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Criterio di Nyquist per la valutazione della stabilità BIBO di un sistema retroazionato

Il Criterio richiede perciò non solo la conoscenza del diagramma di Nyquist completo (∀ ovvero sia per e

≥ 0

sia per semplicemente sfruttando la simmetria Hermitiana) della risposta in frequenza di ma anche

< 0 ( ),

la conoscenza a priori del numero di poli a parte reale positiva di ( ).

( ) ), ( )

Data una funzione razionale propria si supponga che sia noto il diagramma di Nyquist di per

∈ ℝ(

e che tale diagramma soddisfi le due seguenti condizioni:

∈ ℝ ( )

1. si mantenga interamente al finito, ovvero esista tale che il diagramma di Nyquist di per

> 0 ∈

sia interamente contenuto nel cerchio di centro l’origine e raggio ;

2. non passi (né al finito né all’infinito, cioè neppure asintoticamente, per per il punto del piano

→ ∞)

complesso −1 + 0.

Sotto tali ipotesi, se indichiamo con il simbolo il numero di giri (contati con segno positivo se descritti in verso

( )

antiorario e con segno negativo se descritti in verso orario) che il diagramma di Nyquist di compie attorno

al punto quando varia da a allora,

−1 + 0, −∞ +∞,

= − ( )

dove e rappresentano, rispettivamente, il numero di poli a parte reale positiva di ed il numero di

( ).

poli a parte reale positiva di ( ))

Inoltre, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema retroazionato (catena chiusa con retroazione

unitaria, di funzione di trasferimento:

( )

( )= ( )

1+ ( )

sia BIBO stabile è che . Se, in particolare, il sistema in catena aperta risulta BIBO stabile, e quindi

= ( ))

allora il sistema retroazionato (catena chiusa è BIBO stabile se e solo se Quest’ultima

= 0, = 0.

affermazione è nota con il nome di Criterio ridotto di Nyquist.

La prima ipotesi consiste nel richiedere che:

| ( )| < +∞, ∀ ∈ ℝ

ma pure che:

| ( )|

lim < +∞.

→±

La prima condizione equivale ad escludere la presenza di poli sull’asse immaginario (a parte reale nulla) per la

la seconda ad imporre che sia propria.

( ), ( )

La seconda ipotesi consiste nel richiedere che:

( ) ≠ −1, ∀ ∈ ℝ

ma pure che:

( ) (+∞)

lim = ≠ −1.

→±

La prima condizione equivale ad escludere la presenza di poli sull’asse immaginario (a parte reale nulla) per la

la seconda ad imporre che sia propria.

( ), ( )

Val la pena di evidenziare come in assenza delle due ipotesi non sarebbe possibile valutare quanti sono i giri

che il diagramma compie attorno al punto critico Inoltre si nota come un valore negativo , ovvero il

−1 + 0.

fatto che il diagramma di Nyquist compia almeno un giro in verso orario attorno al punto critico è indicativo del

fatto che e pertanto, anche in assenza di informazioni si può certamente desumere che il sistema

> ≥ 0

retroazionato non sia BIBO stabile.

Estensioni del Criterio di Nyquist

Si analizza nel seguito quali informazioni si possano ugualmente estrapolare dal diagramma di Nyquist di ( ),

quando una o entrambe le due condizioni non siano verificate.

Ipotesi 1

Se l’ipotesi 1 del Criterio di Nyquist non è verificata, la funzione di trasferimento in catena aperta presenta

( )

( )

poli immaginari e pertanto il diagramma di Nyquist di passa per il punto improprio (ovvero va all’infinito) e

risulta quindi una “curva aperta”, per la quale perde significato il concetto di numero di giri attorno al punto −1 +

Per ovviare a questo inconveniente, e riportare il diagramma di Nyquist al finito, possiamo sostituire il

0.

percorso di Nyquist sull’asse immaginario con un percorso di Nyquist modificato che schiva ciascuno dei poli

suddetti, lasciando l’asse immaginario e descrivendo attorno a ciascuno di essi un semicerchio di raggio molto

piccolo (tendente a zero), in verso antiorario oppure in verso orario. Questa deformazione dell’asse immaginario

permette di assimilare i poli immaginari puri a punti del semipiano reale sinistro aperto, se il semicerchio viene

descritto in verso antiorario, oppure del semipiano reale destro aperto, se il semicerchio viene descritto in verso

orario. Adottando la prima convenzione il valore di non viene alterato dal momento che i poli immaginari

vengono assimilati a poli a parte reale negativa, mentre il diagramma di Nyquist subisce una modifica, in quanto

l’immagine del semicerchio di raggio piccolo diviene un semicerchio di raggio enorme che sostituisce il passaggio

per il punto improprio e quindi chiude il diagramma di Nyquist, riportandolo al finito.

Se infatti si suppone che abbia un polo immaginario di molteplicità si può sostituire un segmento della

( ) [ ( ), ( )

retta , e specificatamente il segmento , con un semicerchio di raggio centrato in

= − +

e orientato in verso antiorario. Tale semicerchio viene descritto matematicamente da:

= +

con che varia da a Poiché, per ipotesi, è esprimibile nella forma:

− /2 + /2. ( )

1

( )= ( )

( )

( )

con finito e non nullo, si ha: ( )

1

+ = ∙ + ≈ ∙ =:

( )

dove è una costante complessa, molto grande in modulo. Perciò al variare di da a la curva nel

− /2 + /2

piano di Nyquist corrispondente a tale espressione descrive un angolo di radianti in verso orario e pertanto

| |, ( )

corrisponde approssimativamente ad una curva di forma circolare, di raggio che va dal punto al

( )

punto compiendo giri in senso orario. Adottando tale accorgimento per ogni polo a parte reale

+ /2 ( ),

nulla, tali archi di circonferenza vengono a “raccordare” i tratti della curva aperta rendendo in tal

∈ ℝ,

modo la curva chiusa e permettendo quindi la valutazione del numero di giri che essa compie attorno al punto

In tal modo si riesce infatti a determinare , con che resta invariato e, per differenza, si può

−1 + 0.

calcolare .

Perciò nel caso di un sistema di tipo il diagramma polare completo è una curva chiusa:

0,

mentre nei casi di sistemi di tipo o di tipo (che presentano rami all’infinito) si conviene di completare i

1 2

diagrammi, rispettivamente, con una semicirconferenza e con una circonferenza all’infinito percorsa in senso

orario che parte da ed arriva ad :

= 0 = 0

Ipotesi 2

Se l’ipotesi 2 del Criterio di Nyquist non è verificata, la funzione di trasferimento in catena chiusa presenta

( )

( )

poli immaginari e pertanto il diagramma di Nyquist di passa per il punto improprio (ovvero va all’infinito) e

risulta quindi una “curva aperta”, per la quale perde significato il concetto di numero di giri attorno al punto −1 +

Seppure risulti possibile ovviare anche a questo inconveniente ed adottare un accorgimento che eviti il

0.

passaggio del diagramma di Nyquist per il punto critico al fine di conteggiare una volta noto a priori

−1 + 0,

e valutato graficamente , resta il fatto che quando l’ipotesi 2 viene violata la stabilità BIBO del sistema

retroazionato è certamente assente, dal momento che o non è propria o, se lo è, presenta poli a parte reale

( )

nulla.

Studio della stabilità di un sistema retroazionato con guadagno variabile mediante il criterio di Routh

Sia: ( )

( )= ( )

( ) ( )

con e polinomi monici e coprimi tra loro e variabile, funzione di trasferimento razionale e propria di

( ) ( ).

un processo in catena aperta, dove quindi La funzione di trasferimento del

deg = ≤ = deg

sistema ad anello chiuso, ottenuto per retroazione unitaria negativa a partire da risulta:

( ),

( )

( )= .

( )+ ( )

Dato che la funzione di trasferimento è espressa mediante una rappresentazione coprima, allora è possibile

( )

valutare la posizione dei poli di al variare di applicando il criterio di Routh al polinomio:

≠ 0

( ) ( ) ( ).

= +

Il caso rappresenta un caso a sé, dal momento che per tale valore del parametro diventa la funzione

= 0 ( )

nulla ed è quindi sempre BIBO stabile.

Si procederà allora a determinare, mediante la tabella di Routh o applicando semplicemente la regola dei segni di

Cartesio quando possibile, i valori di tali per cui tutti i coefficienti che compaiono nella prima colonna della

tabella sono non nulli e del medesimo segno, ovvero tali per cui si abbia BIBO stabilità.

IL LUOGO DELLE RADICI

Per valutare la stabilità BIBO del sistema di funzione di trasferimento:

( )

( )= ( )

1+

al variare del guadagno di Evans della funzione di trasferimento in catena aperta:

=

( )

( )= ( )

( ) ( )

con e polinomi monici e coprimi tra loro e variabile si può ricorrere a diverse metodologie:

 il criterio di Routh il quale permette soltanto di stabilire la posizione dei poli di rispetto all’asse

( )

immaginario, ma non la loro collocazione (nemmeno in forma approssimata);

 il criterio di Nyquist il quale permette di ottenere qualche informazione in più rispetto alla sola stabilità

BIBO, quale la robustezza della stabilità, valutabile attraverso la distanza del diagramma di Nyquist dal

punto critico (vedi capitolo dopo);

 il metodo del luogo delle radici il quale permette la determinazione (approssimata) dei singoli poli della

( ),

funzione di trasferimento ad anello chiuso nonché l’individuazione degli eventuali valori critici del

parametro , ovvero con , in rispondenza ai quali si verificano delle transizioni nel

= 1,2, …

,

comportamento del sistema (ad esempio si ha stabilità BIBO per e per ).

≤ ≥

, ,

Definizione del problema e considerazioni preliminari

Sia: ( )

( )= ( )

( ) ( )

con e polinomi monici e coprimi tra loro e variabile, funzione di trasferimento razionale e propria di

( ) ( ).

un processo in catena aperta, dove quindi La funzione di trasferimento del

deg = ≤ = deg

sistema ad anello chiuso, ottenuto per retroazione unitaria negativa a partire da risulta:

( ),

( )

( )= .

( )+ ( )

Per valutare la posizione dei poli nel piano complesso al variare di è allora sufficiente determinare la

≠ 0

collocazione degli zeri del polinomio:

( ) ( ) ( ).

= +

Si definisce luogo delle radici l’insieme dei punti che soddisfano l’equazione:

∈ ℂ

( )= ( )+ ( )=0

al variare di in I punti che soddisfano tale equazione per valori di formano luogo positivo delle

ℝ\{0}. > 0

radici, mentre quelli che la soddisfano per valori di rappresentano il luogo negativo. L’unione dei due

< 0

costituisce il luogo completo.

Al variare di in ogni polo descrive una curva continua nel piano complesso che rappresenterà un ramo del

luogo. Poiché ha grado il luogo consta di rami nel piano complesso, ciascuno associato ad un polo.

( )

Tracciare il luogo delle radici significa, quindi, tracciare i singoli rami associati a ciascuno degli poli. Ogni punto

di ogni ramo è associato ad un ben preciso e unico valore di .

Inoltre la formula che esprime è la seguente:

( )

( ) ( ) ( )

= + = 0 => =− ( )

e non a ogni punto corrisponde un valore ammissibile per essendo i punti del luogo delle radici tutti e soli

∈ ℂ

quelli per i quali l’espressione determina (univocamente) un valore (del guadagno , appunto) reale. Tuttavia

( )

esiste la possibilità che per qualche valore di due o più soluzioni dell’equazione coincidano, portando

= 0

in tal modo alla presenza di poli multipli (doppi, tripli, ecc.).

Nel seguito si considera solamente il luogo positivo e i rami verranno disegnati orientati, con verso di percorrenza

determinato da valori di crescenti nell’intervallo [0, +∞).

Regole per il tracciamento del luogo delle radici

Si elencano nel seguito le proprietà del luogo delle radici (positivo):

1. Un punto appartiene al luogo (positivo) se e solo se vale la seguente coppia di condizioni:

∈ ℂ

a) Condizione di fase: in ogni punto del luogo deve valere:

( ) ( ) ( )

arg = arg[ − arg[ =

( )

dato che essendo:

( )

− = ( ) ( )

⁄ ( )

dall'ipotesi che consegue che deve essere un numero reale negativo, quindi con argomento .

> 0

b) Condizione di modulo: in ogni punto del luogo deve valere:

( )

= ( )

per lo stesso ragionamento fatto per il punto a). ( ),mentre ( )

2. Il luogo consta di rami che partono dagli poli di se qualche polo di ha

molteplicità da esso partono rami.

> ( ) ( ).

Questo poiché per si ha

= 0 =

3. I tratti (o intervalli) dell’asse reale che appartengono al luogo sono quelli che hanno, alla loro destra, un

( ),

numero dispari di poli e zeri reali di contati con la loro molteplicità.

Inoltre con riferimento ai punti del luogo che giacciono sull’asse reale, si può notare che:

 Una volta stabilito che il punto appartiene al luogo, la condizione di modulo permette di

∈ ℝ

determinare il corrispondente valore di .

 L’insieme dei punti dell’asse reale appartenenti al luogo è l’unione, eventualmente vuota, di

intervalli finiti e/o di semirette. La frontiera di tale insieme è rappresentata da tutti e soli i poli e gli

zeri reali di G(s), che pertanto appartengono a loro volta al luogo in senso lato.

 i punti dell’asse reale che non appartengono al luogo positivo soddisfano comunque l’equazione

del luogo ma per un valore di negativo e quindi appartengono al luogo negativo.

4. Il luogo delle radici gode della simmetria coniugata.

Ovvero per ogni ramo non interamente contenuto nell’asse reale, ne esiste un altro che ne rappresenta l’immagine speculare

rispetto all’asse reale. ( )

5. Si ha che rami tendono agli zeri di ed i rimanenti vanno all’infinito.

Inoltre rami tendono a muoversi asintoticamente lungo semirette equispaziate

− −

angolarmente di:

2

e centrate nel punto:

∑ −∑

= − ( ) ( ),

calcolato sottraendo alla somma dei poli di la somma degli zeri di ciascuno contato con la

propria molteplicità, e dividendo questa differenza per . Si noti che per non è necessario

− − = 1

conoscere il centro degli asintoti in quanto l’asintoto è unico e coincide con il semiasse reale negativo.

6. Gli (eventuali) punti multipli (doppi, tripli, ecc.) del luogo vanno ricercati tra le soluzioni (in numero

finito) dell’equazione polinomiale:

( ) ( )

( ) ( )

=

e di tali soluzioni (che rappresentano i punti “candidati” ad essere punti multipli) vanno considerate

solo quelle cui corrisponde un valore di reale e positivo, o equivalentemente quelle con

appartenente all’insieme del luogo positivo.

Procedura per il tracciamento del luogo delle radici

La procedura per il tracciamento del luogo delle radici (positivo) consiste nel determinare:

( ) ( );

1. il grado di e di ( )

2. i poli e gli zeri di e le rispettive molteplicità e ,

3. l’insieme di punti dell’asse reale appartenenti al luogo (Proprietà 3);

4. l’eventuale presenza di punti doppi, valutando se appartengono al luogo (Proprietà 6) e la relativa

( )

molteplicità di quei punti , ricavata sostituendo i corrispondenti ai punto doppio in = 0;

5. gli asintoti e il centro degli asintoti , considerando che:

 ( )

rami tendono agli zeri di ed i rimanenti vanno all’infinito (Proprietà 5);

 ( )

se un polo o uno zero di ha molteplicità da esso partono asintoti equispaziati di

> 1

⁄ (Proprietà 2);

2

 ⁄

se un punto doppio ha molteplicità da esso partono asintoti equispaziati di

> 2 2

(Proprietà 2);

6. le eventuali intersezioni con l’asse immaginario, quindi gli eventuali valori del parametro in

corrispondenza ai quali si ha stabilità BIBO, determinati azzerando prima la parte immaginaria e dopo

( )

quella reale del polinomio e verificando che ovvero:

≥ 0,

( )

Im = 0

( ) ( ) ( )

= Re + Im => ( )

Re = 0

Una volta determinati i parametri precedenti: ( );

a) si tracciano nel diagramma con una X i poli e con una O gli zeri di

b) si traccia il segmento o i segmenti che rappresentano l’insieme di punti dell’asse reale appartenenti al

luogo delle radici;

c) si tracciano i punti doppi appartenenti al luogo;

d) si tracciano gli asintoti e il centro degli asintoti ;

( ), ⁄

e) si fanno partire dai poli di nelle direzioni degli asintoti , rami per ogni polo

2

considerando che il luogo delle radici gode della simmetria coniugata;

f) si fanno convergere nei punti doppi, nelle direzioni degli asintoti , rami per ogni punto

2

doppio;

g) si fanno partire dai punti doppi rami che:

 ⁄ ( )

o vanno nelle direzioni degli asintoti centrati in e tendono all’infinito;

2 −

 ⁄

o vanno nelle direzioni degli asintoti e convergono in un altro punto doppio;

2

 ⁄

o vanno nelle direzioni degli asintoti e convergono in uno zero;

2

h) per determinare, con una maggiore precisione, altri punti del luogo si può calcolare:

( ) ( ) ( ) al variare di

= + = 0 => > 0.

Si noti che il luogo non può mai passare per uno stesso punto per due o più distinti valori di , ovvero il luogo si

interseca solo in presenza dei punti doppi e mai in altri casi.

CONSIDERAZIONI GENERALI SUL CONTROLLO IN RETROAZIONE E SULLE PRESTAZIONI DEL SISTEMA

RETROAZIONATO

Nel seguito si considera uno schema di controllo in retroazione unitaria e, con riferimento ad esso, si evidenzia

come la retroazione da un lato possa diminuire considerevolmente il tempo di salita, e quindi migliorare le

caratteristiche dinamiche del sistema, ma dall’altro possa introdurre alcuni problemi, perciò la soluzione

rappresenta tipicamente un compromesso tra esigenze contrastanti.

Descrizione dello schema di controllo e considerazioni preliminari

( )

Si consideri lo schema di figura in cui rappresenta il compensatore. Tale schema di controllo in retroazione

viene detto ad un grado di libertà in quanto il processo è supposto noto o comunque fissato e non

( )

modificabile, mentre la funzione di trasferimento rappresenta il grado di libertà del progetto. Essa dovrà

( )

essere progettata in modo da garantire i migliori requisiti per il sistema (stabilità BIBO del risultante sistema,

buoni tempi di salita e di assestamento per la risposta al gradino del sistema retroazionato ed altre proprietà).

Considerando le seguenti relazioni:

( )= ( ) ( )

( )= ( ) ( )

( ) ( )− ( )

= ( )

la funzione di trasferimento del sistema retroazionato è data da:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = − = − =>

( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( ) ( )= ( ) ( )=

=> =>

( ) ( ) ( ) ( )

1+ 1+

( ) ( )

dove indicando la funzione di trasferimento in catena aperta nel modo seguente:

( ) ( )= ( )

si può scrivere:

( )

( )= ( )

1+

Nota ( )

Ci si chiede allora se è lecito attribuire alla funzione poli che cancellino corrispondenti zeri (o viceversa zeri

( ). ( ))

che cancellino corrispondenti poli) in Una tecnica di progetto (di basata sulla sistematica

introduzione di cancellazioni zero-polo permetterebbe una drastica riduzione della complessità del sistema

( ) ( )

complessivo. Si potrebbe, addirittura, attribuire a un ordine (grado del denominatore in una

( ). ( )

fattorizzazione coprima) inferiore a quello di Al limite (sopprimendo, eventualmente, il vincolo che sia

( )

una funzione propria) si potrebbero cancellare tutti i poli e zeri di e assegnare alla funzione di trasferimento

( ) ( ),

in catena aperta, un’espressione completamente arbitraria.

Tuttavia vari motivi sconsigliano una procedura basata sulle cancellazioni zero-polo: ( )

1. Tale procedura è realizzabile solo in via teorica in quanto nelle applicazioni pratiche poli e zeri di non

sono noti esattamente, ma con una certo grado di indeterminazione, ed i loro valori potrebbero risentire

di variazioni delle condizioni di funzionamento (ad esempio, variazioni della temperatura ambientale)

(vedi esempio a pag. 249 del libro).

( )

2. è tipicamente una funzione molto complessa, ovvero costituita da un elevato numero di poli e zeri,

perciò tale procedura porterebbe ad un compensatore di struttura estremamente complessa.

3. Tale procedura può far “scomparire” un modo instabile dalla risposta impulsiva del sistema complessivo,

assicurando la BIBO stabilità del risultante sistema retroazionato, ma pregiudicando il conseguimento

della stabilità asintotica per lo stesso sistema.

Tipo di un sistema retroazionato ( ), (0)

Il sistema di funzione di trasferimento supposto strettamente proprio, BIBO stabile e con (si noti

≠ 0

( ) (0)

che ciò richiede che sia strettamente propria e è di tipo se esso insegue con errore di regime

≠ 0)

permanente costante ma non nullo il segnale canonico:

( )= ( ).

( ) ! ( )

In altri termini, se si indica con la risposta (forzata) del sistema al segnale di ingresso:

( )

( ) ( ),

= ( )

il sistema è di tipo se l’errore di regime permanente:

( ) ( )− ( )

≔ lim ( ) ( )

esiste finito ed è un numero (reale) non nullo. (0)

Allora il sistema è di tipo di tipo se e solo se e in tal caso:

0 ≠ 1,

( ) [ [

( )− ( ) ( )− (0) ( ) (0).

≔ lim = lim =1−

→ →

mentre il sistema è di tipo di tipo se e solo se:

≥ 1

( ) ( ) ( )

(0) (0) (0) (0)

= 1, =. . . = = 0, ≠ 0

e in tal caso: ( ) (0)

( ) =− .

!

Supponendo che:

( ) ( ) ( )

( )= = .

( ) ( )

1+ ( )

1+

e osservando che:

(0)

(0) = (0)

1 + (0) (0) (0)

allora condizione necessaria e sufficiente affinché è che ovvero abbia un polo

= 1 → ∞,

( ) (0)

nell’origine. Perciò è di tipo se e solo se è priva di poli nell’origine, inoltre ciò assicura che:

0

(0) =

e dunque: 1 1

( )

(0) (0)

= => = 1 − = =

(0)

1 + 1 +

( ) ( )

Ma allora è di tipo se e solo se ha un polo di molteplicità nell’origine.

≥ 1 ≥ 1

DIMOSTRAZIONE

Si supponga che:

( )= ( )

( ) ) (0)

con e allora:

∈ ℕ, ∈ ℝ( = 1,

( )

( )= .

( )+

Applicando il teorema del valore finale all’errore di regime permanente si ottiene:

( )

1 1 1 1

( ) ( )

= lim ∙ − = lim ∙ − =

( )+

→ →

0, > ,

1 , = ,

= lim =

( )+

→ ∞, < . ( )

e pertanto, dalla definizione di tipo di un sistema, è di tipo se e solo se (c.v.d.) e in tal caso:

≥ 1 =

1

( ) = .

■ ( )

Legame tra pulsazione di attraversamento di e banda passante di ( )

( ) )

Sia una funzione di trasferimento razionale propria. Si definisce:

∈ ℝ(

 ( ),

pulsazione di attraversamento di e la si indica con il simbolo , quella pulsazione positiva (se

( )

esiste ed è unica) in corrispondenza alla quale il diagramma di Bode delle ampiezze di attraversa

l’asse delle ascisse, ovvero la soluzione (se esiste ed è unica) dell’equazione:

( ) ( )

= 20 log = 0,

o equivalentemente la soluzione dell’equazione:

( ) = 1.

e quando esiste, in corrispondenza di stesso:

 ( ),

fase di attraversamento di la grandezza:

( )

≔ arg

 ( ),

margine di fase di la grandezza:

≔ +

Si noti inoltre la soluzione dell’equazione per determinare non ammette necessariamente soluzione e tale

soluzione è assente se e solo se:

 ( ) è strettamente propria tale soluzione e il diagramma delle ampiezze è posizionato tutto al di sotto

dell’asse delle ascisse;

 ( ) è propria, ma non strettamente propria, e il diagramma delle ampiezze è collocato tutto al di sopra

o tutto al di sotto dell’asse delle ascisse;

mentre tale soluzione non è unica quando poli e zeri si alternano generando un diagramma delle ampiezze che

attraversa più volte l’asse delle ascisse.

Diagramma di Nyquist ( ),

In termini di diagramma di Nyquist di si trova:

≥ 0

 pulsazione e fase di attraversamento rappresentano la pulsazione e l’angolo con cui il diagramma

attraversa la circonferenza unitaria di centro l’origine;

 il margine di fase tiene conto della distanza angolare del punto in cui il diagramma attraversa il cerchio

unitario (punto corrispondente alla pulsazione di attraversamento ) dal punto critico −1 + 0;

 per quanto riguarda la stabilità BIBO, quando sia possibile definire la pulsazione di attraversamento , la

condizione equivale alla situazione in cui il margine di fase è una quantità positiva: un margine di

= 0

fase (distanza dal punto critico piccolo è indicativo di un comportamento al limite

−1 + 0)

dell’instabilità e quindi indesiderabile, tuttavia si noti che un margine di fase elevato non può essere

sempre interpretato come indicativo di una situazione favorevole.

Si noti che l’esistenza di più pulsazioni di attraversamento impedisce sia di trarre le precedenti conclusioni

immediate sulla stabilità ad anello chiuso (il diagramma di Nyquist potrebbe entrare nel cerchio unitario sotto il

punto critico, quindi uscirvi ed infine rientrarvi aggirando il punto critico), sia di mettere in relazione i parametri di

( ) ( ),

con quelli di ovvero di trarre le conclusione seguenti.

( ) ( )

Relazione tra i parametri di e di

Nell’ipotesi che esista e sia unica sono valide le seguenti considerazioni:

 ( )

Quando la funzione di trasferimento del sistema a catena aperta presenta solo poli e/o zeri

sufficientemente lontani da e la pendenza del diagramma di Bode nell’intorno di è di , il

−20 /

( )

sistema ad anello chiuso si comporta come un sistema del primo ordine e la banda passante ad

anello chiuso può essere ben approssimata dalla pulsazione , mentre il picco di risonanza relativo

risulta assente: ↔

 Nel caso generale invece la banda passante ad anello chiuso può essere ben approssimata dalla

pulsazione , mentre dal margine di fase è possibile determinare il picco di risonanza e di

conseguenza il picco di risonanza relativo : ↔ ; ↔

Si noti inoltre che affinché il sistema retroazionato si comporti in maniera accettabile Dl punto di vista di è

necessario che la funzione di trasferimento in catena aperta presenti un margine di fase sufficientemente elevato:

considerazioni empiriche portano a stimare come valore minimo accettabile per il il valore /4.

Reiezione di disturbi costanti

) )

Si supponga che sia una funzione propria, con e che sia un controllore

( ) ∈ ℝ( (0) ≠ 0, ( ) ∈ ℝ(

proprio, progettato in modo tale che il sistema di funzione di trasferimento sia proprio e BIBO stabile e

( )

soddisfi a certe specifiche e si consideri il caso in cui il segnale di disturbo sia un segnale a gradino:

( )= ( ).

Nel seguito si determina sotto quali condizioni tale disturbo, a regime, non esercita alcun effetto sull’uscita del

sistema, ovvero sotto quali condizioni è possibile la reiezione a regime del disturbo in uscita.

Tramite il principio di sovrapposizione degli effetti, calcolando la funzione di trasferimento da disturbo a uscita,

( ),

annullando il segnale la componente dell’uscita dovuta al solo disturbo è data da:

( )

( )= ( ) ( )= ( ).

( ) ( )

1+

( )

Allora se il controllore stabilizza il sistema (con ciò intendendo la funzione di trasferimento la

( )),

( ) ( ) ( )

funzione ha tutti i poli a parte reale negativa e quindi anche la funzione di trasferimento è

1 + ( )

BIBO stabile. Allora applicando il teorema del valore finale è possibile valutare l’effetto di sull’uscita:

(∞) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0)

= lim = lim ∙ = lim ∙ = lim ∙ = lim =

→ → → → →

ovvero condizione necessaria e sufficiente affinché il disturbo costante a regime non abbia nessun effetto

(0) ( )

sull’uscita è che o, equivalentemente, che abbia un polo in zero e quindi sia di tipo

= 0 ≥ 1.

Inseguimento di segnali di riferimento sinusoidali ).

Si consideri un processo lineare e tempo-invariante, di funzione di trasferimento razionale e propria ( ) ∈ ℝ(

e si supponga che abbia tutti i poli sul semipiano reale negativo aperto tranne, al più, un eventuale polo

( )

nell’origine di molteplicità arbitraria e che il segnale di riferimento sia di tipo sinusoidale causale:

( )= ) ( ).

cos( +

Nel seguito si determina come progettare un controllore lineare e tempo-invariante, di funzione di trasferimento

( ) ),

razionale e propria in modo tale che il sistema retroazionato di funzione di trasferimento:

∈ ℝ(

( ) ( ) ( )

( )= = .

( ) ( )

1+ ( )

1+

sia BIBO stabile, oltre a soddisfare a certe specifiche, ed in insegua con errore a regime nullo il riferimento

sinusoidale in ingresso, ovvero il segnale di errore

( )= ( )− ( )

converga a zero per → ∞. ( )

Tramite le Laplace trasformate di si ottiene: ( ) 1

( ) ( )− ( )= ( )− ( ) ( )= ( )= ( )

= 1− ( ) ( )

1+ 1+

e se si considera irriducibile la seguente rappresentazione:

( )

( )= ( )

si può scrivere: ( )

1 1

( )= ( )= ( )= ( )= ( ) ( )

( ) ( )+ ( )

( )

1+ 1+ ( )

( )

Allora se il controllore stabilizza il sistema (con ciò intendendo la funzione di trasferimento la

( )),

( ) ( )

funzione ha tutti i poli a parte reale negativa e quindi anche la funzione di trasferimento è BIBO

1 +

stabile e si può scrivere:

( ) + + ,

( )= = +

( )+ ( ) ( )

+ +

e nel dominio del tempo:

( )= )+ )

cos( sin( + , !

)

e dato che , ne consegue che per

Re( < 0, ∀ = 1, … , → ∞:

( )≈ )+ )

cos( sin(

così che:

( )

lim = 0

se e solo se che equivale a richiedere che il termine non compaia al denominatore in una

= = 0, +

rappresentazione irriducibile di Perciò condizione necessaria e sufficiente perché l’inseguimento del segnale

( ). ( )

sinusoidale sia possibile con errore nullo è che la funzione di trasferimento in catena aperta abbia al

denominatore in una rappresentazione irriducibile il fattore , pertanto se si parte dal solo processo

+ ( ),

la condizione diventa quella di scegliere un controllore avente al denominatore (ed eventuali poli

′( ) +

in e guadagno di Bode sufficientemente alto, in valore assoluto, così da soddisfare eventuali specifiche su tipo e

0

relativo errore a regime).

PROGETTO DEL COMPENSATORE

Ipotesi di partenza e specifiche di controllo ).

Si consideri un processo lineare e tempo-invariante, di funzione di trasferimento razionale e propria ( ) ∈ ℝ(

e si supponga che abbia tutti i poli sul semipiano reale negativo aperto tranne, al più, un eventuale polo

( )

nell’origine di molteplicità arbitraria e che possa essere scritta come:

( )

( )= ( )

( ) ) (0)

con e

∈ ℕ, ∈ ℝ( = 1.

L’obiettivo è quello di progettare un controllore lineare e tempo-invariante, di funzione di trasferimento razionale

( ) ),

e propria in modo tale che il sistema retroazionato di funzione di trasferimento:

∈ ℝ(

( ) ( ) ( )

( )= = .

( ) ( )

1+ ( )

1+

sia BIBO stabile e siano raggiunti i seguenti obiettivi di controllo:

( )

1. il sistema retroazionato sia di tipo e

( )= ( )

2. risponda al segnale canonico con errore di regime permanente (costante e non

( ) !

( ) ∗

nullo) non superiore ad un massimo valore tollerato ; ∗

3. la sua risposta al gradino abbia un tempo di salita pari all’incirca ad un valore desiderato e

4. una massima sovraelongazione non superiore ad un valore massimo accettabile ed un tempo di

assestamento non superiore ad un valore massimo accettabile .

I primi due obiettivi (assieme alla BIBO stabilità) sono relativi al comportamento del sistema in regime

permanente (in quanto si riferiscono al comportamento del sistema per valori elevati di , ovvero

asintoticamente) e sono specifiche di precisione, mentre gli ultimi due obiettivi riguardano il comportamento del

sistema in fase transitoria e sono specifiche di prontezza qualità di risposta del sistema, con riferimento alla

risposta al gradino.

Si può notare inoltre come i precedenti obiettivi si possono tradurre come segue:

( )

1. il sistema retroazionato sia di tipo e

( )= ( )

2. risponda al segnale canonico con errore di regime permanente (costante e non

( ) !

( ) ∗

nullo) non superiore ad un massimo valore tollerato ; ( ) ( )

3. la pulsazione di attraversamento della funzione di trasferimento in catena aperta deve

approssimare un valore desiderato e ∗

( ) ( )

4. il margine di fase di (alla pulsazione ) deve essere maggiore o uguale ad un valore

∗ ∗

minimo (come accennato in precedenza tipicamente deve essere ≥ 45°).

( )

Perciò il compensatore deve essere progettato in modo da:

1. introdurre uno (o più) poli nell’origine nella funzione di trasferimento in catena aperta al fine di

incrementata il tipo del sistema retroazionato, o anche, per migliorare la sua capacità di reiezioni dei

disturbi;

2. aumentare il guadagno della funzione di trasferimento Scatena aperta per rispondere al requisito

sull’errore di regime permanente e talora per aumentarne la pulsazione di attraversamento

(considerando tuttavia che un guadagno troppo elevato può costringere l’ingresso ad assumere valori

troppo elevati);

3. introdurre uno o più zeri reali negativi, che in virtù dello sfasamento positivo da essi introdotto, possono

essere necessari sia per la stabilità che per garantire un buon margine di fase;

4. introdurre, talvolta, anche dei poli reali negativi, al fine di ridurre se necessario, ;

5. introdurre zeri e/o poli stabili per indurre in qualche cancellazione zero-polo, al fine ottenere

( ) ( )

un’espressione più “abbordabile” per con una conseguente riduzione di complessità del

( ) ( )

processo di sintesi.

Questa strategia di progetto è nota come tecnica di sintesi per tentativi.

Progettazione del controllore al fine di soddisfare i vincoli su tipo ed errore di regime permanente

Se viene chiesto che il sistema retroazionato sia di tipo è necessario rendere la molteplicità del polo nell’origine

della funzione di trasferimento in catena aperta pari a , pertanto:

 Se le specifiche sul tipo e sull’errore di regime permanente sono automaticamente soddisfatte.

<

 Se allora è sufficiente attribuire al controllore un polo nell’ origine di molteplicità .

≥ ( ) −

Se allora da: Se allora da:

= 0 ≥ 1

1 1

( ) ( )

∗ ∗

= ≤ = ≤

( ) ( ) ( ) ( )

1+ 1+

segue la condizione: segue la condizione:

1 1

1 1 1 1 ∗

( )≥ ≔ .

( )≥ ≔ −1 ≅ . ∗

( )

∗ ∗

( ) ( )

( )

È consuetudine scegliere (eventualmente arrotondando per eccesso) e attribuire quindi al

=

controllore la struttura preliminare:

( )= .

Progettazione del controllore al fine di soddisfare i vincoli su pulsazione di attraversamento e margine di fase

( ),

Una volta determinata la struttura preliminare del controllore si graficano i diagrammi di Bode (ampiezza e

( ) ( )

fase) di al fine di valutare la pulsazione di attraversamento effettiva e la quantità:

∗ ∗ ∗

( ) ( ) ( )

≔ arg + 180°

che rappresenta il margine di fase che si avrebbe se invece della pulsazione di attraversamento effettiva si

avesse come pulsazione di attraversamento proprio .

∗ ∗

( )≈ ( ) ( )

Se e allora permette già il soddisfacimento delle specifiche e pertanto

≈ ≥

( ) ( ).

si può assumere In caso contrario sono necessarie ulteriori azioni di controllo che dipendono da

=

quale delle seguenti situazioni si sta verificando:

∗ ∗

( )

(i) e ;

< ≥ ∗

∗ ∗

( )

(ii) e ;

< < ∗

∗ ∗

( )

(iii) e ;

> ≥ ∗

∗ ∗

( )

(iv) e .

> < ∗

∗ ∗

( )

Caso (i): e

< ≥

In questa situazione il problema è risolubile “alzando” il diagramma delle ampiezze e lasciando inalterato il

diagramma delle fasi. In questo caso, il compensatore finale sarà descritto dalla funzione di trasferimento:

( ) ∆ ∗

( )= = 10 ∙

dove è la distanza, in , del diagramma delle ampiezze dall’asse asse delle ascisse, in corrispondenza

∆ > 0 ∗

alla pulsazione . ∗

∗ ∗

( )

Caso (ii): e

< <

In questa situazione il problema è risolubile sollevando entrambi i diagrammi, sia quello delle ampiezze che quello

delle fasi. Per fare ciò si può ricorrere ad una rete anticipatrice:

1+ cos − 1 − cos

( )= dove e

= ; = 0 < < 1; > 0

( )

1+ − cos sin

essendo: 1 1

∗ ∗

( ) se e solo se è verificato il vincolo

≔ ; = − >

∗ ∗

| ( ) ( )| cos

∗ ∗

( )

Caso (iii): e

> ≥

In questa situazione il problema è risolubile abbassando entrambi i diagrammi, sia quello delle ampiezze che

quello delle fasi. Per fare ciò si può ricorrere ad una rete attenuatrice (detta anche rete ritardatrice):

(cos )

1+ − cos − 1

( )= dove e

= ; = 0 < < 1; > 0

1+ 1 − cos sin

essendo: 1 1

∗ ∗

( ) se e solo se è verificato il vincolo

≔ ; = − <

∗ ∗

| ( ) ( )| cos

∗ ∗

( )

Caso (iv): e

> <

In questa situazione il problema è risolubile abbassando il diagramma delle ampiezze e sollevando il diagramma

delle fasi. Per fare ciò si può ricorrere ad una rete a sella:

1+ 1+ 1 1 1 1

( )= dove e

< ≤ < 0 < < 1; > 0

, ,

1+ 1+

descritta dal collegamento in cascata di una rete attenuatrice e di una rete anticipatrice. La rete attenuatrice mira

a sistemare la specifica sulla pulsazione di attraversamento, ma tipicamente causa una riduzione del margine di

fase, mentre la rete anticipatrice, che va messa dopo la rete attenuatrice, ha l’obiettivo di alzare la fase.

Stabilità del sistema retroazionato e criterio di Bode

Il criterio di Bode afferma quanto segue:

Se la funzione di trasferimento in catena aperta non ha poli a parte reale positiva e il suo guadagno di

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Bode è positivo, allora il risultante sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se il margine

di fase di è positivo.

( ) ( )

Controllori PID

Con il simbolo PID si indicano controllori che realizzano sul segnale al loro ingresso la combinazione lineare di tre

azioni: un’azione proporzionale (P), un’azione integrativa (I) e un’azione derivativa (D) e vengono pertanto

descritti dalla seguente funzione di trasferimento: 1+ +

+ +

1

( )= + + = 1+ + = =

⁄ ⁄

dove è la costante di tempo dell’azione integrale e è la costante di

, , ∈ ℝ, = =

tempo dell’azione derivativa.

Si noti allora come:

 il polo nell’origine (1/ ) può essere utilizzato per incrementare il tipo del sistema;

 il guadagno di bode ( ) può essere utilizzato per sistemare l’errore di regime permanente;

 i parametri ( e ) possono essere utilizzati per introdurre due zeri reali negativi al fine di sistemare i

problemi di pulsazione di attraversamento e margine di fase.

Come casi particolari sono possibili controllori più semplici quale il PI (per il PD (per il P (per

= 0), = 0),

e l’I (per

= = 0) = = 0).


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Albevic

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria elettrica
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Albevic di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controlli automatici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Valcher Maria Elena.

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