Riassunto definizioni Algebra e geometria

Definizioni matematiche

Funzioni

Immagine: si dice immagine di f, l'insieme

Iniettiva: funzione che...

Suriettiva: ...

Biettiva: se è iniettiva e biettiva

Funzione composta

Si dice funzione composta di f e g la funzione: f(g(x))

Invertibile e involuzione

Invertibile: una funzione è invertibile se esiste una funzione inversa

Involuzione: sia f una biezione (quindi invertibile); f si dice involuzione se f è uguale alla sua inversa

Relazioni

Relazione: una relazione su un insieme A è un sottoinsieme R di A x A

Relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva

Relazione d'ordine: riflessiva, antisimmetrica, transitiva

Operazioni e gruppi

Operazione: si dice operazione (interna e binaria) su un insieme A una funzione: A x A → A

Elemento neutro: sia un'operazione su un insieme A. Un elemento e appartenente ad A si dice elemento neutro se...

Invertibile: sia un insieme con elemento neutro e. Un elemento si dice invertibile se...

Gruppo: ...

Campo: gruppo abeliano

Valgono le proprietà distributive

Spazi vettoriali

Operazione esterna: dati due insiemi K e V si dice operazione esterna su V una funzione da K x V → V

Scalari: elementi di K

Spazio vettoriale: diremo che V è uno spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni:

• Un'operazione binaria interna + su V
• Un'operazione esterna di V su K

Sottospazio vettoriale: sia uno spazio vettoriale e sia U. Diremo che U è un sottospazio vettoriale di V se è esso stesso uno spazio vettoriale sul campo K

Insiemi e sequenze

Insieme: no ordine, no elementi uguali

Sistema: no ordine, sì elementi ripetuti

Sequenza: sì ordine, sì elementi ripetuti

Combinazioni lineari e basi

Combinazione lineare: si dice combinazione lineare dei vettori...

Insieme libero: sia uno spazio vettoriale e A un insieme di vettori di V. A si dice libero e i suoi vettori si dicono linearmente indipendenti se l'unica combinazione lineare di vettori di A che dà il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli

Insieme legato: A è legato se esiste una combinazione lineare dei suoi vettori a coefficienti non tutti nulli che dà il vettore nullo (i vettori si dicono linearmente dipendenti)

Chiusura lineare: si dice chiusura o copertura lineare di A, l'insieme L(a) dei vettori V(k) che si possono esprimere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A

Insieme di generatori: A si dice insieme di generatori per V(k) se L(a)=V(k), cioè ogni vettore di V(k) si può scrivere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A. A genera V(k).

Base: si dice base uno spazio vettoriale finitamente generato da una sequenza libera di generatori

Dimensione (spazio vettoriale): uno spazio vettoriale V(k) ha dimensione n, se n è la cardinalità di una sua qualsiasi base

Componenti e somma

Componenti: ...

Somma: ...

Somma diretta: la loro somma si dice diretta se ogni vettore di S si può scrivere in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W

Complemento diretto: si dice complemento diretto di Q in V un sottospazio W

Minori e rango

Minore: si dice minore di ordine P di A, una matrice quadrata di ordine P ottenuta da A sopprimendo M meno P righe e N meno P colonne

Rango: ...

Spazio delle colonne e righe

Spazio delle colonne: L(c) è il sottospazio generato dalle colonne di A

Spazio delle righe: L(r) è il sottospazio generato dalle righe di A

Sistemi lineari

Sistema lineare: un sistema lineare è un insieme di M equazioni lineari di primo grado, in N incognite a coefficienti in un campo K

Sistema lin. omogeneo: un sistema lineare si dice omogeneo quando tutti i termini noti sono nulli

Sistema lin. compatibile: un sistema lineare di m equazioni in N incognite si dice compatibile se ammette soluzioni ovvero se esiste una n-upla che risolve tutte le equazioni del sistema

Sistema principale equivalente: sia AX=B un sistema lineare compatibile di m equazioni in n incognite con rango(A)=rango p(A/B)=p. Si dice sistema principale equivalente ad AX=B un sistema A'X=B' fatto da p equazioni (ottenuto estraendo p equazioni da AX=B)

Autosoluzioni e polinomi caratteristici

Autosoluzioni: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo, se esistono, diverse dalla soluzione nulla vengono dette autosoluzioni

Polinomio caratteristico: ...

Equazione caratteristica: ...

Autovalori e autospazi

Autovalori: di A, le soluzioni dell'equazione caratteristica

Molteplicità algebrica: il numero di volte in cui lambda compare come soluzione dell'equazione caratteristica

Autospazio: relativo all'autovalore, lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo