Ripasso integrali

Primitive elementari

f(x) cos x sen x e^x a^x x^m 1/x 1/(1 + x²) F(x) sen x-cos x e^x a^x / ln a x^m+1 / (m+1) ln |x| arctg x

Proprietà degli integrali

1. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
2. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

Primitive elementari

f(x) cos x sen x e^x a^x x^m 1/x 1/(1 + x²) F(x) sen x -cos x e^x a^x / ln a x^m+1 / (m+1) ln |x| arctg x

Proprietà degli integrali

1. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
2. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

Formule per risoluzione integrali

∫ f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + c

Esempi:

1. ∫ 3x² sen x³ dx = -cos x³ + c
2. ∫ e^{sen x} cos x dx = e^{sen x} + c
3. ∫ (1/2)x (x² - 1)²⁰¹⁴ dx = (x² - 1)²⁰¹⁵/4030 + c

Primitive generalizzate

1. ∫ f'(x) cos [f(x)] dx = sen [f(x)] + c
2. ∫ f'(x) sen [f(x)] dx = -cos [f(x)] + c
3. ∫ f'(x) e^f(x) dx = e^f(x) + c
4. ∫ f'(x) [f(x)]^m dx = [f(x)]^m+1/(m+1) + c
5. ∫ (f'(x)/f(x)) dx = ln |f(x)| + c

Esempio:

∫ _cosx/^senx dx = ln | senx | + c

Integrazione per parti

∫ f(x) g'(x) = f(x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Esempi:

1. ∫ x cosx dx =   f = x    f' = 1   g' = cosx    g = senx = x senx - ∫ senx dx == x senx + cosx + c

2. ∫ x e^x dx =   f = x    f' = 1   g' = e^x    g = e^x = x e^x - ∫ e^x dx == x e^x - e^x + c

3. ∫ x² e^x dx == x² e^x - ∫(xe^x == x² e^x - 2 (xe^x - e^x) == x² e^x - 2x e^x + e^x + c

f = x²   f' = 2x   g' = e^x   g = e^x

Per parti si integrano gli integrali del tipo: ∫ x^α e^x dx | ∫ x^α cosx dx | ∫ x^α senx dx

4. ∫ (x⁴ + 3x² - 6) e^x dx == ∫ x⁴ e^x dx + 3 ∫ x² e^x dx - 6 ∫ e^x dx

Per parti | Per parti | Immediato

Per parti si integrano anche gli integrali del tipo: ∫ p(x) e^x | ∫ p(x) senx | ∫ p(x) cosx

5. ∫ x ln x dx = f = ln x        f' = ¹/_x    g' = x        g = ^x²/₂ = ^x²/₂ ln x - ∫¹/_x ^x²/₂ dx == ^x²/₂ ln x - ¹/₂ ∫ x dx == ^x²/₂ ln x - ¹/₄ x² + c

Integrazione per parti con moltiplicazione per 1

1. ∫ ln x dx = f = ln x        f' = ¹/_x    g' = 1        g = x = x ln x - ∫¹/_x x dx == x ln x - x + c == x (ln x - 1) + c

2. ∫ arctg x dx = f = arctg x        f' = ¹/_1+x²    g' = 1        g = x = x arctg x - ¹/₂ ∫^x/_1+x² dx == x arctgx - ¹/₂ ln|1 + x²| + c

Integrali ciclici

1. ∫ cos² x dx = ∫ cos x · cos x dx = f = cos x   f' = -sen x   g' = cos x   g = sen x = cos x sen x - ∫ (-sen x) sen x dx == sen x cos x + ∫ sen² x dx == sen x cos x + ∫ 1 - cos² x dx == sen x cos x + x - ∫ cos² x dx = ∫ cos² x dx + ∫ cos² x dx = sen x cos x + x

2. ∫ cos² x dx = sen x cos x + x

∫ cos² x dx = ¹/₂ (sen x cos x + x) + c

2. ∫ e^x senx dx = f = e^x   f' = e^x   g' = senx   g = -cosx = -cosx e^x - ∫ (-cosx) e^x dx = f = e^x   f' = e^x   g' = -cosx   g = -senx = -cosx e^x - [-senx e^x - ∫ (-senx e^x) dx] == -cosx e^x + senx e^x - ∫ senx e^x dx = 2 ∫ senx e^x dx = senx e^x - cosx e^x

∫ senx e^x dx = 1/2 (senx e^x - cosx e^x) + c

Integrazione per sostituzione

∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(y) dy

Esempi:

1. ∫ sen(e^x) e^x dx = ∫ sen y dy == -cos y + C == -cos e^x + C

Di solito si sostituisce la funzione contenuta nell'altra. Passaggi:

Sostituzione y = g(x)    dy = g'(x) dx

2. ∫ cos x sen(sen x) dx = y = sen x   dy = cos x dx = ∫ sen y dy = -cos y + C == -cos (sen x) + c

3. ∫ e^x 1+e^2x dx = ∫ e^x 1+(e^x)² dx = y = e^x   dy = e^x dx = ∫ 1 1+y² dy = arctg y + c == arctg (e^x) + c

4. ∫ 1 x(ln x+1) dx = (∫ 1 x) dx = y = ln x + 1   dy = 1 x dx = ∫ 1 y dy = ln |y| + c == ln |ln x + 1| + c

Integrazione per sostituzione: meglio ricavare dx o dy?

Alcuni esempi complicati

\(\int \frac{e^x}{e^{2x}+1} \, dx\)

Prima possibilità:

\(y = e^x\)

\(dy = e^x \, dx\)

\(\int \frac{dy}{y^2+1} = \text{arctg}(y) + c = \text{arctg}(e^x) + c\)

Seconda possibilità:

\(y = e^x\)

\(x = \ln y\)

\(dx = \frac{1}{y} \, dy\)

\(\int \frac{y}{y^2+1} \cdot \frac{1}{y} \, dy = \text{uguale a prima}\)

→ Trovo prima la x. Quale uso? Di solito uso la prima quando non ho problemi a trovare dy nello integrale, se invece dy è nascosto usa la seconda.

Esempi avanzati:

1. ∫ sen⁴x cos³x dx = y = sen x   dy = cos x dx = ∫ sen⁴x cos²x cos x dx == ∫ y⁴ (1-y²)dy = ∫ (y⁴ - y⁶)dy =   x che' cos²x = 1 - sen²x = ∫ y⁴dy - ∫ y⁶dy = y⁵/5 - y⁷/7 + C == sen⁵x/5 - sen⁷x/7 + C

2. ∫ (x - 1)/(1 + √x) dx = y = √x   dy = 1/(2√x) dx   Dov'è nell'integrale? Uso seconda opzione: x = y² dx = 2y dy = ∫ ^{y2 - 1}/_{1 + y} . 2y dy == ∫ (y + 1) ^{(y - 1)}/_{y + 1} 2y dy == ∫ 2y² dy - ∫ 2y dy == 2/3 y³ - y² + c = 2/3 (√x)³ - x + c

Negli integrali dove vi sono radici e si applica la sostituzione conviene quasi sempre utilizzare la seconda opzione quindi calcolare dx invertendo la sostituzione.

3. ∫ ^x/_√x-1 dx = y = √x-1 Calcolo x: y² = x-1 x = y² +1 = ∫ 2 dy (y² +1) = ...

Integrali di funzioni razionali

Funzioni razionali in cui il polinomio al numeratore è la derivata del denominatore

∫ f'(x)/f(x) dx = ln |f(x)| + c

Funzioni razionali aventi per numeratore una costante e denominatore di 1^o grado. Si utilizza lo stesso modo precedente.

Esempio:

∫ ³/_2x-1 dx = ³/₂ ∫ ²/_2x-1 dx == ³/₂ ln|2x-1| + c

La formula generale per questi casi:

∫ ^k/_ax+b dx = k/_a ln|ax+b| + c

Funzioni razionali aventi per numeratore una costante e per denominatore un quadrato

1/[f(x)]² = [f(x)]^-2 → ∫ f'_(x) [f(x)]^m dx = [f(x)]^m+1/(m+1)

Esempio:

∫ ⁵/_(2x-1)² dx = ⁵/₂ ∫(2x-1)^-2 dx == ⁵/₂ (2x-1)^-2+1/_-2+1 = - ⁵/_4x-2 + C

Funzioni razionali del tipo ^{dx + e}/_ax²+bx+c con b²-4ac < 0. Per queste bisogna ricondursi a ∫ ^f'(x)/_{1 + [f(x)]²} dx = arctg [f(x)] + c e ∫ ^f'(x)/_f(x) dx = ln |f(x)| + c

Esempio:

∫ ^3x+1/_x²+1 dx = ³/₂ ∫ x/_x²+1 dx + ∫ ¹/_x²+1 dx == ³/₂ ln(x²+1) + arctg(x) + C

6. ∫ ^18x+3/_9x²+6x+2 dx == ∫ ^18x+6/_9x²+6x+2 dx - ∫ ³/_9x²+6x+2 dx == ln|9x²+6x+2| - ∫ ³/_1+(3x+1)² dx =

Trovo come formare un quadrato di binomio e ricondurmi alla forma

f'(x) ───────────── 1+[f(x)]²

Metodo 1 per razionali fratte

y = m(x) / d(x)

1. Se grado d(x) > grado m(x)
   • Salto questo passaggio
   • Divisione tra numeratore e denominatore
   • Scomporre il denominatore in prodotto di fattori di primo grado e/o secondo grado non scomponibili
   • Decomporre la ∫ in fratti semplici
   • Integro tutti i pezzettini

Esempi:

∫ (x³ - 3x - 1) / (x² - x - 2) dx

1. N > D

x³ - 3x - 1-x³ + x² + 2x + x² - x - 1-x² + x + 2/// 1(x³ - 3x - 1) / (x² - x - 2) = x + 1 + 1/(x² - x - 2)

2. x² - x - 2 → (x - 2)(x + 1)

1/(x² - x - 2) = A / (x - 2) + B / (x + 1)

= (Ax + A + Bx - 2B) / ((x + 1)(x - 2)) = (A + B)x + (A - 2B) / ((x - 2)(x + 1))

{A + B = 0 A - 2B = 1 {A = -B -B - 2B = 1 {A = ¹⁄₃ B = -¹⁄₃ ¹⁄_(x-2)(x+1) = ¹⁄₃(x-2) - ¹⁄₃(x+1)

∫^{x3 - 3x - 1}⁄_{x² - x - 2} dx == {∫[x+1 + ¹⁄₃(x-2) - ¹⁄₃(x+1)] dx == ∫x dx + ∫dx + ¹⁄₃(∫¹⁄_x-2 dx) - ¹⁄₃(∫¹⁄_x+1 dx)

= • • •, Semplici

2. ∫₁⁄_x²−1 dx =

Non serve x²−1 = (x+1)(x−1)

∫₁^⁄(x+1)(x−1) = A ⁄_x+1 + B ⁄_x−1 =

= (Ax−A+Bx+B) ⁄ _(x+1)(x−1) = ((A+B)x+B−A) ⁄_(x−1)(x+1)

&lbrace; A+B = 0, B−A = 1 &rbrace; → &lbrace; A = −B, B+B = 1 &rbrace;&lbrace; A = −1⁄2, B = +1⁄2 &rbrace;

4. ∫₁⁄_x²−1 dx = ∫[-1⁄2⁄(x+1) + 1⁄2⁄(x−1) ]

dx = −1⁄2 ∫1⁄(x+1) dx + 1⁄2 ∫1⁄(x−1) dx = ...

Immediati

Integrali funzioni razionali fratte metodo 2

1. ∫ 1/x³+x dx

Non serve x³+x = x(x²+1) 1/x³+x = A/x + (Bx+C)/(x²+1) = (Ax² + A + Bx² + Cx)/x(x²+1) = (A+B)x² + Cx + A/x(x²+1) A+B = 0 C = 0 A = 1 A = 1 B = -1 C = 0

4. ∫ 1/x³+x dx == ∫ 1/x dx - ∫ x/x²+1 dx =

= ln |x| - ¹/₂ {^2x/_x²+1} dx == ln |x| - ¹/₂ ln |x²+1| + C

2. ∫^x+1/_x³-2x²+x dx =

1) Non serve D>N

2) x³-2x²+x = x(x²-2x+1) == x(x-1)²

3) ^x+1/_x(x-1)² = ^A/_x + ^B/_x-1 + ^C/_(x-1)² == ^{A(x-1)2 + Bx(x-1) + Cx}/_x(x-1)² = ^{(A+B) x2 + (C-2A-B)x + A}/_x(x-1)² ={A+B=0C-2A-B=1A=1{B=-1A=1C=2