Integrali (Scheda di ripasso)

Calcolo integrale

Il calcolo integrale affronta due classi di problemi ben distinti:

Problemi del calcolo integrale

• Trovare tutte le funzioni che, su un certo intervallo della retta reale, hanno come derivata una funzione assegnata. Si tratta cioè di compiere l'operazione inversa della derivazione; tale operazione viene indicata con il termine integrazione indefinita.
• Definire e calcolare l'area di una regione piana delimitata superiormente e inferiormente dai grafici di funzioni assegnate su un intervallo chiuso e limitato della retta reale; in tal caso, si dice che si esegue una integrazione definita.

A prima vista, queste due problematiche sembrano avere ben poco in comune. Il risultato di un'integrazione indefinita è, come vedremo tra poco, un insieme di infinite funzioni; invece, il risultato di un'integrazione definita è un numero, che rappresenta l'area della regione piana considerata.

In realtà, esiste un risultato profondo e importante, noto appunto come teorema fondamentale del calcolo integrale, che afferma che le due problematiche sono tra loro perfettamente equivalenti: se sappiamo ricostruire una funzione dalla conoscenza della sua derivata, sappiamo anche calcolare le aree delle regioni piane delimitate dal grafico della derivata e da rette parallele agli assi coordinati, e viceversa.

Primitive e integrali indefiniti

Sia f una funzione definita in un intervallo I:

Non tutte le funzioni definite su un intervallo della retta reale ammettono primitive, cioè sono la derivata di un'altra funzione. In questo corso ci limitiamo a segnalare una classe importante di funzioni integrabili, le funzioni continue su un intervallo reale; tale risultato sarà una conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale, che vedremo più avanti.

Nota Bene: Riassumendo possiamo quindi dire che vale il seguente teorema di caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione f. Tale risultato motiva la seguente definizione:

Si osservi che l'integrale indefinito di f non rappresenta un numero, bensì un insieme di infinite funzioni. Dal punto di vista geometrico, il Teorema 9.4 afferma che i grafici di tutte le primitive di una funzione integrabile f si ottengono l'uno dall'altro per traslazione verticale.

Tavola degli integrali delle funzioni elementari

Regole/tecniche di calcolo degli integrali indefiniti

A partire dagli integrali indefiniti delle funzioni elementari, è possibile ottenere gli integrali indefiniti di altre funzioni, usando le regole di integrazione qui sotto riportate.

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