Domande e risposte esame statistica

Descrittiva monovariata

Definire e discutere i 4 elementi base: popolazione, fenomeno, modalità e numerosità

Popolazione statistica [U]. È il collettivo di unità statistiche su cui ci interessa studiare il fenomeno statistico. Insieme delle unità statistiche sulle quali interessa studiare il fenomeno.

Fenomeno statistico [X]. Sono molti e molto variegati. Sono di diversa natura: ci sono diversi strumenti statistici a seconda della diversa natura del fenomeno. Sono i fenomeni di interesse per la statistica. Si presentano con una molteplicità di manifestazioni, non con un’unica modalità. Nelle scienze sociali sono di particolare interesse i fenomeni che riguardano le popolazioni umane e le società (il genere delle persone in un collettivo di interesse, reddito mensile, numero di esami, ma anche il peso delle buste di salame prodotte da un’azienda in un certo tempo, etc).

Modalità [x]. Può essere molte cose a seconda del fenomeno che stiamo studiando: attributo o categoria (talvolta ordinabile), numero o insieme di numeri (interi o reali a seconda che si conti o si misuri). Singola manifestazione del fenomeno indicato con la corrispondente lettera maiuscola.

Numerosità di U [N]. Numero intero positivo. Numero di unità statistiche che compongono la popolazione statistica. Su U di numerosità N sono presenti le manifestazioni x del fenomeno X. È possibile pensare fenomeni statistici su popolazioni infinite (teoricamente), composte cioè da un numero virtualmente infinito di unità statistiche. Molte volte la dimensione della popolazione presa in esame è talmente elevata che ai fini dell’analisi statistica è conveniente pensarla infinita, anche se concretamente non lo è.

Dare una classificazione dei fenomeni statistici e un esempio per ciascun tipo

Fenomeni qualitativi: si manifestano nella popolazione osservata attraverso attributi o categorie (qualità). Fenomeno che manifesta modalità che sono attributi o categorie (es: il genere, titolo di studio).

• Ordinali: pur essendo qualitativi si manifestano con attributi e categorie che si possono ordinare secondo un qualche criterio oggettivo e convenzionalmente accettato. Le sue modalità sono categorie che tutti ordiniamo allo stesso modo (es titolo di studio). Ordinamento oggettivo.
• Categoriali: fenomeni qualitativi per i quali non abbiamo un criterio oggettivo ma solo personale per ordinare le categorie con cui si manifesta. (es città di residenza). Ordinamento soggettivo.

Fenomeni quantitativi: si manifestano nella popolazione osservata attraverso numeri (quantità). Possono essere sempre ordinati perché fra i numeri esiste una relazione d’ordine naturale. (temp massima a Milano)

• Discreti: fenomeni quantitativi che possiamo contare (es esami registrati sul libretto). Fenomeno quantitativo dove x è numero intero.
• Continui: fenomeni quantitativi che si possono misurare con un’opportuna unità di misura e con un corretto strumento di misurazione (es peso). Le sue manifestazioni sono intervalli. x dipende dall’unità di misura e dallo strumento.

Definire le scale di modalità (o di rilevazione) e darne una classificazione precisando il livello di analisi statistica consentito

Le scale di modalità sono gli strumenti tipici della rilevazione. La scala delle modalità con cui si rileva X è l’insieme di tutte le diverse manifestazioni di X osservabili su U, possono anche essere viste come il menù delle possibili risposte. La scelta delle scale è parte integrante del processo di costruzione di un buon questionario. Le scale devono rispettare i principi di esaustività, cioè devono prevedere tutte le possibili manifestazioni di X che potenzialmente si possono osservare su U e mutua esclusività, ovvero la scala con cui si effettua la rilevazione deve prevedere modalità che si escludono a vicenda senza possibilità di confusione e ambiguità.

Scale qualitative: le modalità sono attributi o categorie (qualità).

• Ordinali: i suoi attributi o categorie possono essere ordinati secondo un qualche criterio oggettivo o convenzionalmente accettato. Ordinamento oggettivo: ha un ordine naturale. (<,>) il livello di analisi è più profondo, perché fra le modalità oltre alla relazione uguale o diverso è istituibile anche la relazione minore, maggiore etc.
• Sconnesse: i suoi attributi o categorie non ammettono un ordinamento oggettivo ma solo casuale o personale (es scala dicotomica, 2 sole modalità, come fenomeno qualitativo genere M o F). Si possono istituire soltanto relazioni di uguaglianza o diversità.

Scale quantitative: le modalità sono numeri (quantità). Si distinguono rispetto all’origine.

• Rapporto: l’origine è il numero 0 con significato assoluto, indica l’assenza del fenomeno. Scala numerica: posso utilizzare tutte le operazioni numeriche. (numero accessi a un sito internet, quantità grammi cioccolato presa). Permette tutte e 4 le operazioni elementari.
• Non rapporto: l’origine non è assoluta ma convenzionale, scelta secondo qualche criterio (es temperatura). Lo 0 non ha significato di origine. Non consentono l’operazione di divisione.

Il tipo di scala determina le possibili relazioni istituibili tra le sue modalità.

I fenomeni quantitativi possono essere rilevati con scale qualitative e viceversa:

• Ad esempio il fenomeno reddito mensile è quantitativo, ma può essere rilevato con una scala qualitativa del tipo: alto, medio, basso. In questo modo otteniamo dati più attendibili, ma abbassiamo il livello di analisi statistica, passando da una scala quantitativa a una qualitativa ordinale. Il fenomeno deve essere ordinale.
• Il fenomeno esito dell’esame è qualitativo perché dipende dal giudizio del professore ma si rileva con una scala quantitativa: da 18 a 30 trentesimi. Non va mai dimenticata la natura qualitativa del fenomeno, in quanto non è detto che uno studente che ha preso 30 è più preparato di uno studente che ha preso 25. La scala quantitativa è non rapporto.
• Infine vi sono fenomeni discreti che paiono continui, ad esempio il reddito: conto il denaro, ma ho bisogno di un’unità di misura ($, euro etc). Il consiglio è: quando il fenomeno quantitativo si presenta con un numero di modalità k molto elevato conviene trattarlo come se fosse continuo raggruppando le modalità in classi.

Definire la variabile statistica (vs) e le diverse distribuzioni di frequenza dandone l’interpretazione descrittiva

Una variabile statistica è l’insieme di k coppie del tipo “modalità, frequenza” tale che la somma delle frequenze (assolute) riproduce la numerosità di U. Insieme di coppie di elementi: il primo elemento è la manifestazione del fenomeno, il secondo è la frequenza con la quale si presenta nella popolazione. La frequenza assoluta è il numero di unità statistiche che fra le N osservate manifesta quella modalità xi di X e la indichiamo con fi. L’insieme delle k frequenze (assolute) è detta distribuzione di frequenze assolute di X su U. Le frequenze assolute sono sempre numeri interi e con somma pari a N. Non sono confrontabili fra popolazioni di numerosità diversa: sono direttamente influenzate da N e non sono nemmeno valutabili. Per fare dei confronti servono indicatori relativi, per fare delle valutazioni servono degli indicatori normalizzati. Quindi per confrontare popolazioni con numerosità diversa occorre costruire le frequenze relative che sono il rapporto fra la frequenza assoluta di xi e la numerosità N di U (pi), solo quantità adimensionali e perciò confrontabili. La numerosità della popolazione è la grandezza che disturba e impedisce il confronto, quindi va messa al denominatore. Sono comprese tra 0 e 1 e la loro somma è pari a 1 (vedi dimostrazione quaderno).

Frequenze percentuali: sono le frequenze relative moltiplicate per 100. Sono sempre comprese tra 1 e 100 e la loro somma è pari a 100.

A livello di analisi statistica è preferibile lavorare con le pi mentre a livello di interpretazione e comunicazione dei risultati è conveniente passare alla fr percentuali, più comprensibili.

Definire le frequenze cumulate (assolute e relative); commentarne l’interpretazione e discuterne la relazione biunivoca con le frequenze assolute e relative

Solo per X almeno ordinale. Si possono cumulare le frequenze associate alle modalità inferiori di xi costruendo le frequenze cumulate (sia relative che assolute).

La prima frequenza cumulata coincide con la frequenza della modalità più piccola, l’ultima frequenza cumulata assoluta coincide con la numerosità di N di U.

Le frequenze cumulate assolute sono numeri compresi tra 0 e N. L’ultima frequenza cumulata coincide con la numerosità N di U. Le indichiamo con Fi. F1 = f1. Fk=N.

Le frequenze cumulate relative permettono il confronto tra popolazioni di numerosità diversa. L’ultima frequenza cumulata relativa coincide con 1. Le indichiamo con phi maiuscolo. PHI1=p1. PHIk=1.

Fra le frequenze assolute e relative e le corrispondenti frequenze cumulate esiste una corrispondenza biunivoca: data una distribuzione è possibile passare all’altra e viceversa. Se conosciamo le frequenze (assolute o relative) possiamo ottenere le cumulate (sommando) e viceversa (sottraendo).

Con riferimento ad una variabile statistica con modalità intervallari, discutere comparativamente l’assunto iniziale di “valore centrale” e di “distribuzione uniforme” delle frequenze all’interno degli intervalli

Fenomeni quantitativi continui: le modalità sono intervalli. La v.s. ci informa che al generico intervallo xi: xl I- xL appartengono fi unità statistiche, non sappiamo in quale degli infiniti punti che appartengono all’intervallo si posiziona ciascuna delle fi unità statistiche che cadono in xi: etc. La distribuzione di frequenze all’interno degli intervalli è ignota: sappiamo che appartengono all’intervallo ma non sappiamo esattamente dove si trovano. Per superare questo ostacolo si ricorre all’emissione di ipotesi, che siano ragionevoli sostenibili e convincenti. Due ipotesi:

• Ipotesi del valore centrale: si assegna a ciascuna delle fi unità statistiche che cadono nell’intervallo xi: xl I- xL un unico punto interno all’intervallo stesso. Il metodo consiste nell’associare tutte le fi al valore centrale dell’intervallo, il quale è la semisomma dei due estremi. Lo indicheremo con x*i: xl+xL/2. In questo modo si supera il problema dell’ignota distribuzione di frequenze all’interno degli intervalli, ma si perde la natura continua. Questa ipotesi è sempre accettabile e apprezzabile, aumenta la semplicità. Utilizzo un diagramma a bastoncini.

Ipotesi di uniforme distribuzione: meno drastica della precedente, conserva e rappresenta la continuità. Distribuisce in maniera uniforme ed equidistante i soggetti all’interno dell’intervallo, in questo modo si dà la stessa importanza a tutti i punti. Utilizzo un istogramma.

Con riferimento ad una variabile statistica con modalità intervallari, definire e discutere la densità di frequenza e l’istogramma

La densità di frequenza di un intervallo è la frequenza dell’intervallo depurata dall’influenza dell’ampiezza, è una distribuzione per fenomeni continui (vedi formula pag 34 e 35). Tanto più un intervallo è ampio tanto più è facile che contenga più casi di un intervallo meno ampio. In ogni caso le densità di frequenza (le indichiamo con phi minuscolo) sono numeri reali e sempre positive, non hanno limite superiore. Danno un’idea di addensamento delle frequenze all’interno degli intervalli; a parità di frequenze, un intervallo ampio è meno denso di un intervallo più stretto. Ci servono per individuare intervallo con densità maggiore.

In questo caso quindi abbiamo fenomeni quantitativi continui, e la migliore rappresentazione grafica è l’istogramma. La distribuzione di frequenza all’interno degli intervalli è ignota; adottiamo quindi l’ipotesi di uniforme distribuzione la quale mantiene il carattere continuo del fenomeno, associando la frequenza a tutti gli infiniti punti dell’intervallo in modo che sia uniformemente distribuita. In un istogramma area dei singoli rettangoli che si creano rappresenta la frequenza (pi). Sappiamo che area rettangoli è base x altezza: nel nostro caso l’altezza corrisponde alla densità di frequenza relativa, mentre la base è l’ampiezza dell’intervallo. Per rappresentare la distribuzione di frequenze assolute, sotto l’ipotesi di una distribuzione uniforme, si pongono gli intervalli sulle ascisse e la densità di frequenza sulle ordinate. Se si vogliono rappresentare le frequenze relative, si pongono le densità di frequenze relative sulle ordinate. L’area totale sottesa all’istogramma è pari a N se si rappresentano le frequenze assolute, mentre è pari a 1 se si rappresentano le relative.

Discutere e interpretare la distribuzione di frequenza cumulate per un fenomeno quantitativo continuo anche in relazione all’istogramma

Su un istogramma sono automaticamente rappresentate come aree anche le frequenze cumulate assolute o relative, a seconda che le aree dei rettangoli rappresentino fi o pi. L’istogramma permette il calcolo delle frequenze cumulate per qualunque valore del fenomeno continuo X; il calcolo avviene sotto l’ipotesi di uniforme distribuzione. Sulle ascisse mettiamo gli intervalli, mentre sulle ordinate mettiamo le densità di frequenza.

Definire la moda e discuterne il calcolo e l’informazione descrittiva nel caso di fenomeni qualitativi e quantitativi. Discutere gli adattamenti necessari per il caso di modalità intervallari (o in classi)

La moda di una variabile statistica è la modalità a cui è associata la frequenza più elevata fra le k osservate, cioè la modalità più osservata. Modalità più frequente in U. La indichiamo con xi la moda è tanto più informativa tanto più elevata la frequenza corrispondente. Quindi la moda è un valore medio di sintesi calcolabile per qualunque X ed è immediatamente individuabile. Quando la v.s è sottoforma di tabella basta individuare la frequenza più elevata, quando è rappresentata graficamente la frequenza più elevata si individua a occhio, in quanto è la barra più alta in un diagramma a barre, spicchio più grande in un diagramma a torta.

Se X è continuo bisogna fare degli accorgimenti. Se gli intervalli sono di ampiezza differente la frequenza (assoluta o relativa) perde la sua carica informativa per individuazione moda. È necessario usare la densità di frequenza: chiamiamo intervallo modale quello a cui è associata la densità più elevata fra le k osservate. È convenzione diffusa far coincidere la moda con il valore centrale dell’intervallo. In generale la moda non è un buon valore medio.

Definire e interpretare la mediana, in particolare discuterne il calcolo nel caso di modalità intervallari

La mediana (x0.5) è calcolabile solo X è almeno ordinale (fenomeni qualitativi ordinali oppure quantitativi). La mediana di X è la modalità che occupa la posizione centrale nell’ordinamento. Divide U: il 50% manifesta modalità xi<=x0.5, l’altro 50% modalità xi>=x0.5. La mediana divide U in due gruppi ugualmente numerosi: in un gruppo stanno le unità che manifestano le modalità non superiori e nell’altro gruppo quelle che manifestano le modalità non inferiori. Con X quantitativo continuo le modalità sono intervalli. Si parla quindi di intervallo mediano. Per calcolare la mediana (o l’intervallo mediano) bisogna scorrere la colonna delle frequenze cumulate relative e appena si trova (o si supera) lo 0.5, lì troviamo la mediana (o intervallo mediano). Nel caso di X quantitativo continuo, la mediana si trova all’interno dell’intervallo mediano. Il problema quando abbiamo a che fare con intervalli è che la distribuzione all’interno di essi è ignota. Si possono utilizzare ipotesi valore centrale o quella di distribuzione uniforme. La seconda come sappiamo è quella meno drastica; sotto questa ipotesi la mediana si identifica attraverso una formula (vedi pag 53). xl è estremo inferiore dell’intervallo mediano, Fi-1 oppure PHIi-1 è la frequenza dell’intervallo precedente, xL - xl è ampiezza intervallo mediano, fi oppure pi è la frequenza dell’intervallo mediano.

Per determinare la mediana bisogna aggiungere a xl il pezzetto che manca per arrivare alla mediana stessa, il quale coincide con la base di un sotto-rettangolo. Nell’istogramma le aree sono le frequenze, tutta l’area sotto istogramma vale N; la mediana divide quest’area in due parti uguali N/2. L’area a sinistra di xl coincide con la frequenza di tutte le modalità <= xl, cioè la frequenza cumulata Fi-1. Quindi l’area del sotto rettangolo è N/2 – Fi-1. Otteniamo la base dividendo ultima formula per la densità (vedi pag 54). Vale lo stesso con le densità di frequenza relativa.

Discutere criticamente la media aritmetica quale sintesi di una variabile statistica quantitativa evidenziandone pregi e difetti

La media si può calcolare per fenomeni quantitativi o qualitativi ordinali rilevati con scala quantitativa. Questo valore medio di sintesi ci permette di manipolare algebricamente l’intera v.s. la i