Ripasso Analisi matematica I

§È Fai

d'

' ii E

E ☒

#

Dominio

1 . simmetria

2.

3. segno

4. Intersezione gli assi

con

verticali

5. Asintoti FYI

( )

»± l

)

(

asintoti orizzontali =L qualsiasi

line • numero

=

•

±

✗ →

"

Potrebbe asintoto a) asintoto

obliquo ( obliquo

line

Ge f-

)

esserci ¥

leggo f- -19

mx

(

-19 )

mx m mx

q

0 y 5-

=

y ×

≠ = - • =

=

• a

= ☐

☐

, ±

_ ✗ a

→

Derivata

6 I

.

7 )

Monotonia ( '

critici

punti ≥ 0

y

e

. Derivata

8 I

. "

(

flessi f-

" tangente

9 )

Concavità nu =L flesso obliqua

punti

1=0

concavità

Y in di

(

e a

. ✗

o ✗

;

≥

Campitura

10 . erfiivve.EE

(a)

D valore qualsiasi

0

1 a

= =

•

. ( ) 1

2. ☐ × = .EE

SETT

PP

#

-1

D= nxn

(

3. ☐ ✗ .

derivate

delle

Sono alle

le applicate

4 regole funzioni

fn)

(

☐ n

. -

= -11

n

✗ } }

(21-3×3) (2+3×3)

'

"

(2+3×3)

5- ESEMPIO

)

( ) 36×2

9

Tx 4

( quadrate :

le

1 ✗

radici

☐ solo .

per =

y

= zie

)

TTP

(

D

6 ESEMPIO 4=1×1-+5,4 1×-1-3,5

1 : Zx

. = .

- n 5

( 3)

2

np +

✗

✗ ÈÈ

è

) È

× ESEMPIO f-

(

7 È

2 ✗

: y

☐ e =

= =

. . . ,

,

"" )

f'

/ ESEMPIO

×

(

8 )

21×-1

f ZX

) : y 2×-2

e

☐ e

e y

zx e

e

(

☐ = -2

e e × . -

= - ,

,

. . >

. =

= =

.

1) 2

( 2

1)

( (

1) 2 ×

X X

-

- -

> >

1)

'

( -1112

of ESEMPIO )

/ [

]

D 1×2+1

ai '

[ ( )

✗ (

x2 x2

( sen

9 ZX

Y + -11

log =3

: cos

y

sen sen >

= →

a

= . =

.

. 2

1) ( )

' x2

)

/ (

10 D -11

f- +

log sen ✗ cos

6

× × .

=

. Dflogax )

11 1 logo

f-

oppure e

=

. logo ,

✗ ,

1)

12 )

( × cosi

. =

sen

13 ( )

☐

. × sen

cos ×

= - tgx

" (

D ) )

✗

tgx 1 +

oppure

- = COSZX

) )

15 cotgx

( (

cotgx 1

☐ e -1

oppure

. = -

_ senz ✗

16 )

( 1

×

☐

. arcsen = 2

1- ✗

( )

D

17 1

arccosx =

. _ 2

1- ✗

18 D )

(arctgx 1

. = 1-1×2

(

19 )

arccotgx

☐ 1

. = 1-1×2

IÈL

.ee#qEee.dIiidd!@:rriii.wEE-ZiiE

.me

. ÷÷↓→%÷÷÷

e-rrsEEWim.o rg ?bgpI

MI L AN

B I N G . M Y ? j z M ! ka : g g M

algebrica

somma

• :

Regola del prodotto

• (B)

Y' / a)

B A

=D B

A -1 ☐

•

✗ •

- -

=

Regola del quoziente

• )

(

(A) B

# A

Y' B

☐

☐

✗ • -

-

.

= = 132

Regola dell' esponente

• ef

f' ) )

/

efl » ×

× Il Df Digli

)

' )

/

f

y )

glx

)

/

☐

e y × ×

= = +

.

☐ . .

TTE

@Femm

! a '

f- O

(C) =

m =

ROLLE

I -

- i

f- -1lb

) B

ai

(a) = . . ③

Se FIX

funzione ) b

una : a c

' )

5

3

E ( ?

]

continua f- ]

3,5]

[

limitato

intervallo

nell' [

2)

(

ESEMPIO continua

chiuso b [

in

I 3,5

log )

(

e ✗

• E

c. 2 e-

a. ×

: ☐ > ×

× ☐

-

= . )

}

{

( 112

' '

]

intervallo [ al

interni dell' ESEMPIO

E ' flx

derivabile b

punti ]

] Dominio 3 [

[ più

derivabile si possono

in

nei )

3,5

I

• 3,5

e-

:

a. - ☐

y o = .

= gli

, escludere

di

estremi =

)

(2)

dell'

Assume FIX 2 f- f- F

) f-

agli intervallo

valori uguali f- )

( b (1) (1)

)

( ESEMPIO

f-

estremi cioè /

(a) ] 2

• [

I

-13 1,2

: ✗ 2

o =

2 =

a

✗

= = =

-

, , )

'

Allora [ (

all' derivata

cui

intervallo

almeno la flx)

cioè f-

annulla

] derivata

interno di

la

b

esiste in

punto Quindi

(c)

si

prima si 0

pone

0

un a ±

c =

=

, ,

, all'

Il il grafico

teorema tangente parallela

punto ammette

verificato nel di ascissa

COMMENTO asse ×

è e

: ✗ = . . . A

LAGRANGE f- ( )

TEOREMA b

INTERMEDIO B

I VALORE

DEL . . tgà

.

' ] f- M

E [ al

limitato aib (

continua intervallo chiuso

nell' e . .

• #

a ③

b

a c

] [

intervallo

' b

dell'

interni

punti

derivabile

E a.

nei

• ' )

f- fla

(

Allora f-

almeno all'

interno intervallo

punto )

tale

esiste (c) b

che

un c = -

b- a dell'

teorema

Il tangente

la

il

punto

nel estremi

verificato alla

parallela intervallo

retta

ammette

grafico passante gli

COMMENTO è

: ✗

e per

= .

. .

f :[ ] V27

# È

( > 271=3 Fizz

1×1=3 f-

I in Flo

)

f-

derivabile )

0,27 )

I

ESEMPIO (a) =3

( §

32

e- 0 c-

• •

: =

a. - =

, =

27 -0

E DI CAUCHY

TEOREMA

flx

Se ) funzioni

glx

) sono

e [ ]

continua limitato

nell' b

intervallo chiuso

• a.

e [

]

intervallo

derivabile interni

punti b

nei dell' a.

• inoltre interno intervallo ,b[

dell' ]

punto

g' ogni

≠ O

(c) in

• a

Allora '

] tale f-

[

all' F (a)

(c) b)

intervallo f-

punto interno /

b

almeno

esiste che

a

c

un -

, =

G' )

)

9lb gia

(c) -

IL teorema verificato

COMMENTO : è

( )

3×2-1 '

ESEMPIO f-

f- Flo

continui F (a)

(c) (b) f-

derivabili

) 1111++11

(2)

] f- %

)

in I GIO

[

) 6×-1

gli 1

-1

)

: 11 11

g( 2)

-1

( sono a

I e

o ✗

0,2

× = =

= =

=

= ; -

=

; >

=

a =

☐ =

, , G' glb

) )

gia

(c) -

PE'

et * ii.

# E

@

E

E @ MAI

Knee

EEEE

invia ⑦

minimo

di

punto

→

Per ] flxm

il di ]

Weierstrass

teorema )

b

[

me e m

a. =

. ✗ massimo

di

Punto

#

Per ] f.

teorema

il (

Weir )

M

di ✗

• strass × e m

=

caso b

coincidono

1 estremi

gli

: ✗ ✗ con

m a

me ,

flxm M

b) f a)

/

fla

) ) F /

- ✗

m = =

= =

= f'

flx ) tx

) ]

( [

• costante O per aib

×

= E

=

da aib

diverso

caso è

2 ✗

: ✗

o

m m ]

Supponiamo [

aib

b interno

. ≠

sia a

e-

xm

e

✗ mia '

Fermat

Per f CE

/

di

- il teorema ) 0 ✗

✗ m = m

.EE#!fllE$0Qi!MNI

"

÷

MAI "

.

.

Limiti Come

notevoli l'un

ottiene

• )

(

si sen 1

×

. =

o

✗ → ✗

" )

divido (

tanx )

• senti

cos < 1

tutto ×

¥

sen

✗

< < ¥

sen per

×

✗ sen < 1

✗ sen ×

< <

✗ < e

→

→ → →

cos ,

✗ ✗

a

×

' Costo)

• 1

☐ =

× Quindi seri

1 × 1 1

sen

< ✗

< =

✗

Derivabili toi derivata

significato geometrico di

- :

e / (

f ) )

(

f

incrementale F

line

dal

significato derivato

di

Il geometrico rapporto D= rapporto

0th incrementale

✗ ¥

✗ 0

✗

espresso

è : - =

•

h h

o

→

La infatti del

derivabile

)

quando (

toi

derivabili limiti

funzione nel

scritto destro

sinistro

limite punto quando

esiste due

è i

sussiste solo questo sopra ✗ e

una o

, ,

fino flxoth FIXO

)

line

incrementale IR

)

esistono )

quindi flxo

finiti )

hanno lo valore

rapporto line

ed -1h

stesso E

C

: - -

= =

+

, 0 n

h ln

- n ◦

→ →

/ f-

Grafico devo )

negativa

ribaltare la

( f-

) specchiare

di parte devo la

X

- :

ESEMPIO

: me

a 6

6 .

. a)

a) '

' '

' ✗

-3

→ ribalta

che

negative

parti

le

" "°

.

. . .

. .

.

g-

-

- -

-

-

-

6 -

-

Eemeli

.mn#iii.-EEi

Una nel

il punto

tale

in punto del

valore

punto

funzione funzione

continua al

limite

si in

dice la

uguale valore che assume

è

se

✗

un o

F

line f )

)

/ (

× ✗

= 0

✗

✗ ◦

☐

↑ La ?

{}

continuità le

"

funzioni

solitamente parentesi

nelle

studia dove

"

dette tratti

si ci sono

a ,

È.am?-tLiidd!ii:.dd'ii$EE.nn-Eii.nna- È '

ii. :* della funzione

destro

Sono deve limite

calcolare il sinistro

si

di specie

3 e

e

• a

1 • B

(

line l )

detto

Ila 11 salto

l

la

f di -1

) specie

I è

punto

( ≠ ✗

× 1- ± - •

> o ;

- .

✗ ✗

→ o a

almeno risultato punto specie

di

F- "

è ±

a e-

un ✗

☐ o a 1

⑧

e

giu ,

,

gumina , µ

, yugua

funziona ,

,g , ,

, una nano ,

)

f punto

, .am

magna

/ ,

specie ,

× , a. .ua ,

, ,

× , ,

, a

•

+

✗

✗ ◦

→

↑ ↑

questi fermarmi

risultati

Se facendo iniziale devo f- tre

le verificare devo

discontinua

la

destro funzione

ottengo )

limite sinistro coincidono la cui

( se non

e e- per

✗

e = 0 , ,

{

ESEMPIO 2- -1

1

: <

✗

✗

f g-

) 2

-1

-1 ≤

× <

, ✗

× = ?

logz Solo

( 1) nei fa sinistro

limite

il

ripetono

che allori

dove

numeri si si

la

×

- 1 2

≥ ✗

× e < n

-

È

line O

. =

1- d

✗ d.

→ I specie

- p

1

✗ = .

a

E-

line f- -1=-3-2

1-

✗ =

-

- -1

✗ -1

→ ,

line { -1--1-1=0

×

i 01

d.

- Specie

p I

✗

a 2

✗ → =

a .

.

)

(

1)

(

lim log

1- 0-1=-1

loga 1-

1

× - = -

- =

- _

,

←

✗ → ÈOOÈ

bbiittii

eri

I derivata

derivabili tà

di

punti della

dal dominio

quelli esclusi

sono

non della derivata funzione

destro della

limite

il

deve calcolare

Sono sinistro

si

di e

specie

3 e

• {

FÌ l

line angoloso

la punto

I

) e-

≠

1-

× ✗

☐ o

• .

✗ ✗

→ o disegno opposto cuspidi

E e-

✗

• ◦

•

FÌX

l' punto tangente

dello stesso verticale

flesso

di

) Ii segno

o ✗

•

u n a

o

• +

✗

✗ ◦

→ Y Y

Y si

, ,

'

' i

.

. : flesso

' verticale

di

angoloso tangente

punto

punto cuspidi

punto )

) a

I II

% a ◦

ci

.

- - . _ ×

c c ×

;

: : :

↑ ?

CONTINUITÀ derivabile

funzione

TEOREMA continua

è

DELLA Se viceversa

anche

è non

una

= ,

?⃝ Esempio funzione derivabile

continua

di non

ma

4=12×-31 §

2×-3>0 ≥

× 3-

. ' +

_

{ 2×+3 3-2

✗ <

-

flx ) = ≥

2×-3 ≥

× 2

E) Hai la

⑦

flx IR

intera

) D=

✗

. •

= flx

' D=

) )

glx -1-0

y a

= glx ) 2 1

-1 0

≥ 1

✗

µ 1

✓ ±

≥ ±

×

1-

✗ ≤ - I .

-

È .

1 )

2- , Vx

✗ .

° D= 1

≥ o

D= a

ESEMPIO 1- ✗

≤ <

( ≥

fix •

) : +

0

≥ 0

× + -

>

- ☐

• ×

y ✗ -

-

= Ifk TF1 TÈ IR

( { }

IR

Dfix

D= D=

D=

ESEMPIO 1

) )

- -

a ;

: y

y =

y =

= D=

log f- flx

) )

(

y × a 0

. >

= D=

log fcx

If / ) -1-0

)

(

y •

=

. ×

ef "

' Dflx

D