Risposta in frequenza

3° Lezione

Avendo studiato il filtro P.B. e ricordando le espressioni asintotiche della risposta in frequenza, considerando i vari casi:1° Caso: Vin è un segnale di ingresso sinusoidale permanente nel tempo, la cui espressione è:Vin(t) = Vin · sen ωt con

• |Vin| = Vin
• Vinc = 0

La Vout sarà un segnale sinusoidale permanente con un certo modulo e una certa fase.Inoltre vedremo che Vout avrà la stessa pulsazione ω₁ di Vin in quanto il sistema è lineare.Consideriamo il rapporto tra i fasori del segnale Vout e del segnale Vin, ossia la risposta armonica Z(jω):

Vout(jω) / Vin(jω) = Z(jω) = 2v.c.b. · 1 / (1 + j ω / ω₀)^*Dove in questo caso 2v.c.b. = RL / (R1+RL)

Dalla ^* ricaviamo l'espressione della Vout:Vout(jω) = Zv(jω) · Vin(jω)^◦Che in notazione esponenziale diventa:Vout(jω) = |Vout(jω)| ∠ j Vout(jω)

Dalla ^◦ esplicitiamo prima il modulo e poi la fase:|Vout(jω)| = |Vin| · |Zv|_ω=ω₁ = Vin · |dv|_ω=ω₁∠Vout(jω) = Vin + ∠Zv_ω=ω₁ = 0 + ∠dv_ω=ω₁

con |dv| e ∠Zv calcolati alla pulsazione ω₁ del segnale in ingresso Vin.Andando a sostituire |Vout(jω)| e ∠(Vout(jω)) nella notazione esponenziale di Vout(jω), abbiamo:

V_out(jω) = V_in |d₁|_ω=ω₁ e^{β d_ωω=ω₁}

LA V_out NEL DOMINIO DEL TEMPO SARÀ:

V_out(t) = V_in|d₁|_ω=ω₁ ten(ω₁t + β d_ω^ω=ω₁)

2^O CASO: V_in È UN SEGNALE DI INGRESSO PERIODICO NON SINUSOIDALE. POSSIAMO SCOMPORRE V_in IN SERIE DI FOURIER, POI, ARMONICA PER ARMONICA, STUDIO LA RISPOSTA ARMONICA. ALLA FINE V_out SARÀ UNA SOMMA DI ARMO NICHE. SUPPONIAMO CHE V_in SIA LA SOMMA DI SOLO DUE COMPONENTI, CIOÈ DUE ARMONICHE, ANDIAMO A RICAL CULARE LA V_out(t) NEL DOMINIO DEL TEMPO.

V_in(t) = V₁ ten ω₁t + V₂ ten ω₂t

PER CIASCUNA ARMONICA CI RICAVIAMO L’ESPRESSIONE FR ENTE DEL PRIMO CASO APPLICANDO GLI STESSI PASSAGGI. DIAMO CHE LA PRIMA ARMONICA V₁(t) DARÀ UN USCITA V_out DI CUI:

|V_out(jω)| = V₁ |d₁|_ω=ω₁

V_out(jω) = |d₁|_ω=ω₁

V_out(jω) = V₁ |d₁|_ω=ω₁ e^{β d_ωω=ω₁}

V_out(t) = V₁ |d₁|_ω=ω₁ ten(ω₁t + β d_ω^ω=ω₁)

L’USCITA V_out DELLA SECONDA ARMONICA DECREMENTATO INGRESSO V₂(t) NEL DOMINIO DEL TEMPO, APPLICANDO GLI STESSI PASSAGGI SOPRA, AVRA’ L’ESPRESSIONE SIMILE:

V_out(t) = V₂ |d₂|_ω=ω₂ ten(ω₂t + β_ω^ω=ω₂)

L’USCITA CHE SARÀ SOMMA DELLE ELABORAZIONI FATTE NEL CIRCUITO PRIMA SU V₁ E DOPO SU V₂, SARÀ LA SOMMA DI DUE ARMONICHE E PRECISAMENTE:

V_out(t) = V_1,out(t) + V_2,out(t) = V₁ |d₁|_ω=ω₁ ten(ω₁t + β_ω^ω=ω₁) + V₂ |d₂|_ω=ω₂ ten(ω₂t + β_ω^ω=ω₂)

ULTIMO CASO SULLA DISTORSIONE

Consideriamo un circuito che presenta sempre lo stesso andamento del modulo, mentre la fase (ω) è una funzione lineare di ω, cioè una retta con coefficiente angolare A.

Esprimiamo φ_vout (ω₁), φ_vout (ω₂) come il coefficiente A per ω; e andiamo a studiare l'espressione della V_out(t):

V_out(t) = 0,5 tm (ω₁t + Aω₁t) + 0,5 0,5 tm (ω₂t + Aω₂)

Mettendo in evidenza ω₁ della prima armonica che costituisce V_in(t) e ω₂ nella seconda otteniamo:

V_out(t) = 0,5 tm (ω₁(t + A)) + 0,5 0,5 tm (ω₂(t + A))

In questo modo osserviamo che ogni armonica è stata spostata di A secondi e mettendo in evidenza 0,5:

V_out(t) = 0,5 [tm (ω₁(t + A)) + 0,5 tm (ω₂(t + A))]

Ricaviamo il segnale di ingresso V_in(t - A), cioè:

V_in(t - A) = tm (ω₁ (t + A)) + 0,5 tm (ω₂(t + A))

Da cui la condizione di non distorsione:

V_out(t) = 0,5 V_in (t + A)

V_out(t) = 0,5 V_in (t - Δt)

V_out(t + A) = 0,5 V_in (t)

CONCLUSIONE

Il circuito ha ritardato di A s.; il segnale di ingresso è un attenuatore ritardante non invertente e non distorcente

Dove la frequenza di taglio inferiore o a 3dB è pari a:

ω_i = ½ / (C(N + R_L))

da cui la:

_{Condizione di non distorsione nel dominio della frequenza}

V_out(ξ ω) = N_L / N + R_L . 1 / 1 - j ω_i/ω . V_in(ξ ω)

da cui la:

Risposta armonica Δυ(ξ ω):

υφ(ξ ω) = 2υ.c.b. ⁄ 1 / 1 - j ω_i/ω

Con il guadagno a centro banda:

G = 2 υ.c.b. = R_L / (R. + R_L)

Risposta in ampiezza espressa in decibel per il filtro p.a.

|z| = G / 1 - j ω_i/ω

Studiamo l'andamento al variare di ω e esprime il tutto in decibel:

Per ω → ∞, |z| → 0 → |z|_dB → 20 &Prim.; log(0) = -∞

Per ω → &yas;, |z| → 2υ.c.b. → |z|_dB →.

20 log |2υ.c.b. | = 2υ.c.b. ⫕

Per ω = ω_i; |z| = 2υ.c.b. 1/√

2 |z|_dB = 20 log |2υ.c.b| - 3 = 2υ.c.b. DB.

Bode Diagram

Magnitude (dB)

Phase (deg)

Frequency (Hz)