Risposte 2 Esonero 1

Postulato ed equazione di Fourier

Il primo a studiare la trasmissione del calore per conduzione fu Fourier, che enunciò un suo postulato, nel quale si prende in considerazione una piastra di materiale omogeneo (ossia un materiale uniforme in tutti i suoi punti) ed isotropo, di spessore s e di area A. Le due facce della piastra sono mantenute costantemente a due temperature diverse: e (> quindi = - ). Secondo quanto descritto, si stabilirà un flusso termico diretto dalla superficie isoterma alla superficie isoterma, ortogonale ad entrambe. Tale quantità di calore è proporzionale al tempo di osservazione (t), all’area interessata dal flusso termico (A) e alla differenza di temperatura delle due facce ( ); mentre è inversamente proporzionale allo spessore della piastra (s). Tale proporzionalità è esprimibile tramite un fattore detto conducibilità termica del materiale ( ), che misura il comportamento termico del materiale. La conducibilità termica si misura in W/mk. In definitiva, il postulato di Fourier si esprime come:

Dal postulato possiamo identificare l’equazione di Fourier. Secondo il postulato infatti il calore si propaga in direzione del gradiente termico, se prendiamo un elemento di volume dV posizionandolo in un sistema di coordinate cartesiane avremo che ciascun punto dell’elemento è individuato da una terna di valori x,y,z. La quarta variabile è costituita dal tempo t. Quindi è possibile esprimere la temperatura in funzione di: T= f(x;y;z;t)

È possibile quindi calcolare le quantità di calore entranti ed uscenti attraverso le superfici dell’elemento dV, rispetto a x;y;z e al tempo t. Allora si ha:

• Quantità di calore entranti nelle direzioni x;y;z
• dQx= dy dz dt
• dQy= dx dz dt
• dQz= dx dy dt

• Quantità di calore uscenti delle direzioni x;y;z nell’intervallo dt
• dQ (x+dx) = dy dz dt ( + dx)
• dQ (y+dy) = dx dz dt ( + dy)
• dQ (z+dz) = dx dy dt ( + dz)

Facendo le differenze tra queste quantità di calore entranti ed uscenti si ha: dQ= dx dy dz dt ( + + ) In cui: dx, dy, dz= dV

Questa è l’equazione differenziale del secondo ordine a derivate parziali, dalla quale si nota che il calore produce una variazione di temperatura in funzione del tempo t. Quindi si può esprimere la variazione di temperatura dT in funzione del tempo t, come: dT= dt

È possibile esprimere la quantità di calore dQ che fa aumentare la temperatura in funzione della capacità termica del materiale e la differenza dT in funzione del tempo, allora si ha: dQ=

Dove:

• = calore specifico del materiale
• = densità di massa del materiale
• = massa contenuta nel volume

Eguagliando le due espressioni di dQ si ha: Dove : D= = coefficiente di diffusione del calore.

Profilo di temperatura di una parete multistrato

Grazie al profilo di temperatura in una parete multistrato è possibile identificare le temperature in corrispondenza delle interfacce fra i diversi strati che compongono la parete. Partendo da una delle due temperature note all’estremità si calcola la prima variazione di temperatura passando poi allo strato successivo, a partire dalla temperatura più alta. La relazione che consente di calcolare queste temperature è:

Notando che se la resistenza di ogni singolo strato è elevata, la variazione di temperatura all’estremità dello strato è più accentuata (ripida), e quindi per materiali con spessori simili è maggiore. Invece dove la resistenza è meno accentuata la temperatura varia più lentamente.

Conduzione in regime variabile: inerzia termica, sfasamento, attenuazione

Il regime variabile è un tipo di sistema in cui il campo di temperature varia nel tempo, quindi la quantità di calore entrante e uscente è diversa, a differenza del regime stazionario in cui il campo di temperature non varia e il calore entrante e uscente è uguale. Può anche verificarsi un accumulo di calore dalla struttura, che poi potrà cederlo successivamente (ritardo temporale). Spesso è necessario conoscere la quantità di calore scambiata in relazione al tempo e in questo caso il regime variabile può distinguersi in:

• Regime non periodico (una variazione improvvisa della temperatura ai confini del corpo)
• Regime periodico (una variazione ciclica della temperatura, studiando il fenomeno nel periodo temporale stabilizzato)

In un regime variabile (non stazionario) è fondamentale il parametro a (diffusività termica), che è definita come il rapporto fra la conducibilità termica del materiale e la sua capacità termica (inerzia termica):

Un alto valore della diffusività termica indica una veloce propagazione del calore, mentre un valore basso indica che il calore è accumulato nel materiale.

L’inerzia termica è l’attitudine di un materiale di assorbire e accumulare calore che successivamente viene riceduto all’ambiente. L’inerzia termica è caratterizzata da:

• Capacità Termica: che indica la quantità di calore necessaria per far innalzare di 1K la temperatura
• Resistenza Termica: che indica la difficoltà che ha il calore nell’attraversare il materiale.
• Trasmittanza