Riassunto del corso di controlli automatici

Riassunto

domenica 28 ottobre 2018 15:35

Proprietà strutturali

- Proprietà che rimangono le stesse anche nel momento in cui andiamo a cambiare le variabili del sistema.

Si deve tenere presente che tutti i ragionamenti saranno effettuati per sistemi con 'stati inziali nulli, per poter

sfruttarne le conseguenze a livello di calcolo.

Entrambi, partendo dai dati in uscita, cercano di ricostruire lo stato interno del sistema stesso:

Raggiungibilità e controllabilità --> predizione

○ Agendo sull'ingresso in che configurazione d posso portare lo stato iniziale: si tratta di una proprietà del

movimento forzato dello stato

Stato raggiungibile

□ Uno stato del sistema si dice raggiungibile

SE esiste un'istante finito

 esiste un ingresso



TALI CHE

Il movimento forzato dello stato, generato dall'ingresso sia pari a

L'insieme di tutti gli stati raggiungibili forma il sottospazio di raggiungibilità

Sistema completamente raggiungibile

□ Un sistema in cui il sottospazio di raggiungibilità coincide con l'intero spazio di stato, è completamente

raggiungibile.

È completamente raggiungibile

Se e solo se

Presa la matrice di raggiungibilità

Riassunto Pagina 1

Presa la matrice di raggiungibilità

Ha rango (= massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti) pari a n, ovvero solo se ha

determinante diverso da 0.

Sottospazio di raggiungibilità =>

Osservabilità e ricostruibilità --> filtraggio

○ Agendo sull'ingresso a che configurazione degli stati posso arrivare: si tratta di una proprietà del movimento

libero dell'uscita.

Stato non osservabile

□ Preso un qualsiasi stato del sistema

Tale stato è detto non osservabile ---> e quindi non ricostruibile (non vale il viceversa)

Se, il movimento libero (= moto, in questo caso dell'uscita, che dipende solo dallo stato iniziale) del

sistema a tempo discreto con condizione inziale pari a

Dove

L'insieme di tutti gli stati non osservabili forma il sottospazio di non osservabilità

Sistema completamente osservabile

□ Sistema in cui il sottospazio di non osservabilità è vuoto (tranne la presenza dello stato iniziale nullo)

È completamente osservabile quindi

Se e solo se

Presa la matrice di osservabilità

Ha rango (= massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti) pari a n, solamente se ha

determinante diverso da 0.

Riassunto Pagina 2

NB: uno stato o è osservabile o è non osservabile; perciò avremo che il sottospazio di osservabilità è

ortogonale al sottospazio di non osservabilità.

Scomposizione

○ Perché scomposizione?

Posso scomporre i sistemi non completamente raggiungibili o osservabili in

Una dinamica che regola la parte non raggiungibile o non osservabile

 Una dinamica che regola la parte raggiungibile o osservabile



Scomposizione di raggiungibilità

▪ Prendiamo un sistema non raggiungibile

Ovvero in cui il rango della matrice di raggiungibilità è minore dell'ordine n del sistema stesso.

Applichiamo un cambio di variabili (modifichiamo lo spazio delle variabili di stato):

Sostituendo si ottiene quindi che

Dove le matrici in gioco hanno la forma

Si possono quindi individuare le variabili di stato della parte non raggiungibile e quelle della parte

raggiungibile

Questo genera due equazioni di stato separate:

Come costruisco

Si parte costruendo

Prendo colonne linearmente indipendeti dalla matrice di raggiungibilità

 Le restanti colonne le posso inserire a piacere, facendo si che



Poi avremo che

NB: da dove derivano questi risultati?

Possiamo scrivere che

Dal sistema dinamico di partenza sappiamo che

Perciò

Riassunto Pagina 3

Inoltre sappiamo che

Sostituendo quindi otteniamo

Per l'uscita

Scomposizione di osservabilità

▪ Prendiamo un sistema non osservabile

Ovvero in cui il rango della matrice di osservabilità è minore dell'ordine n del sistema stesso (= numero di

variabili di stato).

Applichiamo un cambio di variabili (modifichiamo lo spazio delle variabili di stato):

Sostituendo si ottiene quindi che

NB: qua consideriamo anche la funzione dell'uscita perché sappiamo che l'osservabilità

entra in gioco dallo stato verso uno stato finale.

Dove le matrici in gioco hanno la forma

Si possono quindi individuare le variabili di stato della parte non osservabile e quelle della parte osservabile

Questo genera due equazioni di stato separate:

Il movimento libero dell'uscita quindi è nullo (solo se la condizione iniziale della parte osservabile

è nulla)

Come costruisco

Si parte costruendo

Prendo vettori linearmente indipendenti tali che

 Le restanti colonne le posso inserire a piacere, facendo si che



Essendo quindi che, come fatto per la scomposizione di raggiungibilità, siamo andati ad applicare una

trasformazione dello spazio degli stati, possiamo risalire alle nuove matrici del sistema traslato, partendo

da , tramite queste equazioni

Riassunto Pagina 4

Scomposizione canonica di Kalman

▪ Prendiamo ora un sistema

non raggiungibile e non osservabile, ovvero tale che

Il rango della matrice di osservabilità è minore dell'ordine n del sistema

 Il rango della matrice di raggiungibilità è minore dell'ordine n del sistema



Applico lo stesso procedimento precedente:

cambio di variabili (modifichiamo lo spazio delle variabili di stato):

Sostituendo si ottiene quindi che

Dove le matrici in gioco hanno la forma

Con:

La matrice A è triangolare a blocchi.

Gli elementi sulla diagonale rappresentano

Lo schema della scomposizione di Kalman, che può essere verificato andando a sostituire le matrici sopra

riportata nel sistema

È legato anche alle proprietà di "influenza" tra parti raggiungibili/non raggiungibili e osservabili/non

osservabili, secondo questo schema:

NR -----------------------> R

 R --------------X------------> NR

 O ------------------------->NO

 NO-------------X--------->O



Questa informazione la si può estrapolare dalle equazioni di stato risultanti, in cui si nota che

La parte raggiungibile non influenza mai quella non raggiungibile

 La parte non osservabile (ovviamente) non influenza la parte osservabile



Quello che ne risulta è quindi questo schema, considerando le quattro combinazioni:

Raggiungibile e non osservabile

 Non raggiungibile e non osservabile

 Raggiungibile e osservabile

 Non raggiungibile e osservabile

 Riassunto Pagina 5

NB: Parte raggiungibile è influenzata dall'ingresso

 Parte osservabile influenza l'uscita



Le "influenze" devono essere verificate sia per la raggiungibilità che per l'osservabilità.

Forme canoniche

▪ Rappresentano realizzazioni minime, ovvero completamente raggiungibili e osservabili.

Forma canonica di raggiungibilità

 Prese la funzione di trasferimento nella forma

Questa trasformazione è ovviamente possibile se vado a togliere ogni elemento al

denominatore moltiplicato per .

Quindi avremo che:

Applicando questa trasformazione la forma canonica di raggiungibilità può essere

scritta come

Forma canonica di osservabilità

 La forma canonica di osservabilità si ottiene invece da queste matrici

Sistema duale

▪ Come visto in precedenza, possiamo operare una trasformazione dello spazio di stato, tramite l'utilizzo di

una matrice T il cui determinante è diverso da zero. Tale matrice permette di scrivere le matrici del sistema

Riassunto Pagina 6

una matrice T il cui determinante è diverso da zero. Tale matrice permette di scrivere le matrici del sistema

nel nuovo spazio:

Questo nuovo sistema, chiamato sistema duale, ha le stesse proprietà del sistema di partenza: inoltre si

trova nella forma canonica di raggiungibilità/osservabilità.

Questa trasformazione T si ottiene come (visto che si lavora con sistemi SISO, e quindi con matrici

quadrate)





Assegnamento degli autovalori

○ Finora abbiamo sempre applicato la retroazione al valore misurato dell'uscita:

w

Ma una situazione più favorevole la si avrebbe nel caso in cui il regolatore abbia una completa conoscenza

dello stato (x) del processo:

Obbiettivo:

Introdurre una legge di controllo

Lineare

 Statica



Che può quindi essere riportata nella forma

Assegnare gli autovalori del sistema in anello chiuso effettuando una retroazione dello stato, può essere fatto

in 2 modi differenti:

Assegnamento degli autovalori con stato accessibile

□ Partiamo sempre dal sistema SISO del tipo

Utilizzando la legge di controllo

Possiamo andare ad inserire gli autovalori dove "vogliamo".

Andiamo ad applicare questo metodo alla sola parte raggiungibile: ovviamente, così facendo, si

suppone che la parte non raggiungibile sia as. Stabile, visto che non si è in grado di modificare gli

autovalori di questa parte tramite una retroazione su u.

Scelta di k:

Riassunto Pagina 7 Gli autovalori della matrice A-BK devono coincidere con quelli da me assegnati

arbitrariamente!

In forma canonica di raggiungibilità

- La matrice A-BK può essere riscritta come

Quindi, per trovare il valore effettivo, ora dobbiamo andare a confrontare i due polinomi

caratteristici:

Polinomio caratteristico del sistema in closed-loop

 (per verificare provare a fare un esempio con matrice pari a una 2x2.

Polinomio caratteristico ottimo (DESIDERATO)



Uguagliando i due polinomi caratteristici possiamo trovare che

Non in forma canonica di raggiungibilità

- Porto il sistema in forma canonica tramite la trasformazione dello spazio di stato

Con

Riassunto Pagina 8

Porto le matrici in forma canonica di raggiungibilità (la quale indica proprietà del

movimento forzato dello stato, che dipende solo dalle matrici (A,B)):

E qui vado poi a trovare i due polinomi caratteristici (desiderato e attuale) e poi trovo il

valore di

Mi riporto poi nel sistema di partenza, tramite la trasformazione

Ricostruttore dello stato

□ Partiamo sempre studiando sistemi di questo tipo

Vogliamo stimare il valore dello stato, duplicando il sistema reale: in questo nuovo sistema duplicato,

avremo che lo stato tenderà asintoticamente allo stato del sistema originario di partenza.

Per valutare quindi la bontà del ricostruttore, si aggiunge, alla sua dinamica, all'equazione di stato,

un termine il quale valuta la bontà della stima che si sta facendo:

Si è aggiunto quindi l'errore , poiché ragionevolmente, una elevata discrepanza tra

questi due valori suggerisce il fatto che la stima dello stato non sia molto vicina allo stato effettivo.

Sostituendo, possiamo scrivere:

Quello che valutiamo ora è la dinamica dell'errore di costruzione, ovvero

SE:

A-LC ha autovalori negativi --> sistema as. Stabile --> e = 0 --> la stima dello stato coincide con lo

Riassunto Pagina 9

A-LC ha autovalori negativi --> sistema as. Stabile --> e = 0 --> la stima dello stato coincide con lo

stato reale

Il problema quindi si riduce a trovare L, in maniera da rispettare i criteri sopra riportati, ovvero in

modo che A-CL abbia gli autovalori nella posizione assegnata.

Se poniamo:

Il problema si riduce a quello precedente

Assegnamento degli autovalori con ricostruzione dello stato

□ Qui vado ad unire i due blocchi:

ricostruzione dello stato -------> assegnamento degli autovalori

Lo stato ricostruito e calcolato va quindi messo in retroazione, passando per un blocco K, come fatto

nel caso iniziale.

Abbiamo quindi tre protagonisti in gioco:

-

-

-

Posso unire i due nuovi stati del sistema, ovvero

Sostituendo la legge di controllo, possiamo scrivere

Può essere riscritto in forma matriciale come:

Applichiamo ora, un'altra volta, la trasformazione dello spazio degli stati, tramite la matrice T:

In questo modo sappiamo che

Riassunto Pagina 10

Si vede come la matrice A vada a separare la parte relativa allo stato del sistema +controllore e la

parte del ricostruttore: questo può anche essere visto come l'enunciato del principio di separazione.

La parte di sistema dinamico unitamente al controllore, può essere progettata separatamente dal

sistema ricostruttore dello stato.

LUOGO DELLE RADICI

Il luogo delle radici rappresenta uno strumento grafico che permette di rappresentare il collocamento dei poli in

anello chiuso partendo dalla funzione di trasferimento d'anello per un sistema di tipo SISO.

Questa tecnica di analisi è applicabile per sistemi di controllo di processi instabili o che, più in generale, non

soddisfano i criteri di Bode.

D'altra parte, oltre a questi vantaggi, il luogo delle radici è applicabile solamente a sistemi in cui la funzione di

trasferimento è rappresentata da una funzione di tipo razionale.

Ipotesi: La funzione di trasferimento ad anello è di tipo razionale, ovvero può essere scritta nella

forma La funzione di trasferimento totale, sappiamo essere pari a ( in questo caso

)

In particolare il problema di cui ci si intende occupare è quello di determinare

come si modificano i poli in anello chiuso al variare della costante di

trasferimento il cui valore è proporzionale al guadagno d'anello

,

L'interesse per questo problema è motivato dal fatto che la conoscenza della

posizione dei poli nel piano complesso permette di ricavare utili informazioni

sul comportamento dinamico del sistema retro-azionato in termini di stabilità

e qualità dei transitori.

Riassunto Pagina 11 e qualità dei transitori.

Luogo delle radici = è il luogo dei punti del piano complesso descritto dalle radici (= poli) dell'equazione

- caratteristica (ovvero il polinomio caratteristico) al variare del parametro

Sappiamo che, l'equazione caratteristica non è altro che il denominatore della funzione di trasferimento del

sistema, ovvero

Luogo diretto (LD) = luogo delle radici per

▪ Luogo inverso (LI) = luogo delle radici per

▪ il sistema è come se non avesse retroazione, diventando pari alla sola funzione d'andata L(s).

▪

Visto che il luogo delle radici descrive il variare dei poli, partiamo dal polinomio caratteristico della funzione di

trasferimento, ovvero da Possiamo sostituire

Si tratta di un'equazione nel campo dei numeri complessi, e quindi ne

vado a studiare modulo e fase:

Modulo

 Fase

 Dal tracciamento di Bode, ricordiamo che la fase di un rapporto, è