Ripasso Funzioni, Logaritmi e Esponenziali

Funzioni e definizioni

Funzione f: A → B

• Domino (d) Codominio (c)
• D, C ≠ { }

f: x → y

y = 3x + 2 → in formula esplicita è y = F(x)

x → variabile indipendente

y → variabile dipendente

Detti due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una funzione da A in B è una relazione che associa a qualunque reale di A un solo numero reale di B. A è l'immagine di x e B la controimmagine di y.

Non è una funzione

Funzioni e corrispondenze

Funzione f: A → B

• D = {a1, a2, a3}
• Codominio (C)
• D, C ≠ { }

f: x → y

y = 3x + 2 → in forma esplicita y = F(x)

x - variabile indipendente

y - variabile dipendente

Data una corrispondenza A, B nei valori di R, una funzione da A in B è una relazione uno a uno associato a qualunque reale di A un solo numero reale di B. f: l'immagine di x, f(x) la controimmagine di y.

Non è una funzione

Il dominio lo pongo all'inizio, il codominio lo trovo a seconda delle x che ho.

Classificazione delle funzioni

Una funzione detta algebrica se l'espressione y = f(x) che la descrive contiene soltanto nulle variabili, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Se una funzione non è algebrica si dice trascendente.

• y = ^3x+2/_3-5x → algebrica
• y = x² → trascendente
• y = log(sinx) → trascendente

Suddivisione delle funzioni algebriche

• Una funzione algebrica può essere razionale intera se è espressa mediante un polinomio. In particolare, se il polinomio è di 1^o grado rispetto alla variabile x è lineare, se invece il polinomio è di 2^o grado rispetto a x è quadratica.
• Una funzione algebrica è razionale fratta se è espressa mediante quoziente di polinomi cioè le x devono essere al denominatore.
• Una funzione algebrica è irrazionale se la variabile x compare sotto radice.

Classificazione:

• Irrazionale
• Algebrica → Razionale intera → Razionale fratta
• Trascendente
• Lineare
• Quadratica

Trova il dominio

y = ^{3x2 + 2x + 1}/_x-1

• CE. x ≠ 1
• D = R - {1}

I denominatori devono essere diversi da zero. I valori sotto radice devono essere uguali a zero.

y = √x + 1

• CE. x + 1 ≥ 0
• x ≥ -1
• D: [-1, +∞]

√₃(x² + 5x + 6)

• C.E. x² + 5x + 6 ≥ 0
• x_1,2 = ..........
• Δ ≥ 0
• x_1,2D ..........

Funzione iniettiva

P : A → B

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ...

A → B

Non è iniettiva ⇒ È iniettiva

Funzione suriettiva

Una f. da A in B è suriettiva quando ...

A → B

Non è suriettiva, è iniettiva

Non è né suriettiva né iniettiva

Iniettiva suriettiva

y = x_n

D: R ⟶ R

Non è iniettiva

Funzione biiettiva o biunivoca

Una f. è biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva (es. la retta), quindi perciò ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B e viceversa.

Funzione monotona

Una f. si dice monotona in un intervallo I o su alunio se in I è sempre crescente o sempre decrescente.

F. Monotona ⇒ F. Non monotona

Funzione non crescente in senso stretto

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D, x₁ < x₂ si ha f(x₁) < f(x₂) y₁ < y₂

Funzione non decrescente in senso stretto

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D, x₁ < x₂ si ha f(x₁) > f(x₂) y₁ > y₂

Funzione non crescente in senso lato

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D, x₁ ≤ x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂) y₁ ≤ y₂

Funzione non decrescente in senso lato

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D, x₁ ≤ x₂ si ha f(x₁) > f(x₂) y₁ > y₂

Zero di una funzione

Un numero reale a è uno zero della funzione y = f(x) se f(a) = 0

I[n] ➝ punto che messo nella funzione la fa diventare uguale al zero

Sono sempre le intersezioni con l'asse delle x

Funzioni esponenziali

_x crescente 0 < a < 1 a ∈ R

y = a^x

• 4 = 2²
• y = (1/3)^x
• D: R ➝ il dominio è dato dalle x e se prendo dei punti a caso sull'asse x li trovo sempre sulla funzione
• C: ]0 ; + ∞ [ ⊂ R ⁺ ➝ il codominio dato dalle y lo trovo solo nella parte superiore.

y = e^x

e: numero di Nepero, numero peresso maggiore di 1

Regole

• Stessa base 2^x : 2² = 2^x-2
• 2⁴ : 2⁴ 2¹ = 2⁰
• 2_n = 1/2ⁿ
• 2^-x negativo
• 1/2³ = 2^-3 = 3√2

Esp. con la radice

Disequazioni esponenziali

• Se a^f(x) > a^p(x) → se a > 1 → stesso verso F(x) > P(x)
• → se 01
• x 4/9(1/3)^x > (1/3)²
• x √4 &equals; 2√2² &equals; 2¹
• 2 ^2/2 > 2¹
• 2/x > 2⁰

N: 2 - x > 0

D: x > 0

-x > -2

x 0

2N. - + D. - + N/D + -

Disequazioni fratte

Porto tutto a sinistra faccio il mcm

N > 0, D > 0

S.]0 ; 2[

x² + 5x + ⁺ 2x² + 5x + 7

x² + 5x + 6 x² + 5x + 6 = 0

Δ > 0

^{-b &PlusMinus; √(b2 - 4ac)} / 2a

^{-5 &PlusMinus; √25 - 24} / 2^-2 / 3

Casi particolari

• a > 0 ; Δ > 0 + + (+) +
• a > 0 ; Δ = 0 +( ) +₍₎
• a > 0 ; Δ + ( )
• a > 0 ; Δ > 0 + ( )
• a > 0 ; Δ = 0

Logaritmi

a^x = b → log in base a di b → x = log_ab

a > 0 a ≠ 1

Impo!!!

Dati 2 numeri reali a e b positivi e tali che a ≠ 1 si chiama logaritmo in base a di b l'esponente da dare ad a per ottenere b. b si dice l'argomento del logaritmo.

log₃ 27 = x

log₅ 25 = x

log₂ 16 = x

a^x = 1

3^x = 27

5^x = 25

2^x = 16

x = 0

x = 3

x = 2

x = 4

log_a a = x

a^x = ax = 1

log_a^xb = ¹/_logba

x = 4 → log_ax = log_a4

log b = ¹/_b, se non c'è la base, si sottointende 10

Proprietà dei logaritmi

1^o proprietà

Logaritmo di un prodotto:

log_a(b ⋅ c) = log_ab + log_ac

b > 0, c > 0

log₂ (8 ⋅ 16) = log₂ 8 + log₂ 16 = 3 + 4 = 7

log₃(9 ⋅ 3) = log₃ 9 + log₃ 3 = 2 + 1 = 3

2^o proprietà

Logaritmo di un quoziente:

log_a ^b/_c = log_a b - log_a c

b > 0, c > 0

log₁₀ ¹⁰⁰/₁₀ = log₁₀ 100 - log₁₀ 10 = 2 - 1 = 1

3^o proprietà

Logaritmo di una potenza:

log_a bⁿ = n ⋅ log_ab

log₃ 4⁴ = 4 ⋅ log₃ 9 = 4 ⋅ 2 = 8

Funzioni logaritmiche

y = log_ax   a > 0   a ≠ 1   x > 0

f: D → C   D ⊂ R⁺ → R

x → y = log_ax