Risposte per esame di Fluidodinamica

Spiegare il funzionamento di un tubo di Pitot

Il tubo di Pitot è uno strumento impiegato per misurare la velocità dell'aria. In un tubo di Pitot sono presenti due prese di pressione: quella di pressione totale e quella di pressione statica. Utilizzando l'equazione di Bernoulli e misurando i valori delle due pressioni, si ricava la velocità del fluido: V = √[2(p - p)/ρ] Per misurare (p - p) si può usare un tubo ad U oppure un trasduttore di pressione differenziale, mentre la densità viene calcolata a partire da una misura di temperatura.

Descrivere l'esperimento di Reynolds

Si inietta inchiostro da un ugello posto su un condotto circolare a sezione costante. Se Re < 2000, l'inchiostro produce una linea di fumo lineare (regime lineare). Se Re > 2000, la linea di fumo è corrugata (regime di transizione). Se Re > 2000, la linea di fumo è distinguibile solo per un breve tratto, dopo il quale l'inchiostro risulta.

uniformemente miscelato al fluido (regime turbolento). Possiamo dire che la turbolenza ha come effetto sull'inchiostro quello di promuovere il mescolamento con il fluido in cui è immerso.

COUETTE - POISEUILLE

Prendiamo in considerazione un flusso tra 2 pareti parallele, di cui quella superiore mobile è libera di traslare in direzione x con velocità U. Sotto queste condizioni, il campo fluidodinamico gode della caratteristica di essere completamente sviluppato: du/dx + dv/dy = 0.

Tale condizione, se sostituita all'equazione di continuità, restituisce:

poiché a parete valgono 2 condizioni sulle componenti della velocità del flusso:

u(x,0) = u(x,2b) = 0 NON SCORRIMENTO;

v(x,0) = v(x,2b) = 0 IMPERMEABILITÀ,

∀y v(x,y) se v=cost e a parete v=0, possiamo dire che ∂v/∂y = 0.

È possibile scrivere le NS:

∂u/∂t = - (1/ρ) (∂p/∂x) + ν (∂²u/∂y²)

∂v/∂t = - (1/ρ) (∂p/∂y) + ν (∂²v/∂y²)

Possiamo integrare la prima equazione 2 volte:

2∫∫(1/p) (dp/dx) dydy = ∫∫ v (du /dy )dydy

Ottenendo: 2(y /2p) (dp/dx) = vu + Ay + B

Poiché u(x,0)=0 allora B=0.

Inoltre y=2b : u = U, dunque A = (bdp/dx) – (uU/2b).

Sostituendo le espressioni A e B si ottiene l’esatte equazione di N-S: u =(yu/2b) – (y/u) (dp/dx) [b – (y/2)] COUETTE,

quando la pressione non dipende nemmeno dalla coordinata x, il moto è detto alla mentre POISEUILLE

per u=0, il moto è detto alla . 1

SCRIVERE LE IPOTESI SULLA BASE DELLE QUALI SI DERIVANO LE EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE

1. δ/L << 1;
2. dp/dx = 0, dp/dt = 0 FLUIDO INCOMPRIMIBILE;
3. d(⋅)/dz = 0, w = 0 FLUIDO BIDIMENSIONALE;
4. d(⋅)/dt = 0 FLUSSO STAZIONARIO.

DEFINIRE MATEMATICAMENTE IL NUMERO DI MACH V M = V /c

Esprime il rapporto tra una velocità di riferimento del fluido e la velocità del suono c: .

∞ ∞- se M>1, il flusso è supersonico;

- se M<1, il flusso è subsonico;

- se M=1, il flusso

è sonico.Il numero di Mach è anche indice della comprimibilità del fluido: tipicamente un fluido si può considerarecomprimibile se M > 0,3. DEFINIRE MATEMATICAMENTE IL NUMERO DI REYNOLDS Esprime il rapporto tra l'intensità delle forze d'inerzia, legate al moto del fluido, e l'intensità delle forze dissipative di natura viscosa. Si tratta quindi di un numero adimensionale: Re = (p v L)/u dove: - p = densità del fluido - v = velocità del fluido - L = lunghezza caratteristica del flusso - u = viscosità dinamica del fluido DEFINIRE MATEMATICAMENTE IL NUMERO DI PRANDTL Per un fluido viscoso, è il numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica: Pr = (v/a) = (c u/k) dove: - v = viscosità cinematica del fluido - a = diffusività termica del fluido - c = calore specifico a pressione costante del fluido - u = viscosità dinamica del fluido - k = conducibilità termica del fluido Se: - Pr <<1, la conduzione termica domina sulla dissipazione della quantità di moto; - Pr >>1, la dissipazione viscosa domina sulla conduzione termica.della quantità di moto gioca un ruolo dominante rispetto alla diffusività termica. DEFINIRE MATEMATICAMENTE IL NUMERO DI FROUDE 1/2Fr = (V )/(gL) = rapporto tra la forza d'inerzia agente sulla particella fluida e proporzionale a ∞^2 * 3pV L pgL, e la gravità che è proporzionale a ∞. DEFINIRE MATEMATICAMENTE LO SPESSORE DELLO STRATO LIMITE È la distanza, misurata lungo la direzione y a partire dalla superficie della parete, dove la velocità assume un u(δ) = 0,99 U, valore pari al 99% del valore che essa ha quando si trova in condizioni indisturbate. ∞ DEFINIRE MATEMATICAMENTE LO SPESSORE DI SPOSTAMENTO È la distanza della quale bisognerebbe spostare la parete affinché un ipotetico flusso non viscoso mantenga ∞. δ = ∫ [1 - (u/u )]dy, la stessa portata in massa 0 ∞^2 DEFINIRE MATEMATICAMENTE LO SPESSORE DELLA QUANTITÀ DI MOTO (U -u), La variazione di velocità dovuta alla

presenza della parete, introduce una riduzione della quantità ∞ 2∫ pu (U -u)dy = PU θ di moto del sistema: 0 ∞ ∞

Dove θ è lo spessore della quantità di moto, che può essere facilmente derivato dalla relazione appena ∞ θ =∫ (U/U ) [1 – (U/U )]dy scritta: 0 ∞ ∞

TRATTARE IL PROBLEMA DELLA SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE (du/dy)| = 0

Il punto di separazione dello strato limite viene identificato dalla seguente condizione: w

Dove il pedice w sta ad indicare la parete, ossia la condizione y=0. Le equazione dello strato limite valgono fino al punto di separazione, oltre il quale lo strato limite s’inspessisce e le ipotesi impiegate per derivare il sistema di Prandtl decadono.

DEFINIRE LA VELOCITÀ DI DIFFUSIONE SULLA QUANTITÀ DI MOTO

La diffusione ha un ruolo fondamentale nella direzione y e che la sua velocità di diffusione è proporzionale (u/p δ)a.

QUANTITÀ

DI MOTO LUNGO L'ASSE X:
2u (du/dx) + v (du/dy) = - (1/p) (dp/dx) + v (d u/dy )

QUANTITÀ DI MOTO LUNGO L'ASSE Y:
dp/dy = 0

CONTINUITÀ:
(du/dx) + (dv/dy) = 0

DEFINIRE IL RUOLO DELLA SOLUZIONE ESTERNA NELL'EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO IN DIREZIONE X U (x,y):
Indico la velocità all'esterno dello strato limite con . Poiché all'esterno dello strato limite gli effetti sono trascurabili e il vettore velocità possiede una sola componente (lungo x), l'equazione di conservazione U (dU /dx) = - (1/p) (dp /dx) della quantità diventa: .e e e1

ENUNCIARE E FORMULARE IL TEOREMA DI KELVIN:
Per un fluido non viscoso e barotropico, soggetto ad un campo di forze di volume conservativo, la D T/Dt = 0 circolazione lungo una linea materiale chiusa resta costante.

ENUNCIARE E FORMULARE I TEOREMI DI HELMHOLTZ: TRATTARE IL PROBLEMA DELLA BAROTROPICITÀ
I tre teoremi di Helmholtz discendono in parte da considerazioni

Puramente cinematiche e in parte dal teorema di Kelvin ricavato per una corrente barotropica, non viscosa e soggetta a forze di volume conservative.

1. L'intensità di un tubo vorticoso è costante lungo la sua lunghezza. La dimostrazione si basa sul fatto ∇ · V = 0 che la vorticità w è solenoidale: (divergenza del rotore è nulla) e, quindi, il flusso del vettore vorticità attraverso una superficie chiusa p identicamente nullo.
2. Un tubo vorticoso non può iniziare o terminare all'interno del dominio, di conseguenza non può solo chiudersi su se stesso oppure iniziare/terminare su una superficie solida.
3. Per una corrente barotropica, non viscosa e soggetta a forze di volume conservative, se inizialmente la circolazione (e quindi la vorticità) è nulla, allora rimarrà nulla per sempre. Questo teorema discende immediatamente dal teorema di Kelvin ed equivale a dire che elementi di fluido inizialmente

irrotazionali rimangono tali per sempre.

DESCRIVERE IL VORTICE DI RANKINE

Il vortice di Rankine divide il campo di velocità del vortice in due regioni: INNER REGION E OUTER REGION. La prima è assimilabile ad una rotazione rigida, mentre la seconda ad un vortice rotazionale. Se si prende come riferimento un sistema di coordinate cilindriche (v, θ, z), il vortice di Rankine, con centro in corrispondenza dell'origine degli assi, gode di simmetria radiale lungo l'asse z. Il vortice possiede in ogni punto un vettore velocità normale sia a z che a r e parallelo al versore j. Dal punto di vista dell'intensità, la velocità è la funzione pluridefinita dalla sola r. Nella INNER REGION, il vettore velocità è direttamente proporzionale ad r, mentre nella OUTER REGION risulta inversamente proporzionale ad r. Il valore massimo della velocità è raggiunto in corrispondenza della lunghezza cartesiana R, dove si

Osserva la transizione da un comportamento lineare a uno iperbolico. Infatti la condizione r = R definisce anche la frontiera che separa le due regioni INNER e OUTER sapendo che la vorticità resta tutta concentrata nella INNER REGION e2T = πwR risulta pari a , possiamo fornire una descrizione analitica del vortice di Rankine:

( u = 0r( { (wr/2), r ≤ R

V = u + u + u = ( u = {vi θj zk θ 2( { (wR /2r), r > R

( u = 0z

La principale caratteristica del vortice di Rankine è nel campo di vorticità. Infatti, applicando il rotore alla definizione dei velocità scritta in coordinate cilindriche, si vede che il vortice di Rankine è caratterizzato da una vorticità parallela a z; inoltre, nella regione INNER la vorticità è costante e positiva, mentre nella regione OUTER è nulla. Infine il campo di velocità è continuo, mentre quello di vorticità presenta una discontinuità.

1RAPPREENTARE E DESCRIVERE

Il Diagramma di Moody è divisibile in 4 zone: - LAMINARE; - CRITICA; - TRANSIZIONE; - TURBOLENTE. La zona LAMINARE si estende fino ai numeri di Reynolds dell'ordine di 2300. In questa zona non vi è alcuna dipendenza dalla rugosità in quanto lo strato limite laminare è più spesso della rugosità. Il fattore d'attrito f = 64/Re. La zona CRITICA esiste nel campo dei numeri di Reynolds compresi tra 2300