (i – 1) risultano completamente specificati dai seguenti parametri di Denavit-Hartenberg:

• a_i rappresenta la distanza più breve misurata lungo la normale comune tra gli assi dei giunti (cioè gli assi z_i–1 e z_i rispettivamente per i giunti i e i + 1);
• α_i è l’angolo tra l’asse z_i–1 e l’asse z_i intorno all’asse x_i valutato positivo in senso antiorario (la rotazione attorno a x_i per allineare z_i–1 con z_i);
• d_i indica la distanza lungo la normale comune tra la terna Σ_i–1 e la terna Σ_i;
• ϑ_i è l’angolo tra l’asse x_i–1 e l’asse x_i intorno all’asse z_i valutato positivo in senso antiorario (la rotazione attorno a z_i per allineare x_i–1 con x_i);

che per il manipolatore in esame sono riassunte nella tabella