Riassunto teoria di Controlli automatici

ANALISI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI A TEMPO CONTINUO NEL DOMINIO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE

Trasformata di Laplace

Sia la somma di una funzione reale o complessa di variabile reale, localmente sommabile in

( ), ∈ ℝ, [0, +∞),

e di una famiglia finita di segnali impulsivi di vario ordine. Si chiama trasformata di Laplace di la funzione

complessa di variabile complessa che, se esiste, è definita dal seguente integrale:

= +

[

( ) ( ) ( )

= :=

L ( )

Si può dimostrare inoltre che se esiste un numero complesso tale che esiste finita, allora per ogni

numero complesso la cui parte reale sia maggiore della parte reale di , l’integrale che definisce esiste

( )

finito: si parla di semipiano di convergenza della trasformata di Laplace. In generale, esiste sempre un numero

reale , eventualmente infinito, tale che la trasformata di Laplace esiste per ogni con . Il più

∈ ℂ ( ) >

piccolo numero reale a per cui ciò avviene viene detto ascissa di convergenza.

Antitrasformata di Laplace

)

Ogni funzione può essere decomposta in frazioni parziali (o fratti semplici) di cui è nota

( ) ∈ ℂ( )\{0}

l’antitrasformata di Laplace. Una generica funzione razionale può essere scritta nella forma:

( ) ∈ ℂ(

( )

( )= ̅( ) ̅ ̅

( ) ( ) ). ( ) ( )

Con e polinomi non nulli in Non c’è perdita di generalità inoltre nel supporre che e

ℂ(

( )

siano privi di fattori comuni, ovvero sia irriducibile.

La procedura per il calcolo dell’antitrasformata di si articola nei seguenti passi:

( )

Passo 1

Ricorrendo all’algoritmo di divisione euclidea tra polinomi si ha:

̅(

( ) ( ) ) ( )

= + ̅

( ) ( ) ( ) ( ).

dove e sono i polinomi rispettivamente quoziente e resto e Si ha perciò:

deg < deg

̅(

( ) ) ( ) ( )

+

( )= ( )+ ( )

= = +

̅( ̅(

) )

( ) ( )

dove e è una funzione strettamente propria.

= L

Pertanto in virtù della linearità:

[ ( ) ( ) ( )

= +

L L

Passo 2 ̅ ( )

In quanto polinomio monico può essere fattorizzato nella forma:

̅( ) ( ) ( ) ( )

= − − ⋯ −

dove sono numeri complessi distinti tra loro e i coefficienti sono interi strettamente

, , … , , ,…,

positivi. Si ha perciò: ( )

( )= ( ) ( ) ⋯( )

− − −

ovvero decomposta in fratti semplici nel seguente modo:

,

( )= ( )

− ( ).

dove i coefficienti vengono determinati uguagliando le due precedenti rappresentazioni di

,

Si ottiene perciò: ,

( )= + ( )

−

Passo 3

Si determina l’antitrasformata:

( )= ( ) ( )

+ , !

( )

dove se è strettamente propria ( ) nella sua antitrasformata non compaiono termini impulsivi.

>

( )

Inoltre se è propria ( ) ma non strettamente propria (ovvero ) si ha:

≥ =

( )= ( )− .

Impiego della trasformata di Laplace nell’analisi dei sistemi

Si consideri un sistema SISO, LTI, causale e a tempo continuo descritto dal consueto modello ingresso/uscita:

( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( )

+ + ⋯+ + + ⋯+

valido per , dove rappresenta l’ingresso causale, l’uscita e si suppone che i coefficienti e , con

∈ ℝ

siano reali e noti e che . Le condizioni iniziali sono espresse dall' -upla:

, ≠ 0, ≥

( ) ( )

(0 ), (0 ), (0 ).

…,

Dalla proprietà della trasformata di Laplace della derivata segue:

( ) ( )

( )− (0 )

= , = 1,2, … ,

L

mentre por l’ingresso valgono le relazioni:

( ) ( ),

= = 1,2, … ,

L

essendo un segnale causale.

Applicando ora la trasformata di Laplace ad entrambi i membri dell’equazione differenziale si ottiene:

( ) ( )

( )− (0 ) ( )− (0 ) ( )

+ + ⋯+

( )+ ( ) ( )

= + ⋯+

ovvero ( )

( ) ( )− (0 ) (0 ) (0 )

+ + ⋯+ − + −⋯

( ) (0 ) ( ) ( )

− = + + ⋯+

Ponendo ora:

( )≔ + + ⋯+ ( ) ( )

( )≔ (0 ) (0 ) (0 ) (0 )

− + − ⋯−

( )≔ + + ⋯+

dove:

 ( ) è un polinomio di grado coinvolto nell’espressione dell’equazione caratteristica associata

all’equazione differenziale;

 ( ) è un polinomio di grado al più i cui coefficienti sono combinazioni lineari delle condizioni

− 1

iniziali;

 ( ) è un polinomio di grado i cui coefficienti sono i pesi con cui compaiono le diverse derivate

≤

dell’ingresso nell’equazione differenziale.

Si può riscrivere quindi:

( ) ( )− ( )= ( ) ( )

che conduce alla trasformata di Laplace del segnale di uscita:

( )

( )

( )= ( )= ( )+ ( )= ( )+ ( )

+ ( )

( )

( ) ( ) ( ),

dove è immediato riconoscere in la trasformata di Laplace dell’evoluzione libera

( )/ ( ) ( )

⁄ ( ) ( ) ( )

corrispondente alle condizioni iniziali assegnate, e in la trasformata di Laplace della

( ).

componente forzata

La funzione razionale propria (strettamente propria se , ovvero se il sistema è strettamente proprio):

>

( ) + + ⋯+

( )= =

( ) + +⋯+ ( )

prende il nome di funzione di trasferimento del sistema. Essa lega la trasformata di Laplace di alla

trasformata di Laplace dell’ingresso e coincide con la trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema.

( ) ( ) ( ) ( ),

Infatti avendo identificato con la trasformata di Laplace della componente forzata e

( ) ( )( ),

sapendo che dalla proprietà della trasformata relativa al prodotto di convoluzione segue che:

= ∗ [( [

( ) ( )= ( )= ( ) )( ) ( ) ( ).

= ∗ =

L L L ( )

Ciò permette di identificare la funzione di trasferimento con la trasformata di Laplace della risposta

( ) ( ),si ( )

impulsiva. Alternativamente si può osservare che in corrispondenza a ottiene e quindi

= = 1

( ) ( ).

=

STABILITÀ DEI SISTEMI A TEMPO CONTINUO E RISPOSTA DI REGIME PERMANENTE

Definizioni e caratterizzazioni della stabilità

Si consideri un sistema SISO, LTI, causale e a tempo continuo descritto dal consueto modello ingresso/uscita:

( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( )

+ + ⋯+ + + ⋯+

valido per , dove rappresenta l’ingresso, l’uscita e si suppone che i coefficienti e , con

∈ ℝ , ≠ 0,

siano reali e noti e che .

≥

Asintotica stabilità

Il sistema definito viene detto asintoticamente stabile se, in assenza di ingresso di controllo, le traiettorie di uscita

in evoluzione libera convergono asintoticamente a zero, in corrispondenza ad ogni possibile -upla di condizioni

iniziali. Ovvero, per ogni scelta di

( ) ( )

(0 ), (0 ), (0 )

…,

e in corrispondenza a si ha:

( ) = 0, ∀ ∈ ℝ,

( ) ( )

lim = lim = 0.

→ →

Dall’espressione dell’evoluzione libera del sistema:

( )= , !

in virtù della completa arbitrarietà delle condizioni iniziali, e quindi dei coefficienti , la stabilità asintotica

,

richiede che tutti modi elementari siano funzioni convergenti a zero. Ciò accade se e solo se tutte le radici

dell’equazione caratteristica hanno parte reale negativa. Si ha allora che sono fatti equivalenti:

 il sistema è asintoticamente stabile;

 tutti i modi elementari del sistema sono convergenti;

 ∑

il polinomio ha tutti gli zeri a parte reale negativa: un polinomio le cui radici

( ): = ( )

abbiamo tutte parte reale negativa è noto come polinomio di Hurwitz.

BIBO stabilità

Il sistema definito viene detto BIBO (bounded input/bounded output) stabile se, a partire da condizioni iniziali

nulle, il sistema risponde ad ogni ingresso causale limitato con un'uscita (causale) limitata. Ovvero, posto:

( ) ( )

(0 ), (0 ), (0 )

…, = 0 | ( )|

per ogni ingresso causale per il quale esiste tale che è possibile

( ), ∈ ℝ, > 0 ≤ , ∀ ≥ 0,

| ( )| ( )

determinare tale che

> 0 = ≤ , ∀ ≥ 0.

In termini della risposta impulsiva, iI sistema è BIBO stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile,

ovvero:

| ( )| < +∞.

DIMOSTRAZIONE della sufficienza

( )

Si supponga che sia sommabile. Se per l’ingresso causale esiste tale che:

( ), ∈ ℝ, > 0

| ( )| ≤ ,∀ ≥ 0

allora:

| ( )| ( ) ( ) ( ) | ( )|| ( )| | ( )|

= = − ≤ − ≤ − =

| ( )| | ( )|

= ≤ < +∞

■

Dall’espressione della risposta impulsiva del sistema:

( )= ( )+ ( )

, ! ( )

dato che il termine impulsivo dà sempre un contributo finito all’integrale ( ), l’unica possibilità

=

affinché la risposta impulsiva sia sommabile è che lo sia parte non impulsiva, ovvero che tutti i termini di tipo

esponenziale e/o sinusoidale (pesati con coeff. siano convergenti. Si ha allora che sono fatti equivalenti:

≠ 0)

,

 il sistema è BIBO stabile;

 ( ),

tutti i modi elementari che compaiono nella risposta impulsiva del sistema sono convergenti;

∈ ℝ,

 ( )

la funzione di trasferimento (razionale propria) del sistema ha tutti i poli nel semipiano sinistro

)

aperto Re( < 0.

Legame tra asintotica stabilità e BIBO stabilità

Nel dominio del tempo, la stabilità asintotica è equivalente al fatto tutti modi elementari siano convergenti. Se ciò

accade, ogni selezione di tali modi elementari risulterà composta da modi elementari convergenti e quindi lo sarà,

in particolare, la famiglia dei modi elementari che compare nella risposta impulsiva, garantendo in tal modo la

BIBO stabilità. ( ),

Nel dominio delle trasformate, la stabilità asintotica è legata alla collocazione degli zeri del polinomio

mentre la stabilità BIBO è completamente determinata dai poli della funzione di trasferimento In generale i

( ).

poli di rappresentano un sottoinsieme dell’insieme degli zeri di dal momento che i poli di

( ) ( ), ( )

coincidono con gli zeri del polinomio al denominatore di una rappresentazione irriducibile e la rappresentazione

( ) ( )

⁄ ( ) che la funzione di trasferimento eredita dal sistema definito non è detto lo sia. Da ciò segue

=

immediatamente che la stabilità asintotica assicura sempre la stabilità BIBO mentre non vale il viceversa, la

( ) ( ).

ragione di questa disparità risiede nella presenza di eventuali cancellazioni tra e Qualora, infatti, tutti gli

( ) )

eventuali zeri “instabili” di (ovvero gli zeri collocati in siano anche zeri di di molteplicit&a