Ripasso integrali

Primitive Elementari

f(x)

• cos x
• sen x
• e^x
• a^x
• x^m
• 1/x
• 1/(1 + x²)

F(x)

• sen x
• -cos x
• e^x
• a^x/ln a
• x^m+1/(m+1)
• ln |x|
• arctg x

Proprietà degli Integrali

1. ∫[f(x) ± g(x)] dx = = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
2. ∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx

FORMULE PER RISOLUZIONE INTEGRALI

\(\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + c\)

ESEMPI:

1. \(\int 3x^2 \, \sin x^3 \, dx = -\cos x^3 + c\)
2. \(\int e^{\sin x} \cos x \, dx = e^{\sin x} + c\)
3. \(\frac{1}{2} \int 2x \, (x^2 - 1)^{2014} \, dx = \frac{(x^2 - 1)^{2015}}{4030} + c\)

PRIMITIVE GENERALIZZATE

1. \(\int f'(x) \cos [f(x)] \, dx = \sin [f(x)] + c\)
2. \(\int f'(x) \sin [f(x)] \, dx = -\cos [f(x)] + c\)
3. \(\int f'(x) \, e^{f(x)} \, dx = e^{f(x)} + c\)
4. \(\int f'(x) \, [f(x)]^m \, dx = \frac{[f(x)]^{m+1}}{m+1} + c\)
5. \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + c\)

= x arctg x - ¹/₂ ln |1 + x²| + c

INTEGRALI CICLICI

1) ∫ cos² x dx = ∫ cos x · cos x dx =

f = cos x          f' = -sen x

g' = cos x      g = sen x

= cos x sen x - ∫ (-sen x) sen x dx =

= sen x cos x + ∫ sen² x dx =

= sen x cos x + ∫ (1 - cos² x) dx =

= sen x cos x + x - ∫ cos² x dx =

∫ cos² x dx + ∫ cos² x dx = sen x cos x + x

2 ∫ cos² x dx = sen x cos x + x

∫ cos² x dx = ¹/₂ (sen x cos x + x) + c

ESEMPI AVANZATI:

1. ∫ sen⁴x cos³x dx =

   y = sen x dy = cos x dx

   ∫ sen⁴x cos²x cos x dx =

   = ∫ y⁴(1-y²)dy = ∫(y⁴-y⁶)dy =

   → xchè cos²x = A 1 - sen²x

   = ∫ y⁴dy - ∫ y⁶dy = y⁵/5 - y⁷/7 + C =

   = sen⁵x/5 - sen⁷x/7 + C

2. ∫ (x-1)/(1+√x) dx =

   y = √x dy = 1/(2√x) dx ??

   __________________ DOV'E NELL'INTEGRALE ?

= ³/₂ ln(x²+1) + arctg(x) + C

6) ∫ (18x + 3) / (3x² + 6x + 2) dx =

= ∫ (18x + 6) / (3x² + 6x + 2) dx - ∫ ³/ (3x² + 6x + 2) dx =

= ln |3x² + 6x + 2| - ∫ ³/ [1 + (3x+λ)²] dx =

TROVO COME FORMARE UN QUADRATO DI BINOMIO ALLA FORMA E RICONDUCMI f'(x) / 1 + [f(x)]²