Ripasso Funzioni, Logaritmi e Esponenziali

FUNZIONI

f: A → B

D → C

dominio (d) codominio (c)

D, C ≠ { }

f: x → y

y = 3x + 2 → in formula esplicita è y = F(x)

x → variabile indipendente

y → variabile dipendente

Detti due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una funzione da A in B è una relazione che associa a qualunque reale di A un solo numero reale di B. A è l'immagine di x e B la controimmagine di y.

NON È UNA FUNZIONE

FUNZIONI

f: A → B

D = {a1, a2, a3}

codominio (C)

D, C ≠ { }

f: x → y

y = 3x + 2 → in forma esplicita y = F(x)

x - variabile indipendente

y - variabile dipendente

Data una corrispondenza A, B nei valori di R, una funzione da A in B è una relazione uno a uno associato a qualunque reale di A un solo numero reale di B.

f: l'immagine di x, f(x) la controimmagine di y.

NON È UNA FUNZIONE

Il dominio lo pongo all'inizio,

il codominio lo trovo a seconda

delle x che ho.

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Una funzione detta algebrica se l'espressione y = f(x) che la descrive contiene

soltanto nulle variabile, operazioni di addizione, sottr., moltip, divis, elevamento

a potenza o estrazione di radice. Se una funzione non è algebrica si dice

trascendente.

y = ^3x+2/_3-5x → algebrica

y = x² → trascendente

y = log(sinx) → trascendente

SUDDIVISIONE DELLE FUNZIONI ALGEBRICHE

Una funzione algebrica può essere razionale intera se è espressa mediante

un polinomio. In particolare se il polinomio è di 1° grado rispetto alla variabile x

è lineare, se invece il polinomio è di 2° grado rispetto a x è quadratica.

Una funzione algebrica è razionale fratta se è espressa mediante quotiente

di polinomi cioè le x devono essere al denominatore.

Una funzione algebrica è irrazionale se la variabile x compare sotto radice.

irrazionale

algebrica → razionale intera

→ razionale fratta

trascendente

lineare

quadratica

TROVA IL DOMINIO

y = ^{3x2 + 2x + 1}/_x-1

CE. x ≠ 1

D = R - {1}

I Den devono essere diversi da zero.

i valori sotto radice devono essere uguali e zero.

y = √x + 1

CE. x + 1 ≥ 0

x ≥ -1

D: [-1, +∞]

√₃(x² + 5x + 6)

C.E.

x² + 5x + 6 ≥ 0

x_1,2 = ..........

Δ ≥ 0

x_1,2

D ..........

Funzione iniettiva

P : A → B

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ...

A → B

Non è iniettiva

⇒ è iniettiva

Funzione suriettiva

Una f. da A in B è suriettiva quando ...

A → B

Non è suriettiva, è iniettiva

Non è né suriettiva né iniettiva

Iniettiva suriettiva

y = x _n

D: R ⟶ R

NON È INIETTIVA

FUNZIONE BIETTIVA O BIUNIVOCA

Una f. è biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva (es. la retta), quindi perciò ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B e viceversa.

FUNZIONE MONOTONA

Una f. si dice monotona in un intervallo I o su alunio se in I è sempre crescente o sempre decrescente.

F. MONOTONA

⟹ F. NON MONOTONA

Funzione non crescete in senso stretto

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D,

x₁ < x₂ si ha f(x₁) < f(x₂)

y₁ < y₂

Funzione non decrescente in senso stretto

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D,

x₁ < x₂ si ha f(x₁) > f(x₂)

y₁ > y₂

Funzione non crescente in senso lato

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D,

x₁ ≤ x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂)

y₁ ≤ y₂

Funzione non decrescente in senso lato

Se _∀ x₁, x₂ ∈ I ⊆ D,

x₁ ≤ x₂ si ha f(x₁) > f(x₂)

y₁ > y₂

Zero di una funzione

Un numero reale a è uno zero della funzione y = f(x) se f(a) = 0

I[n] ➝ punto che messo nella funzionela fa diventare uguale al zero

Sono sempre le intersezionicon l'asse delle x

Funzioni esponenziali

• _x crescente 0 < a < 1

a ∈ R

y = a^x

4 = 2²

y = (1/3)^x

D: R ➝ il dominio è dato dalle x e se prendo dei punti a caso sull'asse x li trovo sempre sulla funzione

C: ]0 ; + ∞ [ ⊂ R ⁺ ➝ il codominio dato dalle y lo trovo solo nella parte superiore.

y = e^x

e: numero di nepero, numero peresso maggiore di 1

Regole

• Stessa base 2^x : 2² = 2^x-2
• 2⁴ : 2⁴
• 2¹ = 2⁰
• 2_n = 1/2ⁿ
• 2^-x negativo
• 1/2³ = 2^-3 = 3√2
• Esp. con la radice

Disequazioni Esponenziali

se a^f(x) > a^p(x) → se a>1 → stesso verso F(x) > P(x)

→ se 01

x 4/9

√4 = 2

√2² = 2¹

2 ^2/2 > 2¹

2/x > 2⁰

N: 2 - x > 0

D: x > 0

-x > -2

x < 2

Disequazioni Fratte

• porto tutto a sinistra
• faccio il mcm
• N > 0, D > 0

x² + 5x + ⁺ < 2²

x² + 5x + 7 < 1

x² + 5x + 6 < 0

x² + 5x + 6 = 0

Δ > 0

^{-b ± √(b2 - 4ac)} / 2a

^{-5 ± √25 - 24} / 2

^-2 / 3

casi particolari

• a > 0 ; Δ > 0
• + + (+) +
• a > 0 ; Δ = 0
• +( ) +₍₎
• a > 0 ; Δ < 0
• + ( )
• a > 0 ; Δ > 0
• + ( )
• a > 0 ; Δ = 0
• a > 0 ; Δ < 0

LOGARITMI

a^x = b → log in base a di b → x = log_ab

a > 0 a ≠ 1

IMPO!!!

Dati 2 numeri reali a e b positivi e tali che a ≠ 1 si chiama logaritmo in base a di b l'esponente da dare ad a per ottenere b.

b si dice l'argomento del logaritmo.

log_a^xb = ¹/_logba

x = 4 → log_ax = log_a4

log b = ¹/_b, se non c'è la base, si sottointende 10

1^o PROPRIETÀ

LOGARITMO DI UN PRODOTTO

log_a(b ⋅ c) = log_ab + log_ac b > 0, c > 0

2^o PROPRIETÀ

LOGARITMO DI UN QUOZIENTE

log_a ^b/_c = log_a b - log_a c b > 0, c > 0

3^o PROPRIETÀ

LOGARITMO DI UNA POTENZA

log_a bⁿ = n ⋅ log_ab

FUNZIONI LOGARITMICHE

y = log_ax   a > 0   a ≠ 1   x > 0

f: D → C   D ⊂ R⁺ → R

x → y = log_ax