Appunti di Robotica

T T R

i j

i,j

sempre definite come matrici di trasformazione; relazione sempre invertibile. Possiamo

1

esprimere P come una matrice omogenea per un vettore?

1,2 >

1 0

0 1

−

r r

R r

1,2 0,2

0,1

>

0 0 1 1 1 0

1

−

R r r = r =⇒ P = = = P

0,2 0,1 1,2 1,2 0,2

1 1 1

0 1

1×3

La matrice appena individuata è semplicemente l’inversa della precedente. Quando una

>

0 1 ←

matrice ha l’INVERSA, essa è UNICA! [ R = R ] definizione di SΘ(3). Le matrici

0

1

di trasformazione omogenee viste, presentano tutte delle uniche inverse. L’insieme delle ma-

trici omogenee è quindi chiuso rispetto al prodotto. Si possono utilizzare per compiere varie

trasformazioni. 0

r

0,p

0 0 1 2 p−2 p−1

P = = [ T T T . . . T P ]

0,p 1 2 3 p−1 p−1,p

1

Nel nostro caso: 0

r

0,p

0 0 1 2

[ P = = T T P ]

0,p 1 2 2,p

1

Cambiamento notazione apici.

Nulla di concettuale nella trattazione. Utili dal punto di vista computazionale. Sostan-

zialmente, in una catena cinematica di un manipolatore robotico, gli elementi individuati li

34

sappiamo scrivere a mano! Duali: tipicamente le matrici di rotazione attorno gli assi le sappia-

mo scrivere molto semplicemente. Il vettore posizione tra una terna e l’altra è un parametro

spesso noto dalla geometria del sistema. Scriviamo le matrici elementari T . 25 terne. Succede

ovviamente di trattare con questi numeri. La matrice di trasformazione (tipicamente) in tel

caso avrà 25 parametri dentro! Scriviamo le venticinque matrici elementari, e dopodiché ci

0 0

serve R nel caso del venticinquesimo giunto. T sarà quella finale che avrà in alto a sinistra

25 25

la vera e propria matrice di rotazione. Conti elementari. Integrazione della SDE Ṙ = S(ω)R.

Integrare assetto per l’assetto finale. Funzioni MATLAB per graficare l’assetto di una matrice

di rotazione. Robotics Toolbox, disponibile gratuitamente. Non banalissima come interfaccia

ma sicuramente molto esplicita. Tutte le funzioni di base per modellistica / controllo di robot

sono già implementate.

Questo formalismo è utile per risolvere il problema geometrico diretto. Dove sta l’end-

effector rispetto alla terna base? Ciascuna delle T dipende da un solo parametro di giunto. In

termini di MAPPING abbiamo: 0 1 2 0

{< 7→

0 >, < 1 >, < 2 >, < 3 >} [ T T T = T ]

1 2 3 3

L’assetto dell’end-effector rispetto alla terna base è l’elemento in alto a sinistra. Assetto

dell’end-effector, praticamente. Problema geometrico diretto risolto completamente da questo

metodo. Giunti sferici, con tre gradi di libertà. Problema geometrico INVERSO: quali valori

ai giunti dobbiamo assegnare affinché l’assetto finale dell’end-effector sia quello che voglio io,

predeterminato? Rimane ovviamente il problema della NON-univocità della soluzione. Nei

Robot ridondanti il problema è mal posto: o abbiamo infinite soluzioni oppure non ne abbiamo

proprio.

2.2.2 RECAP

2 2

{ }.

r , P Possibili sensori/attuatori per metodi robotici. Sintesi del Controllo. Prof.

2,x 2,x {YPR,

Alessandro De Luca Trasformazioni omogenee}. ZX’Z” Euler Angles. Individuiamo una

terna finale rispetto a quella iniziale compiendo tre rotazioni successive, ogni volta prenden-

do l’asse locale. Utilità del metodo: le matrici elementari di rotazione le sappiamo scrivere.

L’ordine conta! È importante:  

− −c −

c c s c s s s c c s s

φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ

−s − −c

s c + c c s s c c c s

R (φ, θ, ψ) = R (φ)R (θ)R (ψ) =

0 00 0 00

Z φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ

ZX Z X Z 

 s s s c c

θ ψ θ ψ θ

Il problema inverso è: GIVEN R, (φ, θ, ψ) =?

 q 2 2

{± }

θ = atan2 r + r , r

 33

13 23





 r r

 31 32

 { }

ψ = atan2 ,

s s

θ θ

 r

r

 13 23

 { }

φ = atan2 ,





 s s

θ θ

Si noti che l’ambiguità si ha nel segno della prima equazione del sistema, che si ripercuote

inevitabilmente sulle altre due.

Spesso abbiamo una terna assoluta, sulla base del manipolatore tipicamente. Spesso essa

si mette in terna base. CINEMATICA DIRETTA/INVERSA. Discorso delle formule dedotte

per ricavare il vettore velocità angolare di una terna < n > rispetto alla terna < 0 >. Com-

posizione di velocità angolari tra frame successivi. Formula alla base del cosiddetto Modello

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cinematico diretto per catene di manipolatori. Fondamentale distinguere tra catene cinemati-

che aperte e chiuse. Quelle viste sinora sono tutte aperte. Chiuse se tra due punti vi sono più

modi per raggiungerli. Ad esempio due manipolatori a base fissa che si ”stringono le mani”.

Nel momento in cui si stringono le mani abbiamo praticamente un link comune. Due vincoli

anziché uno solo. Moti interni non arbitrari. I giunti li possiamo muovere purché rispettino

la condizione al CONTORNO. Non è quindi più vero che l’EE può avere orientazione arbitra-

ria. A volte possiamo avere catene cinematiche che si chiudono prima dell’EE. Variabili non

completamente indipendenti.

Negli esempi visti sinora, ogni giunto può assumere dei valori delle variabili indipendenti

da quelli dei giunti precedenti. Invece abbiamo dei Robot completamente chiusi. ROBOT

→

PARALLELI (Piattaforme di Strumenti) si può modificare sia la posizione sulla superficie

che l’assetto. Si utilizzano tantissimo nei simulatori / videogiochi. Addirittura nelle Simulazioni

Aeree ruotiamo proprio l’intera cabina! Catene cinematiche particolarmente complicate da

studiare.

Aspetto importante: si distinguono nella modellistica dei manipolatori: lo spazio operativo

è lo spazio fisico all’interno del quale il robot si muove. Poi abbiamo lo spazio dei giunti, entro

{Angolo,

il quale formuliamo i comandi di velocità angolare}. Ma l’obiettivo è che l’EE alla

fine faccia qualcosa. Il task / compito robotico viene formulato nello spazio operativo, ma il

{Geometrico,

comando viene dato nello spazio ai giunti! Comando: Cinematico, Dinamico}.

JACOBIANO = Matrice che mappa le velocità ai giunti con la velocità nello spazio operativo.

{forze,

Dinamica: coppie, accelerazioni}. Mapping di queste grandezze tra i due spazi. JOINT

Space. Può avere più o meno variabili a seconda di come è fatto il robot. Lo spazio di task è

quello operativo. Al più 6 qui, in generale. I gradi di libertà fisici nello spazio dell’EE sono sei,

sebbene non tutti i task li richiedano tutti e sei. Non sono sempre sei! Dipendono ovviamente

dal particolare task considerato. Es. Robot che falsifica le firme: nello spazio xy, 2D (due gradi

di libertà). Al più sei comunque. Nello spazio dei giunti invece dipende dal particolare robot.

Concetto di Ridondanza del Robot rispetto al task: più gradi di libertà ai giunti rispetto a

quelli ai task. È una cosa molto buona: implica che, sia per il problema geometrico che per

{Fault

quello cinematico ci sarà utile: Tolerance, Ottimizzazione rispetto ad un criterio}. I

robot puramente attuati, ma non ridondanti, sono quelli per ccui (n = m), ove:

(

n := dof (JOIN T )

m := dof (T ASK)

ove dof (·) sta per degree-of-freedom. Poi abbiamo i robot sotto-attuati (n < m). Sono

divertenti, ma complicati. La bicicletta / automobile sono dei sistemi sottoattuati. Per un’au-

tomobile che si muove su ruote tradizionali, un task tipico è il parcheggio, ove abbiamo tre gradi

di libertà ai TASK e due ai JOINT.

In ambito industriale tipicamente abbiamo ATTUAZIONE piena o SOVRATTUAZIONE

addirittura. Le variabili ai giunti robotici, tipicamente le chiamiamo con q. < 0 > in terna

base, tipicamente. Robot tipici:

• PRISMATICI;

• ROTAZIONALI.

Tipiche possibilità per le geometrie dei Robot come Prismatici: telescopici, tipo l’antenna.

Rotazionale: vi è una rotazione, Un manipolatore antropomorfo dovrebbe avere sette tutte di

tipo R. (RRRRRRR). I nostri sono in particolare sferici, ovvero giunti composti da tre giunti

rotazionali elementari, i cui assi di rotazione NON sono paralleli tra di loro e si incontrano in

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un punto comune. Ecco perché un braccio antropomorfo ne possiede tre rotazionali (RRR).

{SCARA as Selective Compliance Assembly Robot Arm: RRP}.

Compliance: in Italiano viene tradotto con il termine cedevolezza, nel contesto meccanico.

Rappresenta quanto una struttura meccanica è cedevole rispetto a forze esterne. Di quanto si

sposta qualitativamente rispetto alle forze esterne. L’Inglese è molto più vicino al significato

corrente. Discorso puramente intuitivo. Se i link SCARA sono molto lunghi, la coppia alla base

del robot è molto grande, a seguito di un’eventuale applicazione di forze relativamente basse

alla punta del Robot. In tutte le applicazioni di Assembly, un modo per avere cedevolezza è non

mettere poli nell’origine in un eventuale regolatore alla base del Robot. E bisognerebbe inoltre

scegliere una costante di Bode K relativamente piccola.

B

Denavit - Hartenberg (DH). Modello geometrico diretto, tirato fuori in maniera abbastanza

elementare. Metodi convenzionali. L’RT di MATLAB utilizza questa convenzione per definire

una catena cinematica.

Avevamo ricavato questa equazione:

n

X

0 0 k−1 k−1 k−1

×

v = R ( ω r + ṙ )

k−1 k,n k−1,k

n/0 k/k−1

k=1

ove il termine sottolineato rappresenta la velocità angolare del frame < k > rispetto a

− −

< k 1 > proiettato in < k 1 >. Ricordiamo che < 0 > è la terna base del manipolatore,

terna inerziale. L’indice k = 1, n mi identifica le terne che costituiscono la catena cinematica.

In realtà sono (n + 1), ivi includendo anche la terna base.

> k k

k

k −S(

= S( ω ) = ω )

Ṙ R

k−1 k−1/k k/k−1

k−1

0 0 k

ω non è altro che [ R ω ]. La formula precedente era stata dedotta da alcuni

k

k/k−1 k/k−1

precedenti passaggi. Conti spiegati nelle dispense.

n F IN AL

X 0 0 0 k−1

0 ×

= ( ω r + R ṙ ) = (. . . )

v k−1,k k−1 k−1,k

k−1/0

n/0 k=1 n

X 0 k−1 k−1 k−1

×

(. . . ) = R ( ω r + ṙ ))

k−1 k,n k−1,k

k/k−1

k=1

ove il prim