Riassunto teoria di Controlli automatici

Controlli automatici: analisi della dinamica dei sistemi a tempo continuo nel dominio del tempo

Evoluzione libera di modelli ingresso/uscita SISO

I modelli ingresso/uscita SISO LTI causali a tempo continuo vengono descritti da un'equazione differenziale lineare del tipo:

( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )+ + ⋯+ + + ⋯+

dove rappresenta l’ingresso, l’uscita e si suppone che i coefficienti e, con siano reali e noti e, ≠ 0, che. Un sistema caratterizzato da viene detto proprio e da strettamente proprio.

Si suppone inoltre che tale equazione regoli la dinamica del sistema dall’istante in poi. = 0

Le condizioni iniziali sono rappresentate dall’ -upla:

( ) ( )( ) ( )( )| (0 ), (0 ), (0 )= = …, =

La soluzione dell’equazione può sempre essere ottenuta come somma della soluzione dell’omogenea ad essa associata e di una soluzione particolare, e tale somma dovrà poi essere vincolata a soddisfare l’ -upla di condizioni iniziali per definire la soluzione in maniera univoca. Solitamente si sceglie come soluzione dell’omogenea quella ottenuta in corrispondenza all’ -upla di condizioni iniziali, nota come evoluzione libera, e come soluzione particolare quella ottenuta a partire da condizioni iniziali tutte nulle, nota come evoluzione forzata.

Evoluzione libera

All’equazione omogenea si può associare l’equazione caratteristica del sistema:

( ) = =0

Le soluzioni distinte di questa equazione prendono il nome di radici caratteristiche ≤ , , …, dell’equazione. La soluzione generale dell’omogenea può essere espressa allora nella forma:

( )= , !

per opportuni interi positivi , che rappresentano le molteplicità dei e per opportuni coefficienti. ( )

Nel momento in cui si determinano i coefficienti, in modo tale che la soluzione fitti la specifica -upla di condizioni iniziali assegnate, si ottiene l’evoluzione libera dell’uscita del sistema.

( )=

Si ha inoltre che un generico modo elementare con e , è:

• Convergente (a zero) se lim = 0;
• Limitato se esiste tale che per ogni ≤ ≥ 0;
• Divergente se non è limitato.

oppure equivalentemente:

• Convergente se e solo se < 0
• Limitato in se e solo se e, nel caso in cui abbia parte reale nulla, ≤ 0 = 0;
• Divergente in tutti gli altri casi.

Risposta impulsiva ed evoluzione forzata

Si definisce risposta impulsiva del sistema la soluzione dell’equazione differenziale in corrispondenza a condizioni iniziali nulle e all’ingresso impulsivo ( ) = ( ).

( ), Allora per ogni segnale di ingresso, nullo per la risposta di evoluzione forzata del sistema ∈ ℝ < 0, ( ) precedente in corrispondenza all’ingresso è data da:

0, <0

( ) ( )( )= ∗ = ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ≥0

Dimostrazione

Essendo soluzione del sistema in corrispondenza dell’ingresso impulsivo deve valere ad ogni istante w(t) ∈ ℝ:

( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )+ + ⋯+ + + ⋯+

Inoltre essendo un segnale causale si può scrivere:

( )( ) ( )( )= ( )∗ ∗

Sfruttando la linearità si ottiene:

( )= ( )∗ ∗

Sfruttando la proprietà della derivata si ottiene:

( )= ( )( )∗ ∗

ed analogamente: ( )( )= ( )=∗ ∗

In tal modo si ottiene: ( )( )( )∗ =( )( )

e ciò assicura che sia soluzione dell’equazione differenziale, ed inoltre per la proprietà del valore iniziale e del prodotto di convoluzione si ottiene:

( )( ) (0 )∗ = ∗ = 0( )( )

e dunque è anche soluzione di evoluzione forzata. ∗ ■

Considerando ora l’equazione differenziale: ( ) ( )( ) ( ) ( )= ( ),+ + ⋯+ + + ⋯+ ≥0

( ) ( )(0 ) (0 ) (0 )= 0, = 0, …, = 0

si ha che:

• per la soluzione è nulla in conseguenza della causalità sia del sistema e sia del segnale < 0 ( ) impulsivo;
• per l’equazione differenziale diventa: > 0 ( ) ( ) ( )=0+ + ⋯+ dato che tutti i segnali impulsivi sono nulli per > 0. ( )

Perciò si comporta come una soluzione particolare dell’omogenea associata e può essere descritta nella sua forma per un’opportuna scelta dei coefficienti.

• per il comportamento del sistema viene “sistemato” aggiungendo, se necessario, un termine = 0 impulsivo centrato in all’espressione della risposta impulsiva ottenuta in base alle considerazioni = 0 ( ) precedenti. Il termine impulsivo compare se e solo se il sistema è proprio ma non strettamente proprio, ovvero .

In base a queste considerazioni, possiamo allora attribuire alla risposta impulsiva ( )= ( )+ ( ) ( ) ≠ 0 =, !

Analisi della dinamica dei sistemi a tempo continuo nel dominio delle trasformate di Laplace

Trasformata di Laplace

Sia la somma di una funzione reale o complessa di variabile reale, localmente sommabile in ( ), ∈ ℝ, [0, +∞), e di una famiglia finita di segnali impulsivi di vario ordine. Si chiama trasformata di Laplace di la funzione complessa di variabile complessa che, se esiste, è definita dal seguente integrale:

= +[( ) ( ) ( )= :=L ( )

Si può dimostrare inoltre che se esiste un numero complesso tale che esiste finita, allora per ogni numero complesso la cui parte reale sia maggiore della parte reale di , l’integrale che definisce esiste ( ) finito: si parla di semipiano di convergenza della trasformata di Laplace. In generale, esiste sempre un numero reale , eventualmente infinito, tale che la trasformata di Laplace esiste per ogni con . Il più ∈ ℂ ( ) > piccolo numero reale a per cui ciò avviene viene detto ascissa di convergenza.

Antitrasformata di Laplace

Ogni funzione può essere decomposta in frazioni parziali (o fratti semplici) di cui è nota ( ) ∈ ℂ( )\{0} l’antitrasformata di Laplace. Una generica funzione razionale può essere scritta nella forma:

( ) ∈ ℂ(( )( )= ̅( ) ̅ ̅( ) ( ) ( )

Con e polinomi non nulli in Non c’è perdita di generalità inoltre nel supporre che e ℂ(( ) siano privi di fattori comuni, ovvero sia irriducibile.

La procedura per il calcolo dell’antitrasformata di si articola nei seguenti passi:

Passo 1

Ricorrendo all’algoritmo di divisione euclidea tra polinomi si ha:

̅(( ) ( ) ) ( )= + ̅( ) ( ) ( ) ( ).

dove e sono i polinomi rispettivamente quoziente e resto e Si ha perciò: deg < deg̅(( ) ) ( ) ( )+( )= ( )+ ( )= = +̅( ̅() )( ) ( )

dove e è una funzione strettamente propria. = L

Pertanto in virtù della linearità:

[ ( ) ( ) ( )= +L L

Passo 2

̅( ) In quanto polinomio monico può essere fattorizzato nella forma:

̅( ) ( ) ( ) ( )= − − ⋯ −

dove sono numeri complessi distinti tra loro e i coefficienti sono interi strettamente, , …, , , …, positivi. Si ha perciò:

( )( )= ( ) ( ) ⋯( ) − − −

ovvero decomposta in fratti semplici nel seguente modo: ,( )= ( ) − ( ).

dove i coefficienti vengono determinati uguagliando le due precedenti rappresentazioni di, Si ottiene perciò: ,( )= + ( ) −

Passo 3

Si determina l’antitrasformata:

( )= ( ) ( )+ , !( )

dove se è strettamente propria ( ) nella sua antitrasformata non compaiono termini impulsivi. >( ) Inoltre se è propria ( ) ma non strettamente propria (ovvero ) si ha: ≥ =

( )= ( ) − .

Impiego della trasformata di Laplace nell’analisi dei sistemi

Si consideri un sistema SISO, LTI, causale e a tempo continuo descritto dal consueto modello ingresso/uscita:

( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )+ + ⋯+ + + ⋯+

valido per, dove rappresenta l’ingresso causale, l’uscita e si suppone che i coefficienti e, con sono reali e noti e che. Le condizioni iniziali sono espresse dall' -upla:, ≠ 0, ≥ ( ) ( )(0 ), (0 ), (0 ). …,

Dalla proprietà della trasformata di Laplace della derivata segue:

( ) ( )( ) − (0 )= , = 1,2, … , L

mentre per l’ingresso valgono le relazioni:

( ) ( ), = = 1,2, … , L

essendo un segnale causale.

Applicando ora la trasformata di Laplace ad entrambi i membri dell’equazione differenziale si ottiene:

( ) ( )( ) − (0 ) ( ) − (0 ) ( )+ + ⋯+( )+ ( ) ( )= + ⋯+

ovvero:

( )( ) ( ) − (0 ) (0 ) (0 )+ + ⋯+ − + −⋯( ) (0 ) ( ) ( ) − = + + ⋯+

Ponendo ora:

( )≔ + + ⋯+ ( ) ( )( )≔ (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) − + − ⋯−( )≔ + + ⋯+

dove:

• ( ) è un polinomio di grado coinvolto nell’espressione dell’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale;
• ( ) è un polinomio di grado al più i cui coefficienti sono combinazioni lineari delle condizioni iniziali;
• ( ) è un polinomio di grado i cui coefficienti sono i pesi con cui compaiono le diverse derivate ≤ dell’ingresso nell’equazione differenziale.

Si può riscrivere quindi:

( ) ( ) − ( )= ( ) ( )

che conduce alla trasformata di Laplace del segnale di uscita:

( )( )( )= ( )= ( )+ ( )= ( )+ ( )+ ( )( )( ) ( ) ( ),

dove è immediato riconoscere in la trasformata di Laplace dell’evoluzione libera ( )/ ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) corrispondente alle condizioni iniziali assegnate, e in la trasformata di Laplace della ( ). componente forzata.

La funzione razionale propria (strettamente propria se , ovvero se il sistema è strettamente proprio): >

( ) + + ⋯+( )= =( ) + +⋯+ ( )

prende il nome di funzione di trasferimento del sistema. Essa lega la trasformata di Laplace di alla trasformata di Laplace dell’ingresso e coincide con la trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema. ( ) ( ) ( ) ( ),

Infatti avendo identificato con la trasformata di Laplace della componente forzata e ( ) ( )( ), sapendo che dalla proprietà della trasformata relativa al prodotto di convoluzione segue che: = ∗ [( [( ) ( )= ( )= ( ) )( ) ( ) ( ). = ∗ = L L L ( )

Ciò permette di identificare la funzione di trasferimento con la trasformata di Laplace della risposta ( ) ( ), si ( ) impulsiva. Alternativamente si può osservare che in corrispondenza a ottiene e quindi = = 1( ) ( ). =

Stabilità dei sistemi a tempo continuo e risposta di regime permanente

Definizioni e caratterizzazioni della stabilità

Si consideri un sistema SISO, LTI, causale e a tempo continuo descritto dal consueto modello ingresso/uscita:

( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )+ + ⋯+ + + ⋯+

valido per, dove rappresenta l’ingresso, l’uscita e si suppone che i coefficienti e, con ∈ ℝ, ≠ 0, siano reali e noti e che. ≥

Asintotica stabilità

Il sistema definito viene detto asintoticamente stabile se, in assenza di ingresso di controllo, le traiettorie di uscita in evoluzione libera convergono asintoticamente a zero, in corrispondenza ad ogni possibile -upla di condizioni iniziali. Ovvero, per ogni scelta di ( ) ( )(0 ), (0 ), (0 ) …, e in corrispondenza a si ha:

( ) = 0, ∀ ∈ ℝ, ( ) ( ) lim = lim = 0. → →

Dall’espressione dell’evoluzione libera del sistema:

( )= , !

in virtù della completa arbitrarietà delle condizioni iniziali, e quindi dei coefficienti, la stabilità asintotica, richiede che tutti modi elementari siano funzioni convergenti a zero. Ciò accade se e solo se tutte le radici dell’equazione caratteristica hanno parte reale negativa. Si ha allora che sono fatti equivalenti:

• il sistema è asintoticamente stabile;
• tutti i modi elementari del sistema sono convergenti;
• ∑ il polinomio ha tutti gli zeri a parte reale negativa: un polinomio le cui radici ( ): = ( ) abbiamo tutte parte reale negativa è noto come polinomio di Hurwitz.

BIBO stabilità

Il sistema definito viene detto BIBO (bounded input/bounded output) stabile se, a partire da condizioni iniziali nulle, il sistema risponde ad ogni ingresso causale limitato con un'uscita (causale) limitata. Ovvero, posto:

( ) ( )(0 ), (0 ), (0 ) …, = 0 | ( )|

per ogni ingresso causale per il quale esiste tale che è possibile ( ), ∈ ℝ, > 0 ≤ , ∀ ≥ 0, | ( )| ( ) determinare tale che > 0 = ≤ , ∀ ≥ 0.

In termini della risposta impulsiva, il sistema è BIBO stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile, ovvero:

| ( )| < +∞.

Dimostrazione della sufficienza

( ) Si supponga che sia sommabile. Se per l’ingresso causale esiste tale che: ( ), ∈ ℝ, > 0 | ( )| ≤ , ∀ ≥ 0 allora:

| ( )| ( ) ( ) ( ) | ( )|| ( )| | ( )|= = − ≤ − ≤ − = | ( )| | ( )|= ≤ < +∞ ■

Dall’espressione della risposta impulsiva del sistema:

( )= ( )+ ( ), ! ( )

dato che il termine impulsivo dà sempre un contributo finito all’integrale ( ), l’unica possibilità = affinchè la risposta impulsiva sia sommabile è che lo sia parte non impulsiva, ovvero che tutti i termini di tipo esponenziale e/o sinusoidale (pesati con coeff. siano convergenti. Si ha allora che sono fatti equivalenti: ≠ 0),

• il sistema è BIBO stabile;
• ( ), tutti i modi elementari che compaiono nella risposta impulsiva del sistema sono convergenti; ∈ ℝ,
• ( ) la funzione di trasferimento (razionale propria) del sistema ha tutti i poli nel semipiano sinistro) aperto Re( < 0.

Legame tra asintotica stabilità e BIBO stabilità

Nel dominio del tempo, la stabilità asintotica è equivalente al fatto tutti modi elementari siano convergenti. Se ciò accade, ogni selezione di tali modi elementari risulterà composta da modi elementari convergenti e quindi lo sarà, in particolare, la famiglia dei modi elementari che compare nella risposta impulsiva, garantendo in tal modo la BIBO stabilità. ( ),

Nel dominio delle trasformate, la stabilità asintotica è legata alla collocazione degli zeri del polinomio mentre la stabilità BIBO è completamente determinata dai poli della funzione di trasferimento In generale i ( ). poli di rappresentano un sottoinsieme dell’insieme degli zeri di dal momento che i poli di ( ) ( ), ( ) coincidono con gli zeri del polinomio al denominatore di una rappresentazione irriducibile e la rappresentazione ( ) ( ) ⁄ ( ) che la funzione di trasferimento eredita dal sistema definito non è detto lo sia. Da ciò segue = immediatamente che la stabilità asintotica assicura sempre la stabilità BIBO mentre non vale il viceversa, la ( ) ( ). ragione di questa disparità risiede nella presenza di eventuali cancellazioni tra e Qualora, infatti, tutti gli ( ) ) eventuali zeri “instabili” di (ovvero gli zeri collocati in siano anche zeri di di molteplicità non inferiore, il sistema Re( ≥ 0) ( ) risulta essere BIBO stabile pur non essendo asintoticamente stabile.

Risposta a regime permanente e risposta in frequenza

Dominio del tempo

Si consideri un sistema SISO, LTI, causale e a tempo continuo descritto dal consueto modello ingresso/uscita:

( ) ( ) ( ) ( )( )= ( )+ + ⋯+ + + ⋯+

valido per, dove:∈ ℝ( )= ( ) rappresenta l’ingresso fasoriale, l’uscita e si suppone che i coefficienti e, con siano reali e noti, ≠ 0, e che. Si suppone inoltre che il sistema sia asintoticamente stabile. ≥

L’uscita del sistema è esprimibile come somma di due componenti:

( )= ( )+ ( ) ( ) ( )+ ( ) − = =( ) − ( ) ( ) ( )+ ( )= + =:

Il segnale:

:( ) ( ) − ( )=

viene chiamato risposta in regime transitorio. Nell’ipotesi di asintotica stabilità del sistema, entrambi gli addendi che la definiscono assumono valori finiti per ogni valore di, e per convergono entrambi a zero ∈ ℝ → +∞ facendo sì che:

( )lim = 0. → ( )=0

Infatti la stabilità asintotica non solo assicura che (primo addendo): lim → ma implicando la BIBO stabilità, quindi la sommabilità della risposta impulsiva, garantisce che (secondo addendo): ( ) ( ) | ( )| ≤ = < +∞.

Il segnale:

:( )= ( ).

viene chiamato risposta in regime permanente e, per valori di elevati, approssima la risposta del sistema. Nell’ipotesi di asintotica stabilità del sistema, e quindi di BIBO stabilità, grazie alla sommabilità della risposta impulsiva (come da espressione precedente) l’integrale:

( ) ≔ ( )

esiste finito per ogni valore di e prende il nome di risposta in frequenza o risposta armonica del sistema in ∈ ℝ corrispondenza alla pulsazione Da ciò segue che in corrispondenza alla pulsazione ∈ ℝ. ∈ ℝ:

( ) | ( )|.=

Dominio delle trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace dell’uscita del sistema è esprimibile...