Ripasso di geometria per Analisi 1

LA RETTA

La retta è un insieme di punti allineati. Analiticamente la retta si esprime con un'equazione di primo grado nelle due variabili x e y: ax + by + c = 0 con a,b,c∈R

2x + 3y - 6 = 0 --> eq. di retta

2x - 3y - 6 = 0 --> non è un eq. di retta

2x - 3y ² 6 = 0 --> non è un eq. di retta

COME RAPPRESENTO UNA RETTA

• x | y

• 0 | 2

• 3 | 0

Do un valore a x e vedo quanto vale y.

0 + 3y - 6 = 0             8 + 3y - 8 = 0

3y/3 = 6/3        y = 2            3y/3=0/3          y=0

Isolo la y:

by = -ax / b - c / b

y = -a/b _a/b + _-c/b

Rappresenta l'intercetta della retta con il semiasse delle ordinate.

Coefficiente angolare

Rappresenta l'inclinazione della retta con il semiasse positivo delle ascisse mm

2x + 3y - 6 = 0

mm = -a/b = -2/3    q = -c/b = 6/3 = + 2

Quando mm è negativo l'angolo è ottuso.

y = mx + q

LA RETTA

LA RETTA È UN INSIEME DI PUNTI ALLINEATI.

ANALITICAMENTE LA RETTA SI ESPRIME CON UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

NELLE DUE VARIABILI X E Y:

2X + 3Y - 6 = 0

2X + 3Y - 6 = 0 - D. NON È UN' EQ. DI RETTA

2X + 3Y = 6

COME RAPPRESENTO UNA RETTA

• X=0, Y=2
• X=3, Y=0

ISOLO LA Y

BY = -AX - C

Y = - ^A/_B + ^C/_B

RAPPRESENTA L'INTERCETTA DELLA RETTA CON IL SEMIASSE DELLE ORDINATE.

COEFF. ANGOLARE

RAPPRESENTA L'INCLINAZIONE DELLA RETTA CON IL SEMIASSE POSITIVO DELLE ASCISSE.

2X + 3Y - 6 = 0

QUANDO M È NEGATIVO L'ANGOLO È OTTUSO

Angolo acuto

m positivo

a, b sono concordi — m > 0 — acuto

a, b sono discordi — m < 0 — ottuso

q = -_c/_a

se a = 0 m = 0

se b = 0 m = non definibile

by + c = 0 => y = q

ax + c = 0

_ax/_a = -_c/_a

in fisica sono fermi, infatti m != 0

Ax + By + C = 0

• a = 0 by + c = 0 y = -_c/_b
• b = 0 ax + c = 0 x = -_c/_a
• c = 0 ax + by = 0 passa per l’origine
• a, c = 0 by + 0 = 0 y = 0
• b, c = 0 ax + 0 = 0 x = 0

1. x può assumere qualsiasi valore, rimane 0 perché q=0

m=0

2. y può assumere qualsiasi valore, rimane 0 perché b=0

m=non definito

4. y è zero, la x può assumere qualsiasi valore, la retta coincide con l'asse delle ascisse

5. x è zero, la y può assumere qualsiasi valore, la retta coincide con l'asse delle ordinate

Due rette le diciamo parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare

Scrivi una retta parallela ad AB: y = ¹/₃ x + 3

Basta lasciare lo stesso coeff. angolare e cambiare q.

• y = 2x + 4
• y = 2x + 3
• y = 2x → che passa per l'origine
• y = 2x + 10
• y = 2x + ¹/₂

Due rette le diciamo perpendicolari quando hanno i coeff. angolare uno il reciproco dell’altro

Scrivi la perpendicolare di y = 2x + 4: y = -¹/₂ x + 7

Scrivi l’equazione passante per il punto P(2,2) e parallela alla retta di equazione y = 2x + 1

y = 2x + q

2 = 2·2 + q sostituisco con le coordinate

2 = 4 + q

-6 = q

q = -6

LA CIRCONFERENZA

LA CIRCONFERENZA È UN INSIEME DI PUNTI DEL PIANO, UN LUOGO GEOMETRICO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO.

(x - α)² + (y - β)² = (r)²

(x - x)² + (y - β)² = r² - EQUAZIONE CARTESIANA DI UNA CIRCONFERENZA

ESERCIZI

1)C(1, 3)r = 2(x - 1)² + (y - 3)² = 4x² + 1 - 2x + y² + 9 - 6y = 4x² + y² - 2x - 6y + 6 = 0

2)DETERMINA L'EQUAZIONE DELLA CRF. AVENDO PER DIAMETRO IL SEGMENTO DI ESTREMIA(-3, -6) E B(1, 4)

x_m = x_A + x_B / 2 = -3 + 1 / 2 = -2 / 2y_m = y_A + y_B / 2 = 6 + 4 / 2 = -2 / 2

C(-2, -1)

AB = √(x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = √(-3 - 1)² + (-6 - 4)² = √4 + 100 = √104

(x - α)² + (y - β)² = r² ES. CARTESIANA(x + 2)² + (y + 1)² = r² = (√104 / 2)²

(x + 2)² + (y + 1)² = 104 / 4

Elaboro l'equazione cartesiana:

x² - 2dx + y² - 2by + α² + β² - r² = 0

• -2α = a
• -2β = b

α = -^a/₂

β = -^b/₂

Coordinate del centro

α² + β² - r² = c

r² = α² + β² - c

r² = (-^a/₂)² + (-^b/₂)² - c

r² = ^a2/₄ + ^b2/₄ - c

r = √(^a2/₄ + ^b2/₄ - c)

Si prende solo la parte positiva poiché il raggio è una lunghezza.

x² + y² + ax + by + c

Eq. canonica

Deve mancare il termine xy e coeff. dei termini di secondo grado devono uguali tra loro

(coeff. di x² e y² devono essere 1)

in un'equazione di una circonferenza

se a = 0

x² + y² + by + c = 0

α = -^a/₂.

Centro sull’asse delle y

se b = 0 → β = 0

Centro sull’asse delle x

se a, b = 0 → α, β = 0

Centro nell'origine

se c = 0

La crf. passa per gli assi

IPERBOLE

L’iperbole è il luogo geometrico la cui differenza delle distanze dai fuochi è costante.

PF₁ - PF₂ = 2a

a > c

b² = a² - c²

x²/a² - y²/b² = 1

25x²/36 - 4y²/25 = 36/36

a = 6

b = 3

c = 9

a < c

PF₁ - PF₂ = 2a

x²/a² - y²/b² = n

b² = c² - a²

25x²/36 - 4y²/25 = 36/36

COME DISEGNARE L'IPERBOLE

x²/4 - y²/9 = 1

A(-2;0)

B(2,0)

C(0;-3)

D(0;3)

Gli asintoti, rette che si avvicinano alle iperboli, si determinano con y = ±(b/a)x e passano per l'origine.

A e B prendono il nome di vertici reali; i vertici si trovano con il sistema primo con x=0 e poi y=0.

{x²/4 - y²/9 = 1x = 0}

{-u²/9 = 1u = 0}

{y²/9 = 1y² = 9}

{x²/4 - y²/9 = 1y = 0}

{x²/4 = 1}

{x²/4 = 4y = 0}

x = ± 2y = 0

A(-2; 0)B(2; 0)

C e D sono vertici non reali poiché nascono da un sistema che non ha soluzione.CD è l'asse non traverso.

AB è l'asse traverso.

y = 3/2 xy = -3/2 x

Per disegnare i vertici

ECCENTRICITÀe = c/ac² = a² + b²c² = 13e = √13/2e ≥ 1 nell'iperbole

Ellisse

PF₁ + PF₂ = 2a cost.

x²/a² + y²/b² = 1

F₁(c;0)

F₂(-c;0)

a e b sono i semiassi

l'ecc. è compreso tra 0 e 1

e = c/a

se è sull'asse delle ye = c/b

P.405 Es.169A(4;0) = f₁(c;0)B(-4;0) = f₂(-c;0)c = 4P_A + P_B = 10PF₁ + PF₂ = 2a10 = 2aa = 5

sulle xa² - c² = b²5² - 4² = b²25 - 16 = b²b² = 9b = 3

x²/25 + y²/9 = 1

V₁(-5;0)V₂(0;-3)V₃(5;0)V₄(0;3)

r = c/a = 4/5

x²/25 + y²/9 = 1

a = 5   b = 3

TROVA LE INTERS. CON GLI ASSI

se l'ellisse è centrato solo i vertici principali ma pieni

ep. ellisse

asse x

• x²/25 = 1
• x² = 25
• x = ±5
• y = 0

(5;0)

(-5;0)

• ep. ellisse
• asse y
• x = 0
• y²/9 = 1
• y² = 9
• y = ±3

(0;3)

(0;-3)

FUNZIONE OMOGRAFICA

^x2/_a² - ^y2/_b² = 1

a = b → ^x2/_a² - ^y2/_b² = 1 → x² - y² = a²