Riassunto del corso di controlli automatici

MATRICE DI TRASFERIMENTO TRIANGOLARE

▪ In questo caso avremmo che

Questa assunzione semplifica molto l'analisi del problema, infatti ci permette di separare lo studio di un

sistema MIMO in

Un sistema SISO

□ Un sistema con disturbo misurabile

□

Quanto affermato si può verificare dalla definizione

Abbiamo quindi due sottosistemi di cui ci è già nota la soluzione del controllo

1) SISO: è sufficiente inserire una retroazione (negativa) per gestire il regolatore

2) In questo caso invece, il segnale viene considerato un disturbo (misurabile) sul sistema "G_2": esso

può quindi essere gestito tramite regolatore M(s), come abbiamo visto in precedenza.

Il sistema da controllare avrà quindi questa forma

Inserendo quindi i regolatori specificati, si otterrà

Riassunto Pagina 20

▪ Nello specifico sappiamo che, quando il disturbo è misurabile, il regolatore M(s) dovrà essere progettato

come Nel nostro caso

In particolar modo abbiamo che, la struttura "centrale" (in questo caso composta dalla sola M(s)) funge da

disaccoppiatore: essa (matrice 2x2 ) permette di diagonalizzare la matrice di trasferimento. Quindi, una

volta definita la matrice , e nota la matrice di trasferimento, possiamo definire il regolatore R(s).

Quindi, la caratteristica del disaccoppiatore è che permette di diagonalizzare la matrice di trasferimento

G(s), con questo procedimento

Quanto detto è valido per il caso in cui la matrice di trasferimento sia triangolare, e che quindi si possano

separare in due parti il sistema MIMO di partenza.

Quindi. Una volta determinata , gli elementi della matrice diagonale R'(s) sono sintetizzati a partire dai

corrispondenti elementi di

Portiamoci quindi nel caso generico di disaccoppiamento NON triangolare.

Disaccoppiatore in avanti

- In questo caso, avremo due generiche matrici

Abbiamo prima evidenziato la necessità che il prodotto tra queste due matrici sia, a sua volta , una matrice

diagonale, proprio perché la matrice ricorpre la funzione di disaccoppiatore, ovvero che

Riassunto Pagina 21

Per essere diagonale dovremo quindi imporre che

Questo sistema presenta infinite soluzioni: una di queste può essere

Da cui

Rimanendo nel caso 2x2, andiamo a scriver

NB: I termini contengono già un "-".

Questo risultato va poi introdotto nel blocco G(s): scriviamo quindi

Lo schema che deriva da (-) e (--) è quindi

Disaccoppiatore all'indietro

- Il disaccoppiatore è quindi quell'elemento che trasforma la variabile di controllo fornita direttamente dal

regolatore (v_i) nella variabile di controllo che arriva effettivamente al processo (u_i).

Quindi, alla luce di ciò possiamo scrive

Prendiamo ora un disaccoppiatore, tale che, il legame u_i e v_i sia dato da

Riassunto Pagina 22

Prendiamo ora un disaccoppiatore, tale che, il legame u_i e v_i sia dato da

In cui deve essere opportunamente scelta e V(s) rappresenta l'uscita dal blocco R(s),

ovvero la variabile di controllo fornita dal regolatore.

Il quale può essere riscritto come

La forma ottenuta è simile all'equazione di partenza, in cui basta porre

Ora possiamo seguire il ragionamento fatto in precedenza, ovvero dire che la matrice

Da qui ricaviamo che

Sostituendo (*) si ottiene

Per le proprietà della matrice identità I, essa può essere riscritta come

Che ci permette di riscrivere (**) così

Disaccoppiatore all'indietro nel caso generale

Disaccoppiatore all'indietro diagonale-invariante nel caso generale

La quale è molto simile (se non fosse che essa presenta degli 0 sulla diagonale invece di avere degli

1) alla matrice (nel caso di 2 ingresso, ovvero MISO 2x2) ottenuta per il disaccoppiatore in avanti

Quindi, nel caso semplice di un sistema 2x2, si ottiene che

Riassunto Pagina 23

Questo risultato va poi introdotto nel blocco G(s): scriviamo quindi

Da (***) e (****) possiamo ricavare il seguente schema di controllo:

Controllo decentralizzato

- Gli schemi di controllo visti in precedenza (disaccoppiatore all'indietro e in avanti) rappresentano dei controllori

centralizzati, poiché tutti gli ingressi dei regolatori concorrono a determinare ognuna delle uscite.

Nel controllo decentralizzato, l'idea base è quella di andare a separare i vari ingressi dalle varie uscite:

i-esimo regolatore determina solo l'i-esima variabile di controllo sulla base del solo i-esimo errore

(associato ovvero alla i-esima variabile di controllo)

Riassunto Pagina 24

Per progettare regolatori di questo tipo, si segue un procedimento "progressivo": prima progettiamo il regolatore

, poi, sulla base di questa progettazione, procediamo con il successivo regolatore, e così via..

Per esempio, nel caso 2x2, iniziamo con il progettare il solo (in questo caso si ipotizza set-point nullo)

Possiamo quindi scrivere, una volta progettato (sulla base di )

Sostituendo poi nella seconda equazione del sistema posso sintetizzare tenendo conto

anche della presenza del regolatore dalla seconda eq. Infatti sono in grado di ricavare

rispetto alla quale posso progettare dal momento che risulta essere

inserito.

Troppo complesso per sistemi mxm.

Non c'è garanzia di un risultato accettabile.

Matrice dei guadagni relativi

- Questa tecnica rappresenta un modo per riuscire a comprendere con quale grado risultano essere accoppiati, a

regime, i singoli ingresso con le singole uscite : questa informazione ci permetterà poi di progettare i

regolatori, i quali, logicamente, tenderanno ad utilizzare l'ingresso più accoppiato con la variabile d'uscita

che si sta cercando di regolare..

Il concetto è utilizzabile in sistemi as. Stabili, per cui possiamo scrivere che

G(0)= matrici dei guadagni

In maniera del tutto generica G(0) può essere scritta come

Riassunto Pagina 25

Con

Quindi:

Se

◊ Se

◊ Se

◊ Se

◊

Desaturazione dell'azione integrale

- Il fenomeno del wind-up

In p nz i u zi n può v ifi i h l’u i ll’ u n n pu im n n l’ i

regolazione e(t) non nullo (perché, per esempio, abbiamo imposto un set-point superiore al limite massimo, o

minimo, a cui l'attuatore può arrivare).

Conseguentemente, il termine integrale continua a crescere, ma tale incremento non produce alcun effetto sulla

v i bil i m n ll’impi n vv ul n u in qu .

Tale situazione, oltre a non far funzionare correttamente il regolatore, rende inattivo il regolatore anche quando

l’ iminui i inv i n ; inf i il i m i l zi n può i iv i l ll qu n il n l

u i n n ll z n i lin i à ll i i ll’ u i l min in l .

Quando si inverte il segno dell'errore (ovvero quando l'uscita attraversa il set point (circa 2 s in questo esempio) ,

come si vede nella figura a precedente, l'azione integrale inizia a scaricarsi, visto che, essendo presente un errore

(per il fatto che il sistema è andato in saturazione), essa ha continuato a caricarsi.

Riassunto Pagina 26

(per il fatto che il sistema è andato in saturazione), essa ha continuato a caricarsi.

Questa scarica impiega un certo tempo, che porta ad una perdita di performances: questo perché il sistema non

sa che è presente questo accumulo "integrativo".

Qu n l’ i m n i n ll n p i iv n ll’ mpi p un p i i mp l’ zi n

in l l n ll n inu in l’ n h l v i bil in in l p è u .

Qu n l’ mbi i n bi n p h l’u i l n ll ni um v l i

mp i f i limi i i ll’ zi n in l in m l h , e quindi la

saturazione operi in linearità

Il fenomeno del wind-up è quindi dovuto al fatto che la dinamica del controllore non è influenzata dalla

presenza delle limitazioni imposte sulla variabile u(t).

Andiamo quindi ad introdurre l'anti-windup, implementandolo tramite un regolatore R(s), il quale si impone

l'obbiettivo di evitare l'azione integrale, non variando la funzione di trasferimento del controllore.

Il problema del wind-up può vi in mp n l’ zi n in l n n pp n l’u i l n ll

iun il liv ll i u zi n ll’ u .

Questa è l'implementazione anti-windup, per cui deve essere che

Supponendo

Possiamo scrivere Radici a parte reale negativa

 …



Riassunto Pagina 27 Si nota quindi che è come se avessi un confronto tra ,

cosicchè si possa tenere sotto controllo la differenza tra i due segnali.

Nello specifico abbiamo che quando si opera in zona lineare della saturazione, la

funzione di trasferimento fra e(t) ed m(t) coincide con R(s).

Se la variabile di errore si mantiene di segno costante, per esempio positivo, per un certo

periodo di tempo, la variabile g(t) eccede il suo limite massimo, u(t) è saturata al valore

, e poichè H(0) = 1, anche la variabile z(t) tenderà ad con una dinamica che

dipenderà dalle radici di ϕ(s).

Quando e(t) cambia segno, anche q(t) cambia segno e di conseguenza la variabile u(t) =

q(t) + z(t) diventa inferiore al valore di saturazione Umax. Il sistema ritorna quindi a

funzionare in linearità.

Predittore di Smith

- Consideriamo dei sistemi con ritardo temporale, tale per cui, si hanno queste caratteristiche

Come si vede un ritardo va a modificare la fase, mangiandosi il cosìdetto margine di fase, ponendo dei limiti

all'asintotica stabilità del sistema: questo limite può essere superato utilizzando un opportuno schema di

controllo, abbandonando il classico sistema di retroazione in figura seguente

Introduciamo un nuovo schema di controllo a predittore di Smith

Riassunto Pagina 28

Dove:

□

□

□

Grazie al predittore di Smith, il ritardo rimane nella funzione di trasferimento tale del sistema (come è ovvio che

sia) , ma è come se fosse fuori dall'anello di controllo: questa "main idea" ci permette di ottenere lo schema

finale del predittore di Smith, tramite questi passaggi.

Il fatto che il ritardo sia fuori dall'anello, lo si può verificare calcolando la funzione di trasferimento in

anello chiuso (dalla figura 4, oppure dalla figura 5, trovando la funzione d'anello L(s)), ovvero:

Ricordiamo che, per definizione, il valore di P(s) è

Riassunto Pagina 29

Si vede quindi, per come è stato scelto P(s), che il progetto del controllore R'(s) può essere

effettuato trascurando il ritardo, sulla base della sola G'(s).

Perciò possiamo sostituire, ottenendo

Regolatori in cascata

- Quando un sistema può essere "modellizzato" tramite due o più sottosistemi, con velocità di risposta differenti

(uno più veloce rispetto all'altro --> eg: attuatore (parte rapida) e il processo sotto controllo tramite l'attuatore

(parte lenta)), conviene progettare un sistema di controllo (ovvero chiu