Ripasso Analisi matematica II

Integrali doppi

Se entrambe le variabili sono comprese tra 2 numeri si ha un dominio detto rettangolare.

Esempio:

Per area e grafico:

• \( \int_a^bf(y) \, dy \)
• \( \int_c^d \int_a^b f(x, y) \, dx \, dy \)

Detto un rettangolo, quindi possiamo ridurci a calcolare un integrale semplice.

• \( \int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy \)

Altro Esempio (un dominio)

\( \int \int xy \, dx \, dy \) con \( A = \{(x, y) \ : \ 0 \le x \le 2, \ 0 \le y \le x^3\} \)

Iniziamo da questo per il dentato

\( y = x^3 \) è la metà del punto della x: \( x = x^{1/2} \)

Dominio:

• 0,0
• 1
• 2

Altro esempio:

• \( \int \int xy \, dx \, dy \) con \( A = \{(x, y) \ : \ 0 \le x \le 2, \ 0 \le y \le x^3\} \)
• Dominio triangolare
• \( 0 \le x \le 1 \)
• Esempio: \( \int \int xy \, dx \, dy \)

Altro esempio (con dominio):

• \( \int \int xy \, dx \, dy \) con \( A = \{(x, y) \ : \ 0 \le x \le 2, \ 1 \le y \le x y = x^3\} \)
• Dominio rettangolare:
• 0,0
• 0,2

Coordinate polari

Dominio circolare (r, ) → (, ) Sede è il centro e l'origine raggio _± angolo ± :

• x = r cos
• y = r sen
• dx dy = dp d
• ±: r cos

Ricordare:

1. x² + y² = r²
2. { x = r sen { y = r cos { dx dy = r dr d

ESEMPIO 1:

[∫₀² ∫₀⁴ r sen dp d]

ESEMPIO 2:

[∫∫ e^-x2 dy dx

Imago con

[∫₀¹ p dp]

[ ∫₀^π sen d]

[ ∫ –]

Sostituzione:

= t da dt d = dt/sen

[∫₀ 1_–t dt/sen = ]

I = = ∫₀^π =[ ∫₀^π/2 =...]

a)

f(x,y)=(-2+x+y)xy+20 x=0 x=2 0 14 2xy 2x+1

∴_x,yx+y−x-y²−x²+1+xy=0

∈((x+y)[(xy)]²0 x+y ∈ x=y

2xy=0

F_xx=2y

F_yy=-2x

F_xy=F_yx=4+y

F_xxx+2xy

F=4+y

F_xyy+=xy²

H=H_xy=(2y)(F_yy-24+y

H(x)=({yx+z}-+z)²(-2+4,-6.22·2

H(x)=4-24²0=(xy)(-10)(-4)(3)=3+3=9

Massimi e minimi ASSOLUTI vincolati

g_n(x,y)=vincolo

Metodo di Lagrange

Calcola i punti di massimo e minimo assoluti di:

f(x,y)=^xysotto il vincolo: x+y=3

F_xyy∴=∂g (x,y)=0

Quindi:

F=xy>Δ(x,y)+(-2,3)+0

F_xxx=xy²

∴F_xy+=xy

F+x+y²

F∂λ∇∂∇

∇F=0

{2xy−2λ=λ}→0_{x=0 λ=1}x+∂3}{(0)+0=0}→x(−8-λ)≠0→x=0

({xy-2λ}