Riassunto definizioni Algebra e geometria

ortogonali se v w=0

COMPLEMENTO ORTOGONALE: Si dice complemento ortogonale di A l'insieme dei vettori V(k) che sono ortogonali a tutti i vettori di A:

FORMA QUADRATICA: sia V(k) uno spazio vettoriale con prodotto scalare. Si dice forma quadratica associata al prodotto scalare l'applicazione:

PRODOTTO SCALARE DEFINITO POSITIVO: se:

1. .
2. .

SPAZIO VETTORIALE CON PRODOTTO SCALARE DEFINITO POSITIVO: Spazio metrico reale

NORMA: dato un vettore v si dice norma di v il numero reale :

VERSORE:

BASE ORTOGONALE:

BASE ORTONORMALE:

MATRICE DELLA FORMA BILINEARE: si B=( ) una base di Vn(k) e sia una forma bilineare di Vn(k). Si dice matrice della forma bilineare rispetto alla base B la matrice :

MATRICE ORTOGONALE: sia A , si dice ortogonale se la sua inversa coincide con la sua trasposta:

MATRICE ORTOGONALMENTE DIAGONALIZZABILE: A si dice ortogonalmente diagonalizzabile se è diagonalizzabile e la matrice diagonalizzante è ortogonale

CAMPO ALGEBRICAMENTE CHIUSO: un campo K si dice

ALGEBRICAMENTE CHIUSO: se ogni polinomio a coefficienti in K è fattorizzabile in K nel prodotto di polinomi di primo grado.

CONIUGATO: dato z=a+ib si dice coniugato di z il numero z=a-ib.

DEFINIZIONI TRAETTA: si dice matrice di tipo (m,n) a coefficienti in K è una tabella con m righe e n colonne i cui elementi (detti coefficienti o entrate) appartengono a K.

MATRICE UNITÀ O IDENTICA: →MATRICE TRASPOSTA: si dice trasposta di A la matrice le cui righe sono le colonne di A.

MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE: una matrice quadrata si dice triangolare superiore se tutti gli elementi al di sotto della sua diagonale principale sono nulli.

MATRICE TRIANGOLARE INFERIORE: una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se tutti gli elementi al di sopra della sua diagonale principale sono nulli.

MATRICE DIAGONALE: se è triangolare superiore e inferiore.

MATRICE SIMMETRICA: A si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta.

MINORE: si dice minore di A di ordine r una qualunque matrice r x r.

1. ottenuta da A selezionando r righe e c colonne di A
2. DETERMINANTE: det(A) = la somma di tutti i suoi termini presi con il proprio segno
3. MATRICE AGGIUNTA: la matrice ottenuta da A sostituendo ad ogni elemento il suo complemento algebrico
4. MINORE NON SINGOLARE: un minore M si dice non singolare se det(M) = 0
5. RANGO: il massimo ordine dei minori non singolari estraibili da A
6. SPAZIO AFFINE: si dice spazio affine di dimensione n sul campo K la struttura An(K), costituita da:
   • A = Ø, A = insieme di punti
   • Vn(K) = spazio vettoriale
   • f : A x A → Vn(K) (P,Q) → V = PQ
7. SOTTOSPAZIO AFFINE: sia An(K) uno spazio affine. Si dice sottospazio affine di dimensione m (con m < n) una struttura A’n(K) costituita da:
   • A’ = A, A’ = Ø
   • Vm(K) ⊆ Vn(K)
   • P,Q ∈ A’ → PQ ∈ Vm(K)
8. TRASLAZIONE: dato un vettore v ∈ Vn(K), si dice traslazione individuata da v l’applicazione:
   • T: A → A
   • T(P) = Q, tale che v = PQ
9. SOTTOSPAZIO LINEARE: in An(K) si dice sottospazio lineare di dimensione n

PUNTI:

i sottospazi lineari di dim=0 So=[P,Vo={o}]

RETTE:

i sottospazi lineari di dim=1 S1=[P,V1=L(v)] V1 ha in niti vettori proporzionali a V (stessa direzione ma può cambiare verso e norma)

PIANI:

i sottospazi lineari di dim=2 S2=[P,V2=L(v,w)]

IPERPIANI:

i sottospazi di dimensione=(n-1) → la dimensione più grande che si può prendere in A2(K), nel piano, gli iperpiani sono le in A3(K), nello spazio, gli iperpiani sono i piani

SOTTOSPAZI LINEARI PARALLELI:

due sottospazi lineari Sp=[P,Vp] e Sq=[QWq] di An(K). Si dicono paralleli se Vp Wq oppure Wq Vp

DIREZIONE:

sia s=[P,V1] una retta. Lo spazio vettoriale V1 si dice direzione di s. Due rette parallele hanno la stessa direzione

GIACITURA:

sia =[P,V2] un piano. Lo spazio vettoriale V2 si dice giacitura del piano

PUNTI ALLINEATI:

tre o più punti si dicono allineati se esiste una retta che li

contieneRETTE COMPLANARI: due o più rette sono complanari se esiste un piano che le contiene

RETTE SGHEMBE: in An(k) con n>= 3 , due rette non complanari si dicono sghembe

RIFERIMENTO AFFINE: si dice riferimento a ne di una coppia RA=[O,B] dove : • O è un punto fisso • B è una base di Vn(R)

PUNTO MEDIO: il punto medio del segmento PQ è il traslato di P mediante il vettore 1/2 Q

SIMMETRICO: il punto S si dice simmetrico di P rispetto a C se C è il punto medio di PS

PARAMETRI DIRETTORI: di r=[P,v1] le componenti di un qualunque vettore non nullo di v1

FASCIO IMPROPRIO DI RETTE IN A2(R): l'insieme di tutte è sole le rette di A2(R) parallele a una retta data

FASCIO PROPRIO: l'insieme di tutte e sole le rette di A2(R) passanti per un assegnato punto P

PUNTO SIMMETRICO: il punto S si dice simmetrico del punto P rispetto alla retta r=[R,v1] nella direzione w1 se lo è nella simmetrica di centro c=r s

FASCIO IMPROPRIO DI PIANI IN

A3(R): l'insieme di tutti i piani di A3(R) paralleli a un piano assegnato

FASCIO PROPRIO: l'insieme di tutti i piani di A3(R) passanti per una data retta r (asse del fascio)

STELLA PROPRIA DI RETTE IN A3(R): l'insieme di tutte e sole le rette di A3(R) passanti per un punto assegnato

STELLA IMPROPRIA: l'insieme di tutte e sole le rette di A3(R) parallele a una retta assegnata r

STELLA PROPRIA DI PIANI IN A3(R): l'insieme di tutti e soli i piani di A3(R) passanti per un punto assegnato Po=(Xo,Yo,Zo)

STELLA IMPROPRIA: l'insieme di tutti i piani paralleli a una retta data r

PUNTO SIMMETRICO RISPETTO ALLA RETTA: il punto s si dice simmetrico di P rispetto al punto C dove C=r, dove =[P,V2]