Appunti di Robotica

UNIVERSITÀ DEL SALENTO

Department of Innovation Engineering

Master’s degree in Computer Engineering

Robotica

Robotica

Dott. Marco Chiarelli

Academic Year 2016/2017 1

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Dei contenuti rielaborati in questa opera, salvo esplicitamente scritto il contrario, il prof.

Giovanni Indiveri non se ne assume alcuna responsabilità.

2

Sommario

Le seguenti dispense vogliono essere un resoconto didattico del corso di Robotica,

il quale docente è il prof. Giovanni Indiveri, presso il CdL in Ingegneria Infor-

matica at Unisalento. Il programma copre quattro macro-argomenti: le Rotazioni,

la Dinamica di Corpo Rigido, le tecniche ed algoritmi di pseudoinversione relative

all’Identificazione Parametrica ed infine la Teoria del Controllo di Sistemi Robotici.

Il seguente lavoro non ha la pretesa di sistematizzare in maniera esatta ciò che è

stato fatto a lezione, sebbene l’impostazione di base cerca di seguire fedelmente ogni

singola lezione che è stata erogata. Piuttosto cerca di raccogliere in maniera sintet-

ica ma al contempo esaustiva gli aspetti chiave della Teoria del Controllo applicata

ai Sistemi Robotici di vario tipo, e cerca di fare ordine tra una quantità non indiffer-

ente di nozioni, e soprattutto di dare un sussidio alla preparazione di un eventuale

esame didattico che richieda la conoscenza di queste nozioni e relativa applicazione

per quanto concerne il lato pratico. 3

Abstract

The following work wants to be a report about the Robotics course, whose teacher

is the prof. Giovanni Indiveri, at. Computer Engineering @ Unisalento. The pro-

gram covers four macro-topics: Rotations, Rigid Body Dynamics, pseudoinversion

Algorithms related to Parametric Identification and a final chapter about Control

Theory involved in Robotics Systems. It won’t systematize the entire work done at

lessons in an exact manner, despite the base setting tries to follow each lessons that

has been delivered to us. It tries to gather the key aspects of the Robotics, and to

reorder some difficult notions. Moreover it tries to give an help for the preparation

of an eventual didactic exam that requires the knowledge about these notions and

the related practical applications/homework/exercises.

4

Indice

Introduzione ii

0.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

1 Robotics 1

1.1 NGC - Navigation, Guidance, Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Robotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 PWM: Pulse Width Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 VETTORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Rotazioni 8

2.1 Matrici di ROTAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Matrici simmetriche / antisimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Skew-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Matrici ESPONENZIALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4 Angoli di Eulero, YPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.5 QUATERNIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.6 CINEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.7 VETTORE VELOCITÀ ANGOLARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.8 RECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.9 Legame tra Velocità Angolare e Parametri delle Rappresentazioni . . . . . 24

2.1.10 Legame generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Cinematica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Manipolatori - Nomenclatura e convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 RECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Denavit - Hartenberg (DH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4 Digressione sull’Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Dinamica di Corpo Rigido 41

3.1 Dinamica di Corpo Rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Energia Cinetica e Momento d’Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Review sull’Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.3 Bilancio di Forze e Coppie Generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Veicoli e Fenomeni Marini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 SCENARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2 Froude Number e Reynolds Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.3 Masse Aggiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.4 Altri fenomeni di Forze Esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5

3.2.5 RECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.6 DISTURBANCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.7 Derivate Idrodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Identificazione parametrica 58

4.1 Identificazione parametrica e pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Identificazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.2 Schema di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.3 Pseudoinverse (RANK - MAX - ALGORITHMS) . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.4 Pseudoinverse (NON-RANK-MAX ALGORITHMS) . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Identificazione parametrica utilizzando metodi probabilistici . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Approccio non Bayesiano - Maximum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Approccio Bayesiano - Maximum A Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.3 Minimi quadrati Ricorsivi - (R)WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.4 Filtro di Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Pseudoinverse in generale / SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.1 SVD con Matrice dei Pesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.2 Legame tra SVD e (D)WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Teoria del Controllo 88

5.1 Controllo di manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.1 Controllo cinematico di manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.2 TASK ROBOTICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.3 Modello cinematico dei manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.4 Caso di assetto / posizione desiderata costante . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1.5 Considerazioni pratiche sulla soluzione generale . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.6 Modello dinamico dei manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.7 Ellissoidi di manipolabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.1.8 RECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.9 LAGRANGIAN EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.10 Spazio dei Giunti e Spazio Operativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.11 Digressioni sul motore in corrente continua ed ENCODER . . . . . . . . . 110

5.2 Controllo di Interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.1 ROS - Robot Operating System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.2 CONTROLLO DI CEDEVOLEZZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.3 CONTROLLO DI IMPEDENZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 Dinamica di corpo rigido applicata ad un sistema marino . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1 Allocatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Appendici 117

5.4 Varie dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.4.1 Dimostrazioni e Proprietà delle Rotazioni e dell’Antisimmetria . . . . . . 117

5.4.2 Dimostrazioni e Derivazioni sulla Teoria del Controllo . . . . . . . . . . . 118

5.5 Identificazione Parametrica: Pseudoinverse ed SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5.1 Considerazioni sulle pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.5.2 Considerazioni sull’Identificabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5.3 Calcoli di Media e Varianza della Stima MAP (DA VERIFICARE) . . . . 125

5.5.4 Prodotto Matrice Vettore e Matrice Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6

Ringraziamenti

Un grazie particolare va ai miei compagni

d’università, Dino Sbarro, Gabriele Accarino, Giampiero D’Autilia, Matteo Settembrini, Paolo

Panarese ed Emanuele Costa Cesari.

Introduzione

0.1 Overview

Il corso di Robotica è prettamente algoritmico. Riguarderà la Modellistica, la Cinematica,

Algoritmi di Stima (problemi di navigazione), controllo di Robot più o meno complicati. Algo-

ritmi realmente utili su un sistema reale. Testing su un ambiente di prototipazione. Simulazione

di scenari abbastanza complicati. Attività sperimentale su piattaforme serie reali.

Sistemi in HW per un sistema di controllo su un Segway (pendolo inverso), autostabilizzante.

Stima della POSA. Più concentrato sul filtraggio. Problema della Stima, della LOCALIZZA-

ZIONE. Robot che si muovono in ambienti sconosciuti. Problema fondamentale. Altre tecniche

{GPS,

utilizzate sono il filtro di Kalman, Louenberger: Accelerometri, Giroscopi}. Funzionano

meglio di Google Track ! Sugli Android si utilizza soltanto il GPS per favorire l’interoperabilità

e la portabilità. Sviluppo SW: progettazione analitica dei filtri. Sviluppo codice eventualmente

su queste piattaforme.

ISME - Integrated System for Marine Environment. Istituzione di cui UNISALENTO fa

parte. Centro interuniversitario. Network di diversi atenei che si occupa di Robotica Marina. Di

fatto sono tutti ricercatori o docenti di Automatica. Vengono da Pisa, Firenze, Genova, Sapienza

di Roma (da qualche mese). Tranne a Firenze, gli altri sono fondamentalmente tutti automatici.

Molte attività di ricerca sono svolte in questo ambito. Risultati ottenuti in laboratorio sono

quasi tutti fatti nell’ambito di ricerche ISME.

ROBOTICA: Come materia è una disciplina fortemente multidisciplinare. Il termine Ro-

botica è un contenitore molto ampio. Robot e veicoli subacquei. ROV: Remotely Operated

Vehicle. Robotica marina, applicazioni robotiche legate in qualche maniera al subacqueo. Il

corso non è al 100% incentrato sulla robotica marina, ma quasi. Robot che volano. Aeroplani,

quadricotteri, droni etc. I veicoli subacquei sono un po’ meno comuni. Elicottero: veicolo che

si utilizza per muoversi in regimi limitati a velocità basse. HOVERING: stare fermi. Aeroplani:

velocità alte su grandi distanze. Nell’ambito marino abbiamo le stesse classificazioni: I ROV

prediligono velocità basse, massima precisione ottenibile, mentre altri robot subacquei invece

prediligono grandi distanze e grandi velocità. Nei ROV troviamo il cosiddetto Tetere, cavo

che collega il ROV agli operatori. I veicoli evoluti hanno dei sistemi di comando abbastanza

complessi. Orientazione automatica, etc. Abbiamo i vari sottosistemi: Elettronico, Motore,

etc. fissati sul telaio, una struttura di metallo. Veicoli Open-Frame (a telaio aperto, lette-

ralmente). Caratteristica principale: motori aggiuntivi: si tratta di sistemi SOVRATTUATI,

ove abbiamo più motori di quelli strettamente necessari. Nello spazio libero abbiamo sei gradi

{(x,

di libertà: y, z), (θ , θ , θ )}. Bisogna produrre forze e coppie lungo i sei assi. Abbiamo

x y z

invece addirittura otto motori sovrattuati: più motori, attuatori rispetto a quelli che servono

indispensabilmente. Il BRACCIO ha sei gradi di libertà. Noi abbiamo sette motori, essendo

quindi dei sistemi sovrattuati.

Problema corrispondente nell’Algebra Lineare: sistemi con infinite soluzioni. Scegliamo

tra quelle infinite quelle che soddisfano qualche particolare criterio di ottimizzazione. INFI-

ii

NITE POSE sul braccio corrispondenti a quelle determinate dalla posa della mano. Quella

che corrisponde alla fatica minore da compiere, tipicamente è un esempio di un tale vincolo

sceglibile.

Tornando al ROV, sotto il mantello del motore troviamo l’ELICA. Quattro di questi motori

◦

sono nei quattro spigoli verticali. Gli altri quattro sono disposti a 45 orizzontalmente tra di

loro. Questi ultimi comandano la spinta in avanti: SURGE, che sarebbe la velocità in direzione

dell’asse principale di moto, Due che spingono nella stessa direzione. SWAY, grado di libertà

⇐⇒

perpendicolare. Se i motori spingono in maniera differenziale, si verificano le rotazioni IM-

BARDATA. Quelli verticali, se spingono in maniera uniforme si muoveranno uniformememente

lungo z. Altrimenti BECCHEGGIO: pitch, oppure ROLL: rollio. L’Acqua produce pressione.

La pressione indotta dal fluido è proporzionale alla quota. Qualunque oggetto che vogliamo

proteggere dall’acqua va mandato in tenuta STAGNA.

Come modelli dei motori, vedremo una versione semplificata del modello matematico del

→

motore elettrico. Il punto più delicato in un motore marino è la transizione interna esterna.

Guaina di transizione. Molto complessi e molto costosi in tutte le soluzioni tecnologiche. Pro-

teggere dei contenitori. In aria questo problema non è presente. La Spinta di Archimede è data

dalla famosa formula: S = ρV g

A

E’ una spinta dal basso verso l’alto da parte del fluido. Viene sfruttata per rendere possibile

il galleggiamento. Rimanere in equilibrio: bisogna eguagliare la FORZA PESO con la SPINTA

DI ARCHIMEDE: condizione neutrale. Abbiamo due tipi di oggetti:

• Oggetti positivi: tendono a rimanere a galla;

• Oggetti negativi: tendono ad affondare.

Parte gialla: galleggiante. Salvagente del robot. Esso deve pesare il meno possibile, cosı̀ che

abbiamo una spinta più grande possibile. Volume maggiore. Galleggiante in maniera tale che il

peso del volume d’acqua che sposta sia pari al peso del veicolo. La SALINITÀ dell’acqua NON

è sempre uniforme! Bisogna compensare masse e volumi. Incertezza che tipicamente si corregge

sul posto. Veicoli complicati tecnologicamente. In superficie la pressione non è un problema.

Ma già a 10 m abbiamo 10 atm! Gestione della pressione. La parte più costosa è proprio il

galleggiante! Il POLISTIROLO probabilmente si ridurrebbe ad una monetina. Letteralmente

imploderebbe. I costi sono quindi abbastanza elevati per costruire questi oggetti. Robot mobili.

Problema dei Robot mobili. Nella robotica mobile sono coinvolti veicoli che si muovono su ruote

o su zampe, tipicamente a terra. Possiamo anche avere veicoli a leg (gambe), ed in tal caso

avremmo la problematica della LOCOMOZIONE. Vanno molto forti oggi. Tecnologica delle

cosiddette RUOTE SVEDESI, le quali scivolano di lato. Le ruote della nostra macchina sono

invece fatte per ruotare perpendicolarmente all’asse principale. RUOTE SVEDESI: Piccole

◦

rotelline che ruotano di lato. Se ne mettiamo tre a 120 , l’oggetto risultante può traslare in ogni

direzione. La mobilità delle ruote svedesi è molto maggiore. Abbiamo dei veicoli che ruotano

sulla z allo stesso tempo. Problemi di vario tipo. Perimetro della ruota non proprio rotondo.

Problema delle VIBRAZIONI. Oltre una certa velocità sono abbastanza fastidiose.

iii

iv

Capitolo 1

Robotics

Un ambito molto recente di Robotica è quello della Robotica Cooperativa, ove l’interesse

non è il controllo di un veicolo, ma di controllarne tanti! Anche in ambito di controllo del moto

robotico vi sono dei problemi in questo senso. Studiamo i vari sottosistemi di cui si compone

un sistema robotico:

1.1 NGC - Navigation, Guidance, Control

• NAVIGAZIONE: tutti i metodi e tecniche per produrre una Stima dello Stato;

• sistemi quanto più vicini possibili agli attuatori. Algoritmi di basso livello

CONTROLLO:

che gestiscono il motore. Sostanzialmente sono dei PID che regolano la pressione con la

quale entra il fluido di carburante nel motore. Gli anelli di controllo in HW girano a

frequenze abbastanza alte;

• GUIDA: sottosistema di più alto livello. Può essere paragonato all’autista di una mac-

china. Fornisce comandi di alto livello agli altri sottosistemi.

Tutti questi livelli possono ricevere comandi od informazioni dall’esterno, da un livello supe-

riore. Ad esempio, la spia del carburante, oppure le gomme forate. Queste variabili potrebbero

influire sugli altri sistemi. La GUIDA in ambito robotico può essere automatizzata, median-

te l’utilizzo dell’Autopilota. Gran parte di quel che faremo nel corso sarà incentrato sulla

GUIDANCE. Il livello di MISSIONE è quello che genera i TASK. COMPITO ROBOTICO:

macroattività. Se il robot è un veicolo, i task di moto più comuni sono:

• Inseguimento di cammino;

• Inseguimento di traiettoria;

• Inseguimento della POSA; t→+∞

⇐⇒ −−−−→

Problemi di controllo: mandare l’errore a 0 e 0. Nei problemi di inseguimento

di cammino, l’errore è proprio una quantità geometrica. L’inseguimento di traiettoria è simile,

ma non uguale! È parametrizzato dal tempo. Nei problemi di Path Following NON vi è

necessariamente il concetto temporale! [PATH FOLLOWING]. La TRAIETTORIA inve