Risposta in frequenza

SERIE DI FOURIER

Si supponga di applicare al sistema considerato un ingresso periodico di

u

( )=u ( ) ∀

>

periodo , cioè tale che Tale segnale è rappresentabile

T 0 u t+T t , t .

serie di Fourier

attraverso il suo sviluppo in come

+∞ 2 π

∑ jn ω t

( ) = =

u t U e , ω

0

n 0 T

n=−∞ U

I coefficienti complessi costituiscono lo spettro del segnale e

u

n

rappresentano il contributo delle varie armoniche.

Teorema

Se si applica a un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di

( )

trasferimento l’ingresso periodico , l’uscita a transitorio esaurito

G s u(t)

assume l’andamento

+∞

~ ∑ jn ω t ( )

( )= =¿ ∨U

y t Y e con Y G jn ω

0

n n 0 n

n=−∞

indipendentemente dallo stato iniziale.

Un ingresso periodico genera una uscita periodica, con lo stesso periodo

{Y } {U }

dell’ingresso, il cui spettro è legato allo spettro dell’ingresso

n n

2 π

| |

( )

=

Y G jn ω U , =

ω

dalla relazione dove è la pulsazione fondamentale.

n 0 n 0 T

In altre parole, la n-esima armonica presente nell’ingresso subisce

( )

¿ ∨¿

G jn ω

un’amplificazione pari al fattore e uno sfasamento angolare pari

0

( )

arg G jn ω .

ad 0

TRASFORMATA DI FOURIER

Si consideri il caso di un ingresso dotato di trasformata di Fourier

u

[ ]

( )=F ( )

U jω u t .

+ ∞

1 ∫ jωt

( )= ( )

u t U jω e dω

2 π −∞

Teorema

Se si applica a un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di

trasferimento l’ingresso , l’uscita a transitorio esaurito assume

G(s) u(t)

l’andamento

+∞

1

~ ∫ jωt

( )= ( ) ( )=G ( ) (

y t Y jω e dω con Y jω jω U jω)

2 π −∞

indipendentemente dallo stato iniziale.

Il segnale d’ingresso è scomponibile in una infinità non numerabile di

armoniche con pulsazioni che coprono l’intero asse reale, ognuna moltiplicata

per un opportuno coefficiente complesso. Inoltre, il movimento asintotico

dell’uscita non contiene armoniche che non siano presenti nel segnale di

ingresso. Alcune armoniche dell’ingresso possono risultare completamente

cancellate se la funzione di trasferimento del sistema possiede zeri sull’asse

immaginario.

Identificazione della risposta in frequenza

 SISO

Per i sistemi fisici descrivibili con un sistema LTI asintoticamente stabile, il

ω=ω

valore della risposta in frequenza per una pulsazione si può

0

determinare in tal modo

A partire da una condizione di equilibrio, si sollecita il sistema con un

 ( ) =U

u t sin(ω t)

ingresso sinusoidale , e si attende il tempo necessario

0

perché il sistema si possa considerare a regime

ampiezza fase

Si misurano e della sinusoide

 Il MODULO della risposta in frequenza è dato dal rapporto tra le ampiezze

 della sinusoide di uscita e di quella di ingresso

La FASE della risposta in frequenza è data dalla differenza delle fasi

 corrispondenti alle sinusoidi di uscita e di ingresso

Tale operazione può essere ripetuta applicando funzioni sinusoidali di ingresso

con diverse pulsazioni, ottenendo così i valori della risposta in frequenza per

tutti i valori di pulsazione di interesse.

Rappresentazioni grafiche della risposta in frequenza

 SISO, diagrammi cartesiani diagrammi di Bode

Per i sistemi i o rappresentano

la forma più usata per rappresentare graficamente la risposta in frequenza

( ) ( )

associata alla funzione di trasferimento Tali diagrammi sono

G jω G s .

costituiti da una coppia di curve che rappresentano il modulo e la fase della

( )

risposta in frequenza in funzione della pulsazione ω .

G jω

Le due curve sono dette rispettivamente

Diagramma di Bode del modulo

 Diagramma di Bode della fase



Classificazione dei sistemi dinamici in relazione alle loro

 caratteristiche di azione filtrante

Si è visto come un sistema dinamico lineare e stazionario agisce sul segnale di

ingresso, scomposto nelle sue armoniche, per produrre il segnale d’uscita. In

particolare, come già detto il sistema non può generare armoniche in uscita

assenti nello spettro del segnale di ingresso, ma può unicamente amplificare o

attenuare e sfasare quelle presenti. Dunque, il sistema si comporta nei

filtro

confronti del segnale di ingresso come un che ne modella lo spettro in

accordo con la propria risposta in frequenza.

Saranno introdotte due classi di filtri facendo riferimento esclusivamente ai

sistemi asintoticamente stabili.

FILTRI PASSA – BASSO

filtri ideali

I sistemi definiti

passa-basso sono dei sistemi

che lasciano passare inalterate

o al più amplificate di un

valore costante, le armoniche del

segnale di ingresso con

pulsazione inferiore o uguale

a un dato valore e che eliminano le armoniche con pulsazione maggiore di

ώ ,

ώ .

Il diagramma di Bode del modulo a essi associato è costante fino a e vale

ώ

−∞ per , mentre il corrispondente diagramma della fase è nullo,

dB ω> ώ

almeno fino a ώ .

La realizzazione di un filtro ideale passa-basso è di fatto impossibile e quindi è

filtri reali passa-basso

interessante definire i come quei sistemi caratterizzati da

( )

una risposta in frequenza con modulo circa costante a bassa frequenza

G jω filtro passa-basso

e decrescente per . In particolare, si definisce un

ω> ώ

sistema la cui risposta in frequenza soddisfa le relazioni

{ | |

( )

G jω

1 √

≤ ≤ 2 per ω ≤ ώ

√ | |

2 ( )

G j 0

| |

( )

G jω 1

< >

per ω ώ

| | √ 2

( )

G j 0 banda passante

[0, ]

ώ

L’intervallo di pulsazioni viene chiamato del filtro e ώ

è l’estremo superiore della banda passante.

Un sistema del primo ordine con

funzione di trasferimento

μ

( )= >0

G s , μ> 0,T

1+Ts

può essere interpretato come un filtro passa-basso. T

Dalla figura si può verificare che la banda passante del filtro è poiché il

0, 1/¿

¿

modulo decresce uniformemente in corrispondenza della pulsazione del polo

ω=1/T .

FILTRI PASSA – ALTO

filtri ideali passa-alto

I sistemi definiti sono dei sistemi che lasciano passare

inalterate o al più amplificate di un valore costante, le armoniche del segnale di

ingresso con pulsazione maggiore o uguale a un dato

~

valore e che eliminano le armoniche con pulsazione

ω , ~

minore di ω.

Il diagramma di Bode del modulo a essi associato è

~ ~

−∞dB

costante per e vale per , mentre

ω ≥ ω ω< ω

il corrispondente diagramma della fase è nullo, almeno

~

per .

ω ≥ ω filtri reali passa-alto

Si definiscono poi quei sistemi

( )

caratterizzati da una risposta in frequenza il cui modulo soddisfa le

G jω

seguenti relazioni { | |

( )

G jω 1 ~

< per ω< ω

√

| | 2

( )

G j ∞

| |

( )

G jω

1 ~

√

≤ ≤ 2 per ω ≥ ω

| |

√ 2 ( )

G j ∞ ~

banda passante

L’insieme di pulsazioni viene chiamato del filtro e è

ω

¿

l’estremo inferiore della banda passante.

Un sistema definito dalla funzione di trasferimento

μs

( )= >0

G s ,T

1+Ts T ,+ ∞

può essere considerato un filtro passa-alto con banda passante .

/¿

1 ¿

Conclusioni



La risposta in frequenza , per sistemi dinamici lineari e stazionari, è

G( jω)

una funzione complessa che può essere ricavata dalla funzione di trasferimento

valutandola nei punti del semiasse immaginario positivo. Essa caratterizza il

comportamento del sistema quando questo è sollecitato da ingressi sinusoidali

o esprimibili come combinazione lineare di componenti sinusoidali. Sotto

modulo fase

opportune ipotesi, si è visto come il e la della risposta in frequenza

l’amplificazione sfasamento

rappresentino rispettivamente e lo che subiscono

le diverse componenti armoniche del segnale di ingresso nel loro passaggio

attraverso il sistema per la formazione del segnale di uscita

azione filtrante.

→

Nel tracciamento dei diagrammi cartesiani si assume che la funzione di

trasferimento sia assegnata nella forma fattorizzata

G(s)